学案4：5.4 统计与概率的应用

5.4 统计与概率的应用

【课标要求】

课程标准：了解统计与概率在实际生活中的应用，能应用统计与概率的知识解决实际问题.学习重点：运用统计与概率的知识解决实际问题.

学习难点：如何把实际问题转化为统计与概率的问题.

【知识导学】

知识点解答概率应用题的步骤

概率在实际生活中有着广泛的应用，要善于将实际问题转化为概率模型去解决，求复杂事件的概率一般可分三步进行：

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的表示它们．

(2)理清各事件之间的关系，列出．

(3)根据事件之间的关系，准确地运用概率公式求解，若直接计算符合条件的事件个数较繁琐，可间接地计算事件的个数，求得事件的概率，然后求出符合条件的事件的概率．

【新知拓展】

极大似然法

在一次试验中概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大，并以此作为做出决策的理论依据．因此我们在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来科学地做出决策．

【基础自测】

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一件事成功的概率是0.1%，那么它必然不会成功．()

(2)某校九年级共有学生400人，为了了解他们的视力情况，抽查了20名学生的视力并对所得数据进行整理，若视力在0.95～1.15范围内的频率为0.3，则可估计该校九年级学生的视力在0.95～1.15范围内的人数为120.()

(3)甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球，摸出1个球，要想摸出1个黑球，由于乙袋中黑球的个数多些，故选择乙袋成功的机会较大．()

2．做一做

(1)根据北京市教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为()

A ．460

B ．480

C ．不少于480

D ．不多于480 (2)玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.

(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，从中随机抽出一件产品，这件产品是一等品或二等品的概率为98%，这件产品是二等品或三等品的概率为5%，这件产品是一等品或三等品的概率为97%，那么这件产品是一等品的概率为________．

【题型探究】

题型一 统计与概率在整体估计中的应用

例1 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．

【规律方法】

利用频率与概率的关系求未知量的步骤

(1)抽出m 个样本进行标记，设总体为未知量n .则标记概率为m n

. (2)随机抽取n 1个个体，出现其中m 1个被标记，则标记频率为m 1n 1

. (3)用频率近似等于概率，建立关系式m n ≈m 1n 1

. (4)求得n ≈mn 1m 1

.

【跟踪训练1】

为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．

题型二统计与概率在游戏公平性中的应用

例2李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．

[变式探究]本例中规则改为“两枚骰子的点数之积为偶数时，李红得1分，否则张明得1分．”这样是否公平？

【规律方法】

游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．

【跟踪训练2】

如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指向分界线，则重新转一次)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改才能使游戏规则对双方公平？

题型三统计与概率在社会调查中的应用

例3某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．

问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？(一年以365天计算)

问题2：你是否经常吸烟？

调查者设计一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的

答案．

请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？

【规律方法】

在进行社会调查或心理咨询时，由于有些问题比较敏感，或是涉及到隐私等难于启齿的问题，可以通过概率解决，设计问题时要注意巧妙性，一是易于回答，二是只有被调查者知道答案．【跟踪训练3】

某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调整不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

题型四统计与概率在决策中的应用

例4设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球

和99个黑球，先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中随机地抽取一球，结果取得白球．问：这球是从哪个箱子中取出的？

【规律方法】

在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性大．在解决有关实际问题时，要善于灵活地运用这一思想来进行科学决策．

【跟踪训练4】

有A，B两种乒乓球，A种乒乓球的次品率是1%，B种乒乓球的次品率是5%.

(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是合格品，从概率的角度如何解释？

(2)如果你想买到合格品，应选择购买哪种乒乓球？

题型五统计与概率在遗传学上的应用

例5孟德尔豌豆试验步骤及结果：第一年：把黄色和绿色的豌豆杂交，收获的豌豆都是黄色的；把圆粒和皱粒豌豆杂交，收获的都是圆粒豌豆，把长茎和短茎豌豆杂交，收获的都是长茎豌豆．

结论：两种性状的豌豆杂交时，只表现其中的一种特征，另一种特征完全消失了．

第二年：种下第一年收获的黄色豌豆，圆粒豌豆和长茎豌豆．豌豆杂交试验的第二代结果(如下表)：

发现：每次试验的结果如此稳定，比例都接近3∶1，孟德尔认为其中一定有某种遗传规律，孟德尔从豌豆中洞察到的遗传规律是一种统计规律，试给出概率的解释．

【规律方法】

遗传规律是一种统计规律，它与连续抛一枚质地均匀的硬币两次的试验相同，两次出现反面的概率为14，至少出现一次正面的概率为34

，在多次试验中，至少出现一次正面的次数与两次均出现反面的次数之比约为3∶1.

【跟踪训练5】

设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人为纯隐性，具有rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：

(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？

(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？

题型六统计与概率的综合应用

例6某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

【规律方法】与统计图表综合问题的“三步曲”

【跟踪训练6】

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

【随堂达标】

1．为调查某森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．

2. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：

A．猜“是奇数”或“是偶数”

B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”

C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”

请回答下列问题：

(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？

(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？

(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．

3．某网站针对“春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果如下表(单位：万人)：

已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为3

5.

(1)求n 的值；

(2)从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B 方案”的概率．

【参考答案】

【知识导学】

知识点 解答概率应用题的步骤 (1)符号 (2)关系式 (3)对立

对立

【基础自测】

1．答案 (1)× (2)√ (3)× 2．答案 (1)C (2)公平 (3)95%

【题型探究】

题型一 统计与概率在整体估计中的应用 例1

[解] 设保护区内这种野生动物有x 只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A ＝{逮到带有记号的动物}，则由古典概型可知，P (A )＝1200

x .

第二次被逮到的1000只中，有100只带有记号，即事件A 发生的频数m ＝100，由概率的统计定义可知P (A )≈1001000＝110，故1200x ≈1

10，解得x ≈12000.

所以，保护区内约有12000只该种动物． 【跟踪训练1】

解 设水库中鱼的尾数为n ，n 是未知的，现在要估计n 的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A ＝{捕到带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P (A )＝2000

n

.①

第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数m ＝40，P (A )≈40500＝2

25

.②

由①②两式，得2000n ≈2

25，解得n ≈25000.所以，估计水库中有鱼25000尾.

题型二 统计与概率在游戏公平性中的应用 例2

[解] 不公平．所有可能情况如下表：

由表格可知P (和大于7)＝1536＝512，P (和小于或等于7)＝2136＝7

12

.

由题意可知，李红得分的概率为512，张明得分的概率为7

12，所以这个游戏对李红不公平．

对双方公平的游戏规则：点数之和大于7时，李红得1分，点数之和小于7时，张明得1分，点数之和等于7时，双方均不得分． [变式探究]

解 所有情况有36种，乘积为偶数的有27种， ∴P (积为偶数)＝34，P (积为奇数)＝1

4.∴这样游戏不公平．

【跟踪训练2】 解 列表如下：

由表可知，所有可能的结果有12种，且这12种结果发生的可能性是相等的，和为6的结果只有3种．

所以P (和为6)＝312＝14，P (和不为6)＝1－14＝3

4，则甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游

戏规则不公平．

如果将规则改为“若和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则是公平的．(答案不唯一)

题型三 统计与概率在社会调查中的应用 例3

[解] 由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的可能性都是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第二个问题．在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概率是186

365≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51

人回答了“是”，所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”，即估计此地区大约有7%的中学生吸烟． 【跟踪训练3】

解 用A 表示事件“对这次调整表示反对”，B 表示事件“对这次调整不发表看法”，则A 和B 是互斥事件，并且A ＋B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37100＋36

100

＝0.73.

因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73. 题型四 统计与概率在决策中的应用 例4

[解] 甲箱中有99个白球和1个黑球，随机地抽取一球，得到白球的可能性是99

100；

乙箱中有1个白球和99个黑球，随机地抽取一球，得到白球的可能性是1

100

.

由此看出，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多．由概率非常小的事件在一次试验中几乎不可能发生，知既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从抽到白球概率大的箱子中抽取的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中取出的． 【跟踪训练4】

解 (1)因为A 种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A 种乒乓球是合格品的概率是99%. 同理，任选一个B 种乒乓球是合格品的概率是95%.

由于99%>95%，因此“买一个A 种乒乓球，买到的是合格品”的可能性比“买一个B 种乒乓球，买到的是合格品”的可能性大．但并不表示“买一个A 种乒乓球，买到的是合格品”一定发生．乙买一个B 种乒乓球，买到的是合格品，而甲买一个A 种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能性较大的事件却没有发生，这正是随机事件发生的不确定性的体现．

(2)因为任意选取一个A 种乒乓球是合格品的可能性为99%，因此如果做大量重复买一个A

种乒乓球的试验，出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.99附近．同理，做大量重复买一个B 种乒乓球的试验，出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.95附近．因此若希望买到的是合格品，则应选择购买A 种乒乓球． 题型五 统计与概率在遗传学上的应用 例5

[解] 纯黄色和纯绿色的豌豆均有两个特征(用符号YY 表示纯黄色豌豆的两个特征，符号yy 代表纯绿色豌豆的两个特征)：纯黄色的豌豆YY ，纯绿色的豌豆yy.

当这两种豌豆杂交时，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征，于是第一代收获的豌豆的特征为：第一代(第一年收获的豌豆)Yy.当把第一代杂交豌豆再种下时，下一代同样是从父母辈中各随机地选取一个特征，所以第二代豌豆的特征如下：第二代(第二年收获的豌豆)YY ，Yy ，yy ，这里对于豌豆的颜色来说，Y 是显性因子，y 是隐性因子，当显性因子与隐性因子组合时，表现为显性因子的特征，即YY ，Yy 都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现出隐性因子的特征，即yy 呈绿色．由于下一代的两个特征是从父母辈中各随机选取的，因此在第二代中YY ，yy 出现的概率都是14，Yy 出现的概率是1

2，所以黄色豌豆(YY ，

Yy)数∶绿色豌豆(yy)数≈3∶1. 【跟踪训练5】

解 如图，由图可知，他们的孩子可能的基因有4种，即dd ，dr ，rd ，rr ，它们的概率分别为14，14，14，1

4

. (1)当基因为dd ，dr ，rd 时，孩子显露显性基因决定的特征，所以他们的1个孩子由显性决定特征的概率是3

4

.

(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为3

4.

题型六 统计与概率的综合应用 例6

[解] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． (2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥， C ＝C B1C A1＋C B2C A2. P (C )＝P (C B1C A1＋C B2C A2) ＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．

由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为45，15，12，2

5，

故P (C A1)＝45，P (C A2)＝15，P (C B1)＝12，P (C B2)＝2

5，

P (C )＝12×45＋25×1

5＝0.48.

【跟踪训练6】

解 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1. 解得a ＝0.30.

(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x <3.由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

【随堂达标】

1．解 设森林内的松鼠总数为n ，假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕

一只，设事件A ＝{捕到带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P (A )＝100

n

，①

第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A 发生的频数m ＝5，由频率与概率的关系可知，P (A )≈550＝110

.② 由①②可得，100n ≈1

10

，

所以n ≈1000.所以，此森林内约有松鼠1000只．

2. 解 (1)选择B ，猜“不是4的整数倍数”．“不是4的整数倍数”的概率为8

10

＝0.8，是所有猜法中概率最大的，故乙获胜的机会最大．

(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．

(3)设计为猜“是大于5的数”或“不大于5的数”，也可以保证游戏的公平性． 3．解 (1)因为从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为3

5，

所以3

5＝n ＋800200＋400＋800＋100＋100＋n

，解得n ＝400.

(2)在抽取的6人中，支持A 方案的有8001200×6＝4(人)，记为1,2,3,4，支持B 方案的有400

1200×6

＝2(人)，记为a ，b ，

从抽取的6人中任意选取2人，所有的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2,4)，(2，a )，(2，b )，(3,4)，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，(a ，b )，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．

恰好有1人“支持B 方案”包含的样本点有(1，a )，(1，b )，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，共8个．

故恰好有1人“支持B 方案”的概率P ＝8

15

.