2021新高考数学二轮复习专题练： 专题四 概率与统计 专题检测卷(四) 概率与统计
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下:注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年.(1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01);(2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元?参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率.①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.②临界值表:3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望;(3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂?4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元; 方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?答案及解析1.解 (1)t =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5, y =12.7+10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7+0.69≈6.02, b ^=∑i=19t i y i -9t y∑i=19(t i -5)2=183.6-270.960≈-1.46,a ^=y −b ^t =6.02-(-1.46)×5=13.32.故y 关于t 的经验回归方程为y ^=-1.46t+13.32.(2)因为P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P (X>μ-2σ)=0.954 5+1-0.954 52=0.977 25. 因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布N (1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ-2σ=0.4,P (X>0.4)=0.977 25,故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.2.解 (1)根据已知数据可建立列联表如下:零假设为H 0:是否为一级品与生产线无关.χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(20×65-35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024=x 0.025,依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 0不成立,即认为是否为一级品与生产线有关.(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15.记A 生产线生产一件产品的利润为X ,则X 的取值为100,50,-20,其分布列为B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25 ,14.记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20, 其分布列为①E(X)=100×15+50×35+(-20)×15=46,E(Y)=100×720+50×25+(-20)×14=50.故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②D(X)=(100-46)2×15+(50-46)2×35+(-20-46)2×15=1 464.D(Y)=(100-50)2×720+(50-50)2×25+(-20-50)2×14=2 100.因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.3.解(1)由题意可得P(61≤d<62)=10100=0.1,P(62≤d≤63)=3100=0.03,P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(1-2×0.03-0.14-0.1)=0.35,所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=0.351=0.35.x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C31×0.7×(1-0.7)2=0.189,P(ξ=2)=C32×0.72×(1-0.7)=0.441,P(ξ=3)=C33×0.73=0.343,所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及题意可知x=60,σ=1.所以P(x-σ≤X≤x-σ)=P(59≤X≤61)=0.7.|P(x-σ≤X≤x+σ)-0.682 7|=|0.7-0.682 7|=0.017 3≤0.03,P(x-2σ≤X≤x-2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.94,|P(x-2σ≤X≤x+2σ)-0.954 5|=|0.94-0.954 5|=0.014 5≤0.03.所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布.所以能让该批零件出厂.4.解(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X1)=80000+0.001×500 000=80 500元.采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(X2)=50 000+0.008×500 000=54 000元,因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.。
2021年高考数学二轮复习 概率与统计综合题1 文
2021年高考数学二轮复习概率与统计综合题1 文5．(xx·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．【解】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.6．(xx·山东潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P2＝315＝15.∴P1<P2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．7．(xx·东北三校联考)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监API[0,50](50,100](100,150](150,200][200,250](250,300]>300 空气优良轻微污染轻度污染中度污染中度重重度质量 污染 污染 天数 4 13 18 30 9 11 15(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为w )的关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0≤w ≤100，4w －400，100<w ≤300，2 000，w >300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 100附：P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d【解】 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250.频数为39，P (A )＝39100. (2)根据题中数据得到如下列联表：非重度污染 重度污染 合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100K 2的观测值k ＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841， 所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．8．(xx·云南玉溪一模)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【解】 (1)如图所示：(2)∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5， y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52 ＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y ^－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．30869 7895 碕tg<29614 73AE 玮38821 97A5 鞥G35418 8A5A 詚tZ 33101 814D 腍32655 7F8F 羏[4。
2021年高考理数二轮复习讲练测 热点12 概率与统计相结合问题(讲)(解析版)
概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查概率或统计学问，主要是对基本概念和基本抽样方法的考查，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计、算法框图等学问交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，留意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．1 古典概型与统计图表结合概率与与统计图表相结合是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次毁灭．需娴熟把握．我们主要要把握频率分布直方图、茎叶图、频率分布密度曲线的几何意义。
例 1 【2022高考辽宁理第18题】一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 思路分析：（Ⅰ）设1A 表示大事“日销售量不低于100个”，2A 表示大事“日销售量低于50个”，B 表示大事“在将来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出1()0.6P A =，2()0.15P A =，利用大事的独立性即可求出()P B ；(Ⅱ)由题意可知X ~B (3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E (X )和方差D （X ）的值.2 古典概型与统计的数字特征相结合概率与统计的数字特征相结合进行考查是概率统计考查得一个主要内容。
主要要求我们把握统计的常见的数字特征的算法，比如中位数、平均数、众数、方差和标准差． 例 2 【2022高考大纲理第20题】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.思路分析：（I ）首先用字母表示有关的大事，i A 表示大事：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示大事：甲需使用设备；C 表示大事：丁需使用设备；D 表示大事：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥大事的和：122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，再利用互斥大事的概率加法公式计算()P D ；（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．先用分解策略求分别()()0,1,2,3,4P X i i ==，最终利用离散型随机变量数学期望公式求EX 的值．。
高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第1讲统计与统计案例专题强化练理
高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第1讲统计与统计案例专题强化练理A 级 基础通关一、选择题1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：依题意，分层抽样比为301 200＝140. 所以81＝140(1 000＋1 200＋n )，解得n ＝1 040.答案：D2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号．所以样本中还有一位同学的编号为20号． 答案：C3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( )x 3 4 5 6 y2.5344.5A.5万元 C ．5.25万元D ．5.5万元解析：由统计表格，知x －＝4.5，y －＝3.5， 所以3.5＝4.5m ＋0.35，则m ＝0.7，因此y ^＝0.7x ＋0.35,当x ＝7时，y ^＝0.7×7＋0.35＝5.25(万元)， 故2019年捐赠的现金大约是5.25万元． 答案：C4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A.3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7解析：由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y ＝5.由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66，从而有56＋62＋65＋74＋70＋x5＝66，解得x ＝3.答案：A5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s 21，s 22，则频率分布直方图(甲)中的a 的值及s 21与s 22的大小关系分别是( )A ．a ＝0.015，s 21<s 22 B ．a ＝0.15，s 21>s 22 C ．a ＝0.015，s 21>s 22D ．a ＝0.15，s 21<s 22解析：由(0.020＋0.010＋0.030＋a ＋0.025)×10＝1，得a ＝0.015.根据频率分布直方图，乙中较稳定，则s 21>s 22.答案：C 二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.987．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．解析：依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据． 在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人． 答案：48．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：分类女男总计喜爱402060不喜爱203050总计6050110________的前提下(约有________的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828(参考公式：K2＝2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d)解析：根据列联表中数据，可得K2的观测值k＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.822>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(约有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．答案：0.01 99%三、解答题9．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？解：(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时)．(2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由题设条件得列联表分类微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100所以K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝100（38×20－30×12）250×50×68×32≈2.941>2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．10．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数1324926 5日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6) 频数15131016 5(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)．解：(1)所求的频率分布直方图如下：(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为 x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3)．B 级 能力提升11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的结论，有________(填写正确的序号)．解析：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．答案：②③12．(2019·天一大联考)某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．(1)设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为y ^＝1.2x ＋40，且年龄x 的方差为s 2x ＝14.4，评分y 的方差为s 2y ＝22.5.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；(2)按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．分类 好评 差评 青年 8 16 中老年206附：线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^＝；相关系数r ＝.独立性检验中的K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001k 0 3.841 6.635 10.828解：(1)相关系数r ＝＝＝b ^·50s 2x50s 2y＝1.2×1215＝0.96. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强． (2)由2×2列联表得K 2＝50×（8×6－20×16）224×26×28×22≈9.624>6.635.故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．。
高考数学二轮复习 第一部分 保分专题四 概率与统计 第2讲 概率及应用课件 文
8分
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，
B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
12 分
[规范解释] 列举事件空间． 找出所研究的事件，求概率． 列举总的事件． 找出所研究事件，求概率．
求古典概型概率的方法 正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数． (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求出所求事件的对立事件的概 率．
其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： (10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)共 6 组． ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为164＝37.
考点考查题型 已知两个变量的某些数据，求频率、求概率
考点应用方法 利用频率求概率，利用古典概型求概率
个适花合坛题中意，的则只红有色2和种紫，色其的概花率不P在＝同23. 一花坛的概率是( C )
A.13
B.12
2
5
C.3
D.6
技法：无限元素用几何．一个变量为长度．二个变量是平 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待 面．变量之比为概率． 15 秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯 和率绿P灯＝交2450替＝出58. 现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
解析：(1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵 数分别是 8,8,9,10，故 x ＝8＋8＋49＋10＝345，s2＝14× 8－3452×2＋9－3452＋10－3452＝1116.
【志鸿优化设计】2021高考数学二轮专题升级训练 解答题专项训练(概率与统计) 理 新人教A版(1)
专题升级训练解答题专项训练(概率与统计)1.乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行,竞赛采纳7局4胜制(即先胜4局者获胜,竞赛终止),假设两人在每一局竞赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且竞赛局数多于5局的概率;(3)求竞赛局数的散布列.2.为了在某次竞赛中取得好成绩,某代表队已组织了多次竞赛演练.某次演练中,该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑竞赛,这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道.(1)求甲、乙两位选手恰好别离占据1,2跑道的概率;(2)假设甲、乙两位选手之间距离的人数记为X,求X的散布列和数学期望.3.我国是世界上严峻缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,打算在本市试行居民生活用水定额治理(即确信一个居民月均用水量标准a,用水量不超过a的部份依照平价收费,超过a的部份依照议价收费).为了较为合理地确定出那个标准,通过抽样取得了100位居民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率散布直方图.(1)由于某种缘故频率散布直方图部份数据丢失,请在图中将其补充完整;(2)用样本估量整体,若是希望80%的居民每一个月的用水量不超出标准a,那么月均用水量的最低标准定为多少吨,并说明理由;(3)假设将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看做有放回的抽样),其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X,求X的散布列和均值.4.某品牌的汽车4S店,对最近100位采纳分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频4020a10b数(1)求上表中的a,b值;(2)假设以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,最多有1位采纳3期付款”的概率P(A);(3)求η的散布列及数学期望E(η).5.现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每一个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.(1)求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(3)用X,Y别离表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的散布列与数学期望E(ξ).6.某商店试销某种商品20天,取得如下数据:日销售0123量(件)频数1595试销终止后(假设该商品的日销售量的散布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业终止后检查存货.假设发觉存货少于2件,那么当天进货补充至3件,不然不进货.将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的散布列和数学期望.7.省青年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员.现将这两所体校中的20名备选学生的身高绘制成如下茎叶图(单位:cm):假设身高在180 cm以上(包括180 cm)概念为“高个子”,身高在180 cm以下(不包括180 cm)概念为“非高个子”.(1)用分层抽样的方式从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,若是从这5人中随机选2人,那么至少有一个是“高个子”的概率是多少?(2)假设从所有“高个子”中随机选3名队员,用ξ表示乙校当选出的“高个子”人数,试求出ξ的散布列和数学期望.8.为增强中学生实践、创新能力和团队精神的培育,增进教育教学改革,郑州市教育局举行了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有200名学生参加,为了解成绩情形,从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数,总分值为100分)进行统计.请你依照尚未完成的频率散布表,解答以下问题:分组频数频率一60.5~70.5a0 .26二70.5~80.515c三80.5~90.518.36四90.5~100.5b d合计5e(1)假设用系统抽样的方式抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为000,001,002,…,199,试写出第二组第一名学生的编号;(2)求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果),并作出频率散布直方图;(3)假设成绩在95.5分以上的学生为一等奖,此刻,从所有一等奖同窗中随机抽取5名同窗代表学校参加决赛,某班共有3名同窗荣获一等奖,假设该班同窗参加决赛人数记为X,求X的散布列和数学期望.##1.解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局竞赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A,那么P(A)=··.(2)记“乙获胜且竞赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1=··,乙以4比3获胜的概率为P2=··,因此P(B)=P1+P2=.(3)设竞赛的局数为X,那么X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=2,P(X=5)=2··,P(X=6)=2··,P(X=7)=2··.竞赛局数的散布列为:X4567P2.解:(1)设“甲、乙两位选手恰好别离占据1,2跑道”为事件A,那么P(A)=.因此,甲、乙两位选手恰好别离占据一、2跑道的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=.随机变量X的散布列为:X0123P因为E(X)=0×+1×+2×+3×=1,因此随机变量X的数学期望为1.3.解:(1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位,占样本整体的20%,由样本估量整体,要保证80%的居民每一个月的用水量不超出标准,月均用水量的最低标准应定为2.5吨.(3)依题意可知,居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是,那么X~B,P(X=0)=,P(X=1)=·,P(X=2)=·,P(X=3)=.X的散布列为:X 0123PE(X)=3×.4.解:(1)由=0.2,得a=20.∵40+20+a+10+b=100,∴b=10.(2)记分期付款的期数为ξ,依题意得:P(ξ=1)==0.4,P(ξ=2)==0.2,P(ξ=3)=0.2,P(ξ=4)==0.1,P(ξ=5)==0.1.那么“购买该品牌汽车的3位顾客中最多有1位采纳3期付款”的概率:P(A)=0.83+0.2×(1-0.2)2=0.896.(3)∵η的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元),P(η=1)=P(ξ=1)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4,P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,∴η的散布列为η11.52P 0.4.4.2∴η的数学期望E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).5.解:依题意,这4个人中,每一个人去参加甲项目联欢的概率都为,去参加乙项目联欢的概率都为.设“这4个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件A i(i=0,1,2,3,4),那么P(A i)=.(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)=.(2)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B,那么B=A3∪A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.P(ξ=0)=P(A2)=;P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.∴ξ的散布列是ξ024P∴E(ξ)=0×+2×+4×.6.解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=;P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=.故X的散布列为X23PX的数学期望为E(X)=2×+3×.7.解:(1)依照茎叶图可知,这20名学生中有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方式从中抽出5人,那么每一个学生被抽到的概率为,因此应从“高个子”中抽8×=2(人),从“非高个子”中抽12×=3(人).用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”,那么它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”,那么P(A)=1-P()=1-=1-,因此至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意知,从乙校当选“高个子”的人数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.因此,ξ的散布列如下:ξ0123P因此ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.8.解:(1)编号为004.(2)a,b,c,d,e的值别离为13,4,0.30,0.08,1.频率散布直方图如图.(3)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2,占样本的比例是=0.04,即获一等奖的概率为4%,因此获一等奖的人数估量为200×4%=8,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的散布列为因为E(X)=0×+1×+2×+3×,因此随机变量X的数学期望为.。
高考数学(理科)二轮专题：第二篇专题四第1讲 概率、随机变量及其分布列
专题四 概率与统计第1讲 概率、随机变量及其分布列(限时45分钟，满分96分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为A.13B.12C.14D.16解析 设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，∴S 1＝3 33510 000≈13，∴S ≈13.故选A. 答案 A2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是A.115B.110C.13D.1130解析 A ，B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13.故选C.答案 C3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是A.19B.29C.49D.59解析 由题设可得a ＋b ＝23，b －a ＝13⇒a ＝16，b ＝12，所以由数学期望的计算公式可得 E (X 2)＝0×13＋1×23＝23，(E (X ))2＝19，所以由随机变量的方差公式可得 D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝59.故选D.答案 D4．(2019·河北省级示范校联合体联考)袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A.18B.14C.16D.524解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021，130，031，故所求概率为P ＝324＝18.故选A.答案 A5．(2019·郑州一模)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是A.25B.35C.12D.13解析 首先结合f (－x )＋f (x )与0的关系，判断该六个函数的奇偶性，结合题意可知1，4，6为奇函数，3，5为偶函数，2为非奇非偶函数，从6张卡片抽取2张，有C 26＝15种，而任取2张卡片得到的新函数为奇函数，说明该两个函数为一奇一偶函数，故有3×2＝6种，结合古典概型计算公式，相除得25.故选A.答案 A6．(2019·辽阳期末)一批排球中正品有m 个，次品有n 个，m ＋n ＝10(m ≥n )，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数．若D (X )＝21，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率p ＝A.4445B.1415C.79D.1315解析 依题意可得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，n10， 则DX ＝10×n10×⎝⎛⎭⎫1－n 10＝21， 又m ≥n ，则n ≤5，从而n ＝3， 则p ＝1－C 23C 210＝1415.故选B.答案 B7．(2019·济南期末)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A.π6B ．1－π6C.π4D ．1－π4解析 由题意，题目符合几何概型，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，面积为12×BC ×AC ＝3，阴影部分的面积为：三角形面积－12圆面积＝3－π2，所以点落在阴影部分的概率为3－π23＝1－π6.故选B.答案 B8．(2019·贵州重点中学联考)有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.2π－334π－23 B.23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析 设圆半径为R ，如图，易得△ABC 的面积为12·32R 2＝34R 2，阴影部分面积为3·60πR 2360－3·34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为2π－334R 2＋34R 2＝π－32R 2，若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为P ＝阴影部分面积勒洛三角形面积＝2π－334R 2π－32R 2＝2π－332π－23.故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．一个盒子装有3个红球和2个蓝球(小球除颜色外其他均相同)，从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为ξ，则ξ的方差是________．解析 由题意知ξ～B (n ，p )，其中n ＝50，p ＝C 23C 12C 35＝610＝35，∴D (ξ)＝50×35×25＝12.答案 1210．(2019·淮南二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0<x <1，0<y <1，经统计数字x 、y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．解析 实数对(x ，y )落在区域⎩⎨⎧0<x <10<y <1的频率为0.28，又设A 表示“实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧0<x <10<y <1且能与1构成钝角三角形”，则A 中对应的基本事件如图阴影部分所示：其面积为π4－12，故P (A )＝π4－12≈0.28，所以π≈7825.答案782511．(2019·长春外国语学校月考)已知直线l 过点(－1，0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．解析 显然直线l 的斜率存在， 设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入(x －1)2＋y 2＝3中得， (k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－2＝0， ∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点， ∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0， ∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2， ∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率 P (M )＝1－（－1）3－（－3）＝33.答案3312．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)13．(2019·湖南三湘名校二联)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当k ≥85时，产品为一等品；当75≤k <85时，产品为二等品；当70≤k <75时，产品为三等品．现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果．(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率； (2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，k ≥855t 2，75≤k <85t 2，70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．解析 (1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以至少抽到2件三等品的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×910＋⎝⎛⎭⎫1103＝7250.(2)甲生产线生产的产品的利润分布列为所以E (y 甲)＝0.6t ＋2t 2,乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 E (y 乙)＝0.5t ＋2.1t 2, 因为0<t <15，所以E (y 乙)－E (y 甲)＝0.1t 2－0.1t ＝0.1t (t －1)<0，所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．14．(2019·佛山禅城区二调)研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm ～235 mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图(1)求样本平均株长x －和样本方差s 2(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)假设幼苗的株长X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数；(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201，219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．附：83≈9；若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683； P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954；P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997解析 (1)x －＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210， s 2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.(2)由(1)知， μ＝x －＝210，σ＝83≈9， ∴P (201<X <219)＝P (210－9<X <210＋9)＝0.683， 2 000×0.683＝1 366∴2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数大约是1 366.(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数1 366，每株幼苗最终结穗的概率P ＝12，则ξ－B ⎝⎛⎭⎫1 366，12， 所以E (ξ)＝1 366×12＝683.15．(2019·河北示范高中联合体联考)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望．附：K 2＝（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解析 (1)因为K 2的观测值k ＝100×（48×8－42×2）250×50×90×10＝4>3.841，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关． (2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000件时， 得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3 ＝3 100元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 1＝25，女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 2＝12，设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫1，25， Z 的所有可能取值为0，1，2，3，P (Z ＝0)＝P (X ＝0，Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－25＝320， P (Z ＝1)＝P (X ＝1，Y ＝0)＋P (X ＝0，Y ＝1) ＝C 12·12·⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－25＋⎝⎛⎭⎫1－12225＝25， P (Z ＝2)＝P (X ＝2，Y ＝0)＋P (X ＝1，Y ＝1) ＝C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－25＋C 1212⎝⎛⎭⎫1－1225＝720， P (Z ＝3)＝P (X ＝2，Y ＝1)＝⎝⎛⎭⎫122×25＝110， 所以Z 的分布列为故E (Z )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.。
2021年高考理数二轮复习讲练测-热点12-概率与统计相结合问题(测)(原卷版)
总分 150分 时间 120分钟 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ （一） 选择题（12*5=60分）1.【成都外国语学校高2021届高三10月月考，理7】如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中 的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为（ ） A.52 B.107C.54D.1092.【湖北省襄阳市第四中学2022-2021学年高三阶段性测试，理9】在区间[0，2]上随机取两个数y x ,，则 []2,0∈xy 的概率是（ ）A.22ln 1- B. 42ln 23- C.22ln 1+ D. 22ln 21+ 3.【河南省中原名校2021届高三上学期第一次摸底考试数学，理3】设随机变量ξ听从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为（ ）A.73 B.35 C.53 D ．754.【河南省中原名校2021届高三上学期第一次摸底考试数学，理6】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为（ ） A.1e B.2e C.22e D.21e5.【浙江省重点中学协作体2021届第一次适应性训练，理7】甲乙两人进行乒乓球竞赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜败相互独立，则竞赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ）A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．6702436.【广东省惠州市2021届高三上学期其次次调研考试，理5】为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名同学参与环保学问测试，得分（格外制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则( )A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x7.【2022高考广东卷理第6题】已知某地区中学校生人数和近视状况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中学校生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的同学进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，108. 【2022高考湖北卷理第4题】依据如下样本数据x3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0a > ,0>b B.0a > ,0<b C.0a < ,0>b D.0a < ,0<b9. 【2022高考湖北卷理第7题】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 10. 【2022高考湖南卷第2题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ） A.321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p ==11. 【2022高考江苏卷第4题】 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .12. 【2022江西高考理第6题】某人争辩中同学的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中同学，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女1022 32 总计 16 3652A.成果 表2 不及格 及格 总计 男 4 16 20 女1220 32 总计 163652B.视力表3 不及格 及格 总计男 8 12 20女824 32 总计 163652C.智商表4不及格 及格 总计男 14 6 20 女230 32 总计 163652D.阅读量（二） 填空题（4*5=20分）13.【黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三10月月考，理14】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 _________ ．14.【四川省成都市新都一中2021届高三10月考，文18】某校为进行爱国主义训练，在全校组织了一次有关钓鱼岛历史学问的竞赛．现有甲、乙两队参与钓鱼岛学问竞赛，每队3人，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23、23、12，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分． (Ⅰ) 求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ) 用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一大事，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一大事，求P (AB )．16.【四川省成都试验外国语高2021届高三11月月考，文19】某公司方案在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透亮 的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余状况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？（三） 解答题（6*12=72分）17. 【四川省成都市新都区2021届高三理科数学诊断测试，文17】设在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子里有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为x ，y ，设随机变量ξ＝|x －2|＋|y －x | (1)写出随机变量ξ的取值集合(直接写出答案即可)；(2)求ξ的分布列和数学期望及方差.18.【江西六校数学，理16】为了参与2022年南京青奥会运动会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源如下表:对别北京上海天津广州人数 4 6 3 5(1)从这18名对员中随机选出两名,求两人来自同一个队的概率;(2)竞赛结束后,若要求选出两名队员代表发言,设其中来自北京的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列,及数学期望.20.【广东省韶关市十校2021届高三10月联考，理17】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是311,,424，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与方差．21.【广东省惠州市2021届高三上学期其次次调研考试，理17】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）依据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．22.【河北省唐山市第一中学2021届高三上学期期中考试，理18】某市,,,A B C D四所中学报名参与某高校今年自主招生的同学人数如下表所示：中学A B C D人数30402010为了了解参与考试的同学的学习状况，该高校接受分层抽样的方法从报名参与考试的四所中学的同学当中随机抽取50名参与问卷调查．（1）问,,,A B C D四所中学各抽取多少名同学？（2）从参与问卷调查的50名同学中随机抽取两名同学，求这两名同学来自同一所中学的概率；（3）在参与问卷调查的50名同学中，从来自,A C两所中学的同学当中随机抽取两名同学，用ξ表示抽得A中学的同学人数，求ξ的分布列．。
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专题检测卷(四) 概率与统计 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020·深圳统测)某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( ) 附：第1行至第2行的随机数表 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A.25 B.23 C.12 D.07 解析 从随机数表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次两位两位地读取，依次抽取的零件编号分别为07，04，08，23，12，因此抽取的第5个零件编号为12.故选C. 答案 C 2.(2020·天津适应性测试)某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量(m3)，其频率分布表和频率分布直方图如下，则图中t的值为( ) 分组 频数 频率 [0，0.5) 4 0.04 [0.5，1) 8 0.08 [1，1.5) 15 a [1.5，2) 22 0.22 [2，2.5) m 0.25 [2.5，3) 14 0.14 [3，3.5) 6 0.06 [3.5，4) 4 0.04 [4，4.5] 2 0.02 合计 100 1.00
A.0.15 B.0.075 C.0.3 D.15 解析 由表格数据可得t＝15÷100÷0.5＝0.3.故选C. 答案 C 3.(2020·河南六市模拟)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为( )
A.15 B.14 C.13 D.12 解析 从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，10种结果，其中两类元素相生的有木火、火土、水木、金水、土金，共5种结果，所以两类元素相生的概率为510＝12.故选D. 答案 D 4.(2020·烟台调研)山东烟台的苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台的苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正 态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为( ) [附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA.0.682 6 B.0.841 3 C.0.818 5 D.0.954 4 解析 由题意，知μ＝80，σ＝5，则P(75∴P(859＝0.818 5.故直径在(75，90]内的概率为0.818 5.故选C. 答案 C 5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×1－34＋34×1－23＝512，故选D. 答案 D 6.(2020·杭州一模)已知随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P b－a b a 则D(ξ)的最大值为( ) A.14 B.12 C.1 D.不是定值 解析 由题意得b－a＋b＋a＝1，解得b＝120
12＋2a2＝14＋2a＋4a2，则D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝－4a2＋2a＋140
1
2，则当a＝1
4
时，D(ξ)的最大值为12，故选B. 答案 B 7.(2020·海南诊断)右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的钉子，钉子之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落 下后，将与层层钉子碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )
A.332 B.1564 C.532 D.516 解析 由题意知小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，所以p左＝p右＝12.若小球最终落入③号球槽，则小球经历了5次选择，其中向左下落3次，向右下落2
次，所以小球最终落入③号球槽的概率p＝C35123122＝516.故选D. 答案 D 8.(2020·陕西百校联盟联考)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁四人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )
A.13 B.712 C.512 D.12 解析 依题意，所有的扮演情况有A44＝24种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有A33＋2A22A22＝14种，故所求概率p＝1424＝712.故选B. 答案 B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.设同时抛掷两个质地均匀且四个面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}.则下列说法正确的有( ) A.P(A)＝P(B)＝P(C) B.P(AB)＝P(AC)＝P(BC) C.P(ABC)＝18 D.P(A)P(B)P(C)＝18
解析 由题意可知P(A)＝12，P(B)＝12，P(C)＝84×4＝12，故A，D正确；P(AB)＝2×24×4
＝14，P(AC)＝2×24×4＝14，P(BC)＝2×24×4＝14，故B正确；因为互斥事件不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误.故选ABD. 答案 ABD 10.(2020·北京模拟)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利
用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为y^＝b^x＋a^，那么下面说法正确的是( )
A.直线y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个 B.直线y^＝b^x＋a^必经过点(x－，y－) C.直线y^＝b^x＋a^表示接近y与x之间真实关系的一条直线 D.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 解析 回归直线y^＝b^x＋a^是由许多样本点拟合而成的，它可以不经过任何样本点，故A错误；回归直线y^＝b^x＋a^必过样本点的中心，即点(x－，y－)，故B正确；回归直线的方程y^＝b^x＋a^是采用最小二乘法求出的直线方程，接近真实关系，故C正 确；相关系数r的绝对值越接近于1，相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D正确.选BCD. 答案 BCD 11.(2020·济宁质检)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表： 所需时间/分 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 下列说法正确的是( ) A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分)，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路二，C错误；若上下班走不同线路，且所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二所需时间可以为(50，60)，(60，50)，(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确.故选BD. 答案 BD 12.(2020·海南新高考诊断)如图的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( )