2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第14讲函数模型及其应用

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1 1 因为f1-f2= 1 a 2 -［ ( a )2］2 1 2 1 16 = 2 (4 a 2 ) 2 1 a
=
a 2 (a 2 2)(a 2 2) (1 a 2 )(4 a 2 ) 2
,
所以，当0<a< 2 2 时,f1<f2,即清洗一次蔬菜 上残留的农药量较小； 当a= 2 2 时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样; 当a> 2 2 时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农 药量较少.
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将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种 方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间（分钟） 与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种方式的电 话费相差（ A ） A.10元 C.30元 B.20元 40 D. 元 3
(1)f(0)=1,表示没有用水清洗时，蔬 菜上残留的农药量保持不变. (2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是： 1 f(0)=1,f(1)= , 2 在［0,+∞)上是减函数，且0<f(x)≤1.
(3)设仅清洗一次,蔬菜上残留的农药量为f1, 清洗两次后,蔬菜上残留的农药量为f2,则
1 1 1 1 f1= ,f2= a 2 × 1 ( a )2 =［ 1 ( a )2 ］2 2 1 a 1 ( ) 2 2 2
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第二单元
函 数
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第14讲
函数模型及其应用
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了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义， 并能建立简单的数学模型，利用这 些知识解决应用问题.
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1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给 出，其中m>0,［m］是大于或等于m的最 小整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4). 若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟 的电话费为( C ) 由题设知,f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1) A.3.71元 B.3.97元 =1,06×(0.5×6+1)=4.24.故选C. C.4.24元 D.4.77元
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k ①一次函数模型:f(x)= +b(k、b为常数,k≠0); x k
② 反 比 例 函 数 模 型 ： f(x)= +b(k 、 b 为 常 x 数,k≠0); ③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常 数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最 为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为 常见的;
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2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 如下一组数据：
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B ) A.y=2x-2 C.y=log2x
1 2 B.y= (x -1) 2 1 x D.y=( ) 2
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两种话费相差为Δy， 根据几何关系可得Δy=Δy′, y =12,Δy′=10， 20 所以Δy=10.
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4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车 投入客运，据市场分析，每辆客车营运 的总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关 系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均 C 利润最大,每辆客车营运年数为（ ） A.2 B.4 C.5 D.6
④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常 数，k≠0,a>0且a≠1);
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⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0且a≠1);
⑥幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常 数,a≠0,n≠0);
k ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+ (k为常数,k>0)， x
去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为 时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=802t(件）,价格近似满足f(t)=20- 1 |t-10|（元）. (1) 试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y 与 时 间 t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
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(2)一般的，当线绕点旋转时，常 以旋转角为变量.
(3)合理选择是画图象还是分离参 数解决不等式组成立问题.当图易于作 出时，常用图象解决；当易分离参数 且所得函数的最值易于求解时，可用 分离参数法.
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题型二 已知函数模型求参数值
例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2
中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是 空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对 数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求：
=
c 4 2(a 2) a
≤
c2 = . 16
当且仅当α=
c2 大，为 . 16

4 ，即α=2时，等号成立.
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
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点评 (1)虽然问“α为多少时”，但若
以α为自变量，运算较大且需用到均值不 等式等技巧，而方法一以半径为自变量， 是一个简单的二次函数模型.同样，若以 弧长l为自变量，也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中，要合理选择自 变量.
1 AD AK 所以 = t= DF . DF AD 1
又DF∈(1,2)，所以t∈(
2
,1).
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江苏卷)按照某学者的理论，假 学例2 (2009·
设一个人生产某产品的单件成本为a元，如
果他卖出该产品的单价为m元，则他的意
m 度为 m a
；如果他买进该产品的单价为n元,
n 则他的满意度为 .如果一个人对两种交易 na
这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一 个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数 模型,
⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种 或多种模型的综合，因此应用也十分广泛. 12
典例精讲
题型一 函数模型的选择 例1 扇形的周长为c(c>0)，当圆心角为多
少弧度时，扇形面积最大？
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(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0, c 所以0<r< . 2 c c 1 1 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0<r< ), 2 2 2 2 c c2 当r= 4 时， Smax= ,
在t=20时，y取得最小值为600.
答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元, 第20天,y取得最小值600元.
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备选题
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对 用一定量的水清洗一次的效果作如下假定： 用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量 1 的 ,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还 2 有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清 洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次 清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
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2
1 (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0≤t<10)
(40-t)(50-t)(10≤t≤20). (2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225]. 在t=5时,y取得最大值为1225； 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],
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3.函数的应用问题通常是以下几种 类型：可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题，如费用最小，效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法. 4.应用题中的函数由于它具有实际 意义，因此函数中的变量除要求使函数 本身有意义外，还要符合其实际意义.
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走进高考
浙江卷)如图,在长方形ABCD 学例1(2009·
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（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；
a （2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升? 8
(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt， 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， 解得2e-5m=1
(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他
对这两种交易的综合满意度为 h1h2 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成
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本分别为12元和5元，乙生产A、B 两 种 产品的单件成本分别为3元和20元，设产 品A、B的单价分别为mA 元和mB 元，甲 买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖 出A与买进B的综合满意度为h乙. (1)求h 甲 和h 乙 关于mA 、mB 的表达式；当 mA= 3 mB时，求证：h甲=h乙； 5 3 (2)设mA= mB，当mA、mB分别为多少时， 5 甲、乙两人的综合满意度均最大？最大 的综合满意度为多少？
证明：当mA=
h甲=
3 5
mB时，
=
mB 2 ( mB 20)( mB 5)
3 mB mB 5 3 mB 3 mB 5 5
,
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h乙=
所以h甲＝h乙.
中 ,AB=2,BC=1,E 为 DC 的 中 点 ,F 为 线 段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF 折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD 内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的 取值范围是( 1 ,1 ). 2
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如图，过K作KM⊥AF于M点，连 接DM，易得DM⊥AF，与折前的图形相 比，可知在折前的图中，D、M、K三点 共线，且DK⊥AF，于是在折前的图中 △DAK∽△FDA，