北师大版八年级数学下册 第四章 因式分解 综合能力提升练习题(含手写答案)
北师大版八年级数学下册 第四章 因式分解 综合能力提升练习
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一、选择题：
1.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）
(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)
2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13
292
+-n n 3.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4
4.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2
5.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③
6．已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）
A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b 二、填空题
7．计算()()=-+-10010122__________．
8. 将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .
9．已知a 2－6a+9与|b －1|互为相反数,计算a 3b 3+2a 2b 2+ab 的结果是_________．
10．已知x 2－2(m －3)x+25是完全平方式,则 m= 。
11. 若关于x 的多项式2249y kxy x +-是一个完全平方式，则常数k 的值为_________
12. 已知31=+a a ，则a
a 1-的值是 。
13.已知0132=+-x x ，则44x x -+= .
14.若12)1)((2222=-++n m n m ，求)(22n m +的值为_________.
三、分解因式：
15．(1)（m+n ）2-4(m+n-1) (2)4x 2y 2-(x 2+y 2)2
(3) 2161x - （4）32222832ab c a b c ab c -+
（5） 324(1)2(1)q p p -+- （6）24()25()a y x y a -+-
四,解答题：
16.证明：不论x 取何实数，多项式23418122x x x -+-的值都不会是正数.
17.先分解因式,再求值：已知：a=10000，b=9999，求a 2+b 2－2ab －6a+6b+9的值。
18．若二次多项式2232k kx x -+能被x -1整除，试求k 的值。
19.已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。
20．当所含字母取何值时，下列分式的值为零？ ①3
1-+a a ②3)2)(1(+++a a a ③112--a a ④x x x 3922--
21. 利用分式的基本性质填空： ①2233x x x x =++（ ） ②296321
xy x x x =--（ ） ③2
()a b a b a b --=+（ ） ④224244x x x x -+=-+（ ）。
北师大版八年级下册 第四章 因式分解(包含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列从左到右的变形中,是分解因式的有()①(x+1)(x-2)=x2-x-2;②-x2+9=(3+x)(3-x);③ab-a+b-1=(a+1)(b-1);④a2-4+a=(a+2)(a-2)+a;).⑤(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1);⑥a2+1=a(a+1aA.1个B.2个C.3个D.4个答案B②③是分解因式.2.下面分解因式正确的是()A.x3-x=x(x-1)B.3xy+6y=y(3x+6)C.a2-2a-1=(a-1)2D.1-b2=(1+b)(1-b)答案D A的结果错误,B没分解彻底,C的左右两边不相等,只有D选项正确.3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9答案D A,C的两个平方项同号,B中两项提公因式5m后不是两式平方差的形式,只有D选项能用平方差公式.4.下列各组多项式中没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mx-my与ny-nxD.ab-ac与ab-bc答案 D ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),两个多项式没有公因式.5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( ) A.-5 B.3 C.7 D.7或-1答案 D 因为x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,所以m-3=±4,所以m=7或-1.6.若a 2+b 2+4a-2b+5=0,则a+b a -b 的值为( ) A.3 B.13 C.-3 D.-13答案 B 由a 2+b 2+4a-2b+5=0得(a+2)2+(b-1)2=0,所以a=-2,b=1.所以a+b a -b =-2+1-2-1=13. 7.212-1可以被5~10之间的某些整数整除,它们是( ) A.7 B.9 C.6和7 D.7和9答案 D 212-1=(26+1)(26-1)=(26+1)(23+1)(23-1)=(26+1)×9×7,故有两个整数符合题意,即7和9.8.多项式x 2-4x+m 分解因式的结果是(x+3)(x-n),则m n 等于 ( ) A.3 B.-3 C.-13 D.13答案 B 由题意得x 2-4x+m=(x+3)(x-n), 即x 2-4x+m=x 2+(3-n)x-3n, 所以{3-n =-4,-3n =m,解得{n =7,m =-21,所以m n =-217=-3. 9.若xy=1,则(x+y)2-(x-y)2等于( ) A.-4 B.4 C.2 D.-2答案 B 当xy=1时,(x+y)2-(x-y)2=4xy=4,故选B. 10.已知1-x n =(1+x 2)(1-x)(1+x),则n 的值是( )A.2B.4C.6D.8答案 B (1+x 2)(1-x)(1+x)=(1+x 2)(1-x 2)=1-x 4=1-x n ,所以n=4.二、填空题11.因式分解:x 2-36= .答案 (x+6)(x-6)解析 根据平方差公式,得x 2-36=x 2-62=(x+6)(x-6). 12.分解因式:m 3n-4mn= .答案 mn(m+2)(m-2)解析 m 3n-4mn=mn(m 2-4)=mn(m+2)(m-2).13.分解因式:-2x 2y+12xy-18y= .答案 -2y(x-3)2解析 先提取公因式,再用完全平方公式分解因式.-2x 2y+12xy-18y=-2y(x 2-6x+9)=-2y(x-3)2.14.分解因式:(a-b)2-4b 2= .答案 (a+b)(a-3b)解析 (a-b)2-4b 2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).15.已知长方形的面积为9a 2-16,若一边长为3a+4,则与它相邻的边长为 . 答案 3a-4解析 S 长方形=9a 2-16=(3a+4)(3a-4),∴所求边长为3a-4. 16.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .答案 (x-y)(m+n)解析 m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).17.计算:100992+198+1= .答案 1100解析 100992+198+1=100992+2×99+1=100(99+1)2=1001002=1100. 18.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证公式 .答案 a 2-b 2=(a+b)(a-b)解析 在题图中,左图:S 阴影=a 2-b 2;右图:S 阴影=(2b+2a)(a -b)2=(a+b)(a-b), ∴ a 2-b 2=(a+b)(a-b).三、解答题19.把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c;(2)5x(x-y)2+10(y-x)3;(3)(a+b)2-9(a-b)2;(4)-4ax2+8axy-4ay2;(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.答案(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.20.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x 2-4x+4)2.回答下列问题: (1)该同学分解因式的结果是否彻底: (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果: ;(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1进行因式分解. 答案(1)不彻底;(x-2)4. (2)设x 2-2x=y,则(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y 2+2y+1=(y+1)2=(x 2-2x+1)2=(x-1)4. 21.(1)一个等腰三角形的两边长a,b 满足条件:9a 2-b 2=-13,3a+b=13,求这个等腰三角形的周长; (2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三边长.①判断(a-c)2-b 2的正负; ②若a,b,c 满足a 2+c 2+2b(b-a-c)=0,判断△ABC 的形状. 答案 (1)因为9a 2-b 2=-13, 所以(3a+b)(3a-b)=-13,因为3a+b=13,所以3a-b=-1,由{3a +b =13,3a -b =-1,得{a =2,b =7.当a 为腰长时,2+2<7,不能构成三角形;当b 为腰长时,三角形的周长为7+7+2=16.综上,这个等腰三角形的周长为16.(2)①(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).因为a,b,c分别是△ABC的三边长,所以a+b>c,b+c>a,所以a-c+b>0,a-c-b<0,所以(a-c+b)(a-c-b)<0,即(a-c)2-b2<0.②由a2+c2+2b(b-a-c)=0,得a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,即(a-b)2+(b-c)2=0,所以a=b,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.22.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?答案(1)是.理由:28=2×14=(8-6)×(8+6)=82-62,2 012=2×1006=(504-502)×(504+502)=5042-5022,所以这两个数都是神秘数.(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.(3)不是.理由:由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),因为(2k+1)2-(2k-1)2=8k,8k是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差一定不是神秘数.。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解 测试题附答案
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为( )
A．2a－b＋cB．2a－b－c
C．2a＋b－cD．2a＋b＋c
4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是( )
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，三角形中三边之间的关系．（a+c-b）[a-（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
9．3(a－b)(a＋b)
【解析】
【分析】
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b），
故答案为：3（a-b）（a+b）
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
【详解】
A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y)，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y)，正确.
故选：A．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．C
【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)
【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P 94习题T 2改编】【2021·兴安盟】下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )A ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．2a －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1aD ．x 2＋6x ＋8＝x (x ＋6)＋82．下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－4x ＋43．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．x 2＋x ＋1B ．x 2＋2x －1C ．x 2－1D ．x 2－10x ＋254．分解因式－2m (n －p )2＋6m 2(p －n )时，应提取的公因式为( )A ．－2m 2(n －p )2B ．2m (n －p )2C ．－2m (n －p )D ．－2m5．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是( )A ．a 3－a ＝a (a 2－1)B ．m 2－2mn ＋n 2＝(m －n )2C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )D ．x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )6．下列因式分解正确的是( ) A ．3ax 2－6ax ＝3(ax 2－2ax )B ．x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )C ．a 2＋2ab －4b 2＝(a ＋2b )2D ．－ax 2＋2ax －a ＝－a (x －1)27．如果x －2是多项式x 2－6x ＋m 的一个因式，那么m 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．【2023·绵阳南山双语学校模拟】从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图①所示，然后拼成一个平行四边形，如图②所示，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为( )A ．a 2－b 2＝(a －b )2B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )9．【教材P 105复习题T 12变式】已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．下列各数中，可以写成两个连续偶数的平方差的是( )A ．500B ．520C ．250D ．205二、填空题(每题3分，共24分)11．分解因式：3m 3＋6m 2＝____________．12．把多项式()1＋x ()1－x －()x －1提取公因式x －1后，余下的部分是__________．13．【2022·苏州】已知x ＋y ＝4，x －y ＝6，则x 2－y 2＝________．14．一个长方体的体积为x 2y －9y ，长和宽是关于x 的一次二项式(一次项系数为1)，则长是________，宽是________．15．【教材P 105复习题T 13改编】若关于x 的二次三项式x 2＋ax ＋14是完全平方式，则a 的值是__________．16．已知a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，分解因式：(x 2＋y 2)－(axy ＋b )＝________________．17．在对多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解时，小明看错了b ，分解的结果是(x －10)(x ＋2)；小亮看错了a ，分解的结果是(x －8)(x －2)，则多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解的正确结果为____________．18．【规律探索题】观察下列各式：x 2－1＝(x －1)(x ＋1)，x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，x 4－1＝(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)，根据前面各式的规律可猜想：x n ＋1－1＝_________________________________________.三、解答题(19题16分，20，24题每题12分，21，22题每题8分，23题10分，共66分)19．【教材P104复习题T2改编】把下列各式因式分解：(1)4x2－64；(2)a3b＋2a2b2＋ab3；(3)(a－b)2－2(b－a)＋1；(4)x2－2xy＋y2－16z2.20.【数学运算】利用因式分解计算：(1)57×99＋44×99－99；(2)2 0242－4 048×2 023＋2 0232；(3)9×1.22－16×1.42.21．【教材P105复习题T6变式】已知x＋y＝4，x2＋y2＝14，求x3y－2x2y2＋xy3的值．22．【教材P105复习题T5变式】若一个两位正整数m的个位数字为8，求证：m2－64一定为20的倍数．23．【阅读理解题】阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．如：将x2＋2x－3因式分解．解：原式＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．(1)请你仿照以上方法，完成因式分解：a2＋4ab－5b2；(2)若m2＋2n2＋6m－4n＋11＝0，求m＋n的值．24．【直观想象】观察猜想如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的，请根据此图填空：x2＋(p＋q)x ＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(________)(________)．说理验证事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝_______________＝(________)(________)．于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．尝试运用例题：把x2＋3x＋2因式分解．解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．请利用上述方法将下列多项式因式分解：。
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解练习题(和答案)
第四章 因式分解一、单选题1．如果()()21427x mx x x +-=+-，那么m 的值为（ ）． A ．9 B ．9- C ．5- D ．52．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 3．已知3,2,a b ab +==计算22 a b ab +等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．104．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．49x 2﹣y 2z 2C ．﹣x 2﹣y 2D ．16m 2n 2﹣25p 25．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．21x x -+B ．212a a ++C ．2212xy x y -+D ．222a b ab -+ 6．下列因式分解正确的是（ ）A ．223(3)xy x y xy xy y x -+=-B ．()4222211x x x -+=+C ．2(3)(4)12x x x x +=+--D ．2321142x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 7．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（ ）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣288．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．169．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数 10．因式分解x 2+mx ﹣12﹣﹣x +p ﹣﹣x +q ），其中m ﹣p ﹣q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．12二、填空题11．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.12．多项式x （x ﹣1）﹣3x+4因式分解的结果等于_____．13．已知a b =22a b ab +=________14．在2011、2012……2020这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有________个．三、解答题15．下列各式分解因式：（1）225x - （2）22363ax axy ay -+16．仔细阅读下列解题过程：若2222690a ab b b ++-+=，求a ，b 的值．解：Q 2222690a ab b b ++-+=，2222690a ab b b b ∴+++-+=，()()2230a b b -∴++=， 0a b ∴+=，30b -=，3a ∴=-，3b =，根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知2222210x xy y y -+-+=，求2x y +的值；（2）若44m n =+，28170mn t t +-+=，求m t n -的值．17．给出三个单项式：2a ，2b ，2ab .（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当2018a =，2019b =时，求代数式222a b ab +-的值.18．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x 2﹣4y 2+2x ﹣4y ，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x 2﹣4y 2+2x ﹣4y＝（x 2﹣4y 2）+（2x ﹣4y ）＝（x+2y ）（x ﹣2y ）+2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣6xy+9y 2﹣3x+9y（2）△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2﹣b 2﹣ac+bc ＝0，判断△ABC 的形状．19．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，发现代数式22252m mn n ++可以因式分解为_________________；（2）若每块小矩形的面积为212cm ，四个正方形的面积和为280cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和答案1．C2．A3．B4．C5．C6．D7．D8．B9．A10．C11．012．（x ﹣2）213．14．215．（1）原式(5)(5)x x =-+；（2）原式=23()a x y =-.16．（1）3；（2）417．（1）()()22a b a b a b -=+-或()222a ab a a b -=-（答案不唯一）；（2）1. 18．(1)()()333x y x y ---;(2) ABC ∆是等腰三角形.19．（1）()()22m n m n ++；（2）48cm。
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解练习(和答案)
第四章 因式分解一、单选题1．如果()()21427x mx x x +-=+-，那么m 的值为（ ）． A ．9 B ．9- C ．5- D ．52．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 3．已知3,2,a b ab +==计算22 a b ab +等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．104．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．49x 2﹣y 2z 2C ．﹣x 2﹣y 2D ．16m 2n 2﹣25p 25．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．21x x -+B ．212a a ++C ．2212xy x y -+D ．222a b ab -+ 6．下列因式分解正确的是（ ）A ．223(3)xy x y xy xy y x -+=-B ．()4222211x x x -+=+C ．2(3)(4)12x x x x +=+--D ．2321142x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 7．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（ ）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣288．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．169．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数 10．因式分解x 2+mx ﹣12﹣﹣x +p ﹣﹣x +q ），其中m ﹣p ﹣q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．12二、填空题11．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.12．多项式x （x ﹣1）﹣3x+4因式分解的结果等于_____．13．已知a b =22a b ab +=________14．在2011、2012……2020这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有________个．三、解答题15．下列各式分解因式：（1）225x - （2）22363ax axy ay -+16．仔细阅读下列解题过程：若2222690a ab b b ++-+=，求a ，b 的值．解：Q 2222690a ab b b ++-+=，2222690a ab b b b ∴+++-+=，()()2230a b b -∴++=， 0a b ∴+=，30b -=，3a ∴=-，3b =，根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知2222210x xy y y -+-+=，求2x y +的值；（2）若44m n =+，28170mn t t +-+=，求m t n -的值．17．给出三个单项式：2a ，2b ，2ab .（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当2018a =，2019b =时，求代数式222a b ab +-的值.18．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x 2﹣4y 2+2x ﹣4y ，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x 2﹣4y 2+2x ﹣4y＝（x 2﹣4y 2）+（2x ﹣4y ）＝（x+2y ）（x ﹣2y ）+2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x+2y+2）。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解 测试题含答案
【点睛】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．A
【解析】
【分析】
先提公因式，再套用完全平方公式.
【详解】
ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
故选A．
∴ ，
∴பைடு நூலகம்=9，
故答案为：9.
【点睛】
此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的运算.
13．-5
【解析】
试题分析：根据m、n互为相反数可得m＋n=0，即可求得结果．
由题意得m＋n=0，则5m＋5n－5＝5（m＋n）－5=－5.
考点：本题考查的是相反数
点评：解答本题的关键是熟练掌握互为相反数的两个数的和为0.
8．C
【解析】
解析：选项A.用平方差公式法，应为x2y2-z2=（xy+z）·（xy-z），故本选项错误.
选项B.用提公因式法，应为-x2y+ 4xy-5y=- y（x2- 4x+5），故本选项错误.
选项C.用平方差公式法，（x+2）2-9=（x+2+3）（x+2-3）=（x+5）（x-1），故本选项正确.
选项D.用完全平方公式法，应为9-12a+4a2=（3-2a）2，故本选项错误.
故选C.
点睛：(1)完全平方公式： .
(2)平方差公式：(a+b)(a-b)= .
(3)常用等价变形：
,
,
.
9．C
【解析】
【分析】
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a，再对余下的多项式继续分解．
北师大版八年级下册 第4章 因式分解 单元练习卷 含解析
第4章因式分解一．选择题（共5小题）1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），则b﹣c的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣22．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+14．下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．x2﹣2x+2 C．x2﹣3x+3 D．x2﹣5x+5．5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11二．填空题（共5小题）6．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．8．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．9．定义一种运算：〈a，b〉＝ab+2a+3b，例如：〈﹣2，1〉＝﹣2﹣4+3＝﹣3．则〈a，b〉+6要进行因式分解的结果为；如果x，y都是整数，且〈x，y〉＝1，那么x+y的值为．10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．三．解答题（共7小题）11．把下列各式因式分解：（1）8x2yz﹣4xy（2）（x2+4）2﹣16x2．12．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．13．先阅读材料，再回答问题：分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．14．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．15．阅读题：分解因式：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：4a2+4a﹣1．16．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a ﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．17．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【分析】根据多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），即可得到当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+bx+c＝0，即1﹣b+c＝0，即可得到b﹣c的值．【解答】解：∵多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+bx+c＝0，即1﹣b+c＝0，∴b﹣c＝1，故选：B．2．【分析】根据提公因式法的分解方法分解即可．【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．故选：A．3．【分析】将2x3+x2﹣13x+6利用分组分解法分解因式，注意首先拆项可得：2x3+x2﹣10x ﹣3x+6，然后将前三项作为一组，后两项作为一组分解即可求得答案．【解答】解：∵2x3+x2﹣13x+6＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．故选：C．4．【分析】求出各项中根的判别式的值，根的判别式的值大于等于0即为在实数范围内能分解因式．【解答】解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝1，∴△＝1﹣4＝﹣3＜0，本选项不合题意；B、∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，∴△＝4﹣8＝﹣4＜0，本选项不合题意；C、∵a＝1，b＝﹣3，c＝3，∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，本选项不合题意；D、∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，∴△＝25﹣20＝5＞0，本选项符合题意；故选：D．5．【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．二．填空题（共5小题）6．【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，求出m、n后代入即可．【解答】解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，∴m＝3﹣a∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，故答案为：9．7．【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），即可求得p、q的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．故答案为：9．8．【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解；分解第二个因式后把﹣7x写成﹣4x﹣3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案为：3，﹣2022．9．【分析】由已知可得〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6，再分组分解；由〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，将式子变形为xy+2x+3y+6＝7，进行分组分解得到（x+2）（y+3）＝7，再由x，y都是整数，分别得到+2＝1，y+3＝7或x+2＝﹣1，y+3＝﹣7，即可求解．【解答】解：〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6＝a（b+2）+3（b+2）；〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，∵xy+2x+3y+6＝7，∴（x+2）（y+3）＝7，∵x，y都是整数，∴x+2＝1，y+3＝7或x+2＝﹣1，y+3＝﹣7，∴x＝﹣1，y＝4或x＝﹣3，y＝﹣10，∴x+y＝3或x+y＝﹣13；故答案为（b+2）（a+3）；3或﹣13．10．【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．三．解答题（共7小题）11．【分析】（1）直接提取公因式4xy，进而分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式，进而结合完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）8x2yz﹣4xy＝4xy（2xz﹣1）；（2）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．12．【分析】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；（3）将（2）中m和n的值代入x3+mx2+12x+n，提取公因式x，则由题意知（x﹣3）和（x﹣4）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式∴x＝3时，x2+kx+12＝0∴9+3k+12＝0∴3k＝﹣21∴k＝﹣7∴k的值为﹣7．（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0∴解得∴m、n的值分别为﹣7和0．（3）∵m＝﹣7，n＝0，∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4）13．【分析】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，再将M＝x+y代回即可得；（2）由原式变形为（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1，令N＝a2﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，根据a为正整数可作出判断．【解答】解：（1）设M＝x+y，则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2；（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1令N＝a2﹣5a+4，∵a为正整数，∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数，则原式＝N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，∵N为整数，∴原式＝（N+1）2即为整数的平方．14．【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c 的关系，判断三角形形状即可．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．15．【分析】首先将原式配方，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2＝（2a+1﹣）（2a+1+）．16．【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．【解答】解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．故答案为1．（2）设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．答：多项式的另一因式x2﹣x+3．（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x+1）（x3+ax2+bx+c）或（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b∴a＝o b+1＝1 b＝1由b+1＝1得b＝0≠1②（x+1）（x3+ax2+bx+c），＝x4+ax3+bx2+cx+x3+ax2+bx+c＝x4+（a+1）x3+（b+a）x2+（b+c）x+c∴a+1＝0 b+a＝1 b+c＝0 c＝1解得a＝﹣1，b＝2，c＝1，又b+c＝0，b＝﹣1≠2．③（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．17．【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，∴m2+n2＝29，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝29+20＝49，∵m+n＞0，∴m+n＝7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm．。
《第4章因式分解》期末复习能力提升训练(附答案)2020-2021学年八年级数学北师大版下册
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习能力提升训练（附答案）一．因式分解的意义1．下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（）A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+abC．ab﹣3b+2a﹣6D．ab﹣2a+3b﹣62．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．4．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．5．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是（填上序号）．6．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．7．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．8．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．9．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式．二．公因式10．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是．11．2x3y2与12x4y的公因式是．12．多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是．三．提公因式法因式分解13．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝．14．已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为．15．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）四．运用公式法因式分解16．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．18．已知，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2（2）x2﹣y2．五．提公因式法与公式法的综合运用19．因式分解：4a3﹣16a＝．20．因式分解：（1）﹣3ma2+12ma﹣12m；（2）n2（m﹣2）+4（2﹣m）．21．分解因式：（1）8a3b2+12ab3c；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．六．分组分解法因式分解22．分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝．23．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）1﹣x2﹣y2+2xy．24．因式分解：（1）6x2﹣13x+5（2）1﹣x2+2xy﹣y225．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．七．十字相乘法等因式分解26．你会对多项式（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12．解法一：设x2+5x＝y，则原式＝（y+2）（y+3）﹣12＝y2+5y﹣6＝（y+6）（y﹣1）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法二：设x2+5x+2＝y，则原式＝y（y+1）﹣12＝y2+y﹣12＝（y+4）（y﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法三：设x2+2＝m，5x＝n，则原式＝（m+n）（m+n+1）﹣12＝（m+n）2+（m+n）﹣12＝（m+n+4）（m+n﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：（1）（x2+x﹣4）（x2+x+3）+10；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；（3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2．八．实数范围内分解因式27．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A．x2﹣2x+2B．2x2﹣mx+1C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1九．因式分解的应用28．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．202229．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．30．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于．参考答案一．因式分解的意义1．解：（a﹣2）（b+3）＝﹣6﹣2b+3a+ab．故选：B．2．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．3．解：设另一个因式为x2+ax+b，则2x3+3x﹣k＝（2x﹣5）（x2+ax+b）＝2x3+（2a﹣5）x2+（2b﹣5a）x﹣5b，所以，解得：a＝2.5，b＝，即另一个因式为x2+2.5x+，故答案为：x2+2.5x+．4．解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，∴m＝3﹣a∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，故答案为：9．5．解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；④x4﹣1平方差公式，故④正确；⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；故答案为：②③④⑤⑥．6．解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，﹣2n＝6，m＝n﹣2．解得n＝﹣3，m＝﹣5，故答案为：﹣5．7．解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a＝4，k＝20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）8．解：设另一个因式为x+a，则（x+3）（x+a）＝x2+（3+a）x+3a，∵x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a），∴3+a＝﹣4，3a＝m，∴a＝﹣7，m＝﹣21，即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21．9．解：设另一个因式为2x2+mx﹣，∴（x﹣3）（2x2+mx﹣）＝2x3﹣5x2﹣6x+k，2x3+mx2﹣x﹣6x2﹣3mx+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k，2x3+（m﹣6）x2﹣（+3m）x+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k，∴，解得：，∴另一个因式为：2x2+x﹣3．二．公因式10．解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是8ab，故答案为：8ab．11．解：∵2x3y2＝2x3y•y，12x4y＝2x3y•6x，∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，故答案为：2x3y．12．解：m（m﹣3）+2（3﹣m）＝m（m﹣3）﹣2（m﹣3）＝（m﹣3）（m﹣2）；m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；m4﹣16＝m4﹣24＝（m2+4）（m2﹣4）＝（m2+4）（m+2）（m﹣2）．各项都含有m﹣2，因此它们的公因式是m﹣2．三．提公因式法因式分解13．解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]＝…＝（a+1）100．故答案为：（a+1）100．14．解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．15．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．四．运用公式法因式分解16．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．17．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．18．解：x+y＝2，xy＝（）2﹣（）2＝4，x﹣y＝2（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝24；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝8．五．提公因式法与公式法的综合运用19．解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），故答案为：4a（a+2）（a﹣2）20．解：（1）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2；（2）原式＝（m﹣2）（n2﹣4）＝（m﹣2）（n+2）（n﹣2）．21．解：（1）8a3b2+12ab3c＝4ab2（2a2+3bc）；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．六．分组分解法因式分解22．解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b为待定系数，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案为：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．23．解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（5x+4y）（x+8y）；（3）1﹣x2﹣y2+2xy＝1﹣（x2+y2﹣2xy）＝1﹣（x﹣y）2＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．24．解：（1）原式＝（2x﹣1）（3x﹣5）；（2）原式＝1﹣（x2﹣2xy+y2）＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）；25．解：∵甲看错了b，所以a正确，∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，∵因为乙看错了a，所以b正确∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，∴b＝9，∴a+b＝6+9＝15．七．十字相乘法因式分解26．解：（1）设x2+x＝y，则原式＝（y﹣4）（y+3）+10＝y2﹣y﹣2＝（y﹣2）（y+1）＝（x2+x﹣2）（x2+x+1）＝（x+2）（x﹣1）（x2+x+1）；（2）设x2+6＝m，原式＝（x2+6+7x）（x2+6+5x）+x2＝（m+7x）（m+5x）+x2＝m2+12xm+35x2+x2＝m2+12xm+36x2＝（m+6x）2＝（x2+6x+6）2；（3）设x+y＝m，xy＝n（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝（m﹣2n）（m﹣2）+（n﹣1）2＝m2﹣2m﹣2mn+4n+n2﹣2n+1＝m2﹣2m﹣2mn+n2+2n+1＝m2﹣2m（1+n）+（n+1）2＝（m﹣n﹣1）2＝（x+y﹣xy﹣1）2＝（y﹣1）2（1﹣x）2八．实数范围内分解因式27．解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式；选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．故选：D．九．因式分解的应用28．解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．29．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．30．解：∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2．∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4．故答案为4．。
北师大版八年级数学下册 第四章 因式分解 综合能力提升练习(含手写答案)
北师大版八年级数学下册 第四章 因式分解 综合能力提升练习班级 姓名 学号一、选择题：1.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 3.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 44.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 25.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③6．已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b 二、填空题7．计算()()=-+-10010122__________．8. 将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .9．已知a 2－6a+9与|b －1|互为相反数,计算a 3b 3+2a 2b 2+ab 的结果是_________．10．已知x 2－2(m －3)x+25是完全平方式,则 m= 。
11. 若关于x 的多项式2249y kxy x +-是一个完全平方式，则常数k 的值为_________12. 已知31=+a a ，则aa 1-的值是 。
北师大版数学八年级下册 第四章 因式分解 综合测试卷(含答案)
第四章因式分解综合测试卷一、选择题01下列从左到右的变形是因式分解且正确的是（）A．ab-b=b(a-1) B．(m+n)(m-n)=m²-n²C．-10x-10=-10(x-1) D．x²-2x+1=x(x-2)+102把8a³-8a²+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a(4a²-4a+1) B．8a²(a-1)C．2a(2a-1)² D．2a(2a+1)²03当a，b互为相反数时，代数式a²+ab-4的值为（）A．4 B．0 C．-3 D．-404边长为a，b的长方形的周长为12，面积为10，则a²b+ab²的值为（）A．120 B．60 C．80 D．4005计算-2²º¹³+(-2)²º¹⁴的结果是（）A．2²º¹³ B．-2 C．-2²º¹³ D．-106如果代数式x²+kx+49能分解成(x-7)²的形式，那么k的值为（）A．7 B．-14 C．±7 D．±1407 2x³-x²-5x+k中，有一个因式为(x-2)，则k的值为（）A．2 B．6 C．-6 D．-208下列多项式在实数范围内不能因式分解的是（）A．x³+2x B．a²+b² C．y²+y+14D．m²-4n²09已知a=2014x+2015,b=2014x+2016,c=2014x+2017，则a²+b²+c²-ab-ac-bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．310把(a-b)(a²-ab+b²)-ab(b-a)分解因式为（）A．(a-b)(a²+b²) B．(a-b)²(a+b) C．(a-b)³ D. -(a-b)³11已知a，b，c是三角形的三边长，则代数式a²-2ab+b²-c²的值（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定12设P=-a²(-a+b-c)，Q=-a(a²-ab+ac)，则P与Q的关系是（）A．P=Q B．P＞Q C．P＜Q D．互为相反数二、填空题.13把多项式x²-3x因式分解，正确的结果是_________14分解因式：(m+1)(m-9)+8m=_________.15下图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：_________16将m³(x-2)+m(2-x)分解因式的结果是_________17计算：4033²-4×2016×2017= _________.18若x+y-1=0，则12x²+xy+12y²-2=_________.三、解答题.19 因式分解．(1)10a(x-y)²+5ax(y-x); (2)(x+y)²-10(x+y)+25;(3)3a²-12ab+12b²; (4)(x²+y²)²-4x²y²;(5)9x⁴-144y⁴.20 利用因式分解计算：999²+999+685²-315²．21 已知a+b=5，ab=6，求多项式a³b+2a²b²+ab³的值．22 当n为整数时，(n+1)²-(n-1)²能被4整除吗？请说明理由．23 设y=kx，是否存在实数k，使得代数式(x²-y²)·(4x²-y²)+3x²(4x²-y²)能化简为x⁴？若能存在，请求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．24 数学课上老师出了一道题：计算296²的值，喜欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题过程如下：296²=(300-4)²=300²-2×300×(-4)+4²=90000+2400+16=92416．老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．25 先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc(百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c)，若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F(abc)=ac,如374，因为它的百位上数字3与个位上数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F(374)=3×4=12．(1)对于“欢喜数”abc，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n(m＞n)，若F(m)-F(n)=3，求m-n 的值。