例题
圆环问题十道例题
1有一半圆形圆环，内圆直径为10厘米，外圆直径为18厘米，求此半圆形圆环的周长和面积。
2、有一圆环，外环半径比内环半径多1/5，内环半径比外环半径少5厘米。
该圆环的面积是多少？
3、已知圆环面积是549.5平方厘米，外环半径为20厘米，求内环周长。
4、已知外环周长比内环周长多31.4厘米，外环半径为20厘米，求内圆面积。
5、已知圆环宽5厘米，内环周长为94.2厘米，求外圆面积。
6、已知内圆面积为706.5平方厘米，外圆周长为125.6厘米，求圆环面积。
7、黑蚁和白蚁同时在圆环的内环和外环上爬行，黑蚁在在半径为15米内环上以每分钟5米的速度爬行，白蚁在半径为20米的外环上爬行，当黑蚁第一次回到起点时，白蚁还要爬1/4的路程才能回到起点。
白蚁每分钟爬行多少米？
8、大圆面积比小圆面积多1/3，圆环面积是549.5平方厘米，大圆面积是多少？
9、公园内花圃中的圆形花坛，外圆周长78.5米，环宽1.2米。
求这个花坛的面积。
拓展延伸:
1.大圆半径是3分米,小圆半径是2分米,大圆周长与小圆周长的比是(),小圆面积
与大圆面积的比是().
2.大圆的半径相当于小圆的直径,已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米,大圆的面积是多少?
5、环形的外圆直径是24厘米，内圆半径是7厘米，求环形的面积。
6、环形的外圆直径是24厘米，环宽是5厘米，求环形的面积。
7、环形的外圆周长为78.5分米，内圆周长为62.8分米，求环形的面积。
8、坏形的外圆周长为31.4厘米，环宽3厘米，求环形的面积。
概率论典型例题
P{ X 0} P{ X 2}
P{ X 0} P{ X 2} P{ X 5}
22 . 29
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例2 设离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
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例5 设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子 元件,其寿命(单位 : 小时)都服从同一指数分布,其
中参数 1 600,试求在仪器使用的最初200小时
内,至少有一只元件损坏的概率a. [思路] 以 Ai (i 1,2,3) 分别表示三个电子元件“在 使用的最初 200 小时内损坏”的事件, 于是 a P{ A1 A2 A3 } 1 P( A1 A2 A3 )
C B AB.
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例3 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时 射击命中目标的概率为0.6, 试求两次独立射击至 少有一次命中目标的概率.
[思路] 引进事件 A {目标进入射程}; Bi {第i次射击命中目标}, i 1,2.
故所求概率为事件B B1 B2的概率,由于目标 不在射程之内是不可能命中目标的, 因此 , 可利 用全概率公式来求解.
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例4 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考 生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和
5 份, 随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出 两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
(2)已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到 的一份是女生表的概率 p.
[思路] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此 题要用全概率公式来讨论.
运筹学例题-打印版
运筹学例题-打印版⼀、绪论⼀个班级的学⽣共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中⼀部分⼈同时选修D 、C 、A ，⼀部分⼈同时选修B 、C 、F ，⼀部分⼈同时选修B 、E ，还有⼀部分⼈同时选修A 、B ，期终考试要求每天考⼀门课，六天内考完，为了减轻学⽣负担，要求每⼈都不连续参加考试，试设计⼀个考试⽇程表。
⼆、图解法例1. 某⼯⼚在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的⽣产，已知⽣产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：⼯⼚应分别⽣产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使⼯⼚获利最多？ 3.1例2 某公司由于⽣产需要，共需要A ，B 两种原料⾄少350吨（A ，B 两种材料有⼀定替代性），其中A 原料⾄少购进125吨。
但由于A ，B 两种原料的规格不同，各⾃所需的加⼯时间也是不同的，加⼯每吨A 原料需要2个⼩时，加⼯每吨B 原料需要1⼩时，⽽公司总共有600个加⼯⼩时。
⼜知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满⾜⽣产需要的前提下，在公司加⼯能⼒的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？三、单纯形法例1. 某⼚⽣产甲⼄两种产品，各⾃的零部件分别在A 、B 车间⽣产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所⽰：问如何安排甲、⼄两产品的产量，使利润为最⼤。
例2. 某名牌饮料在国内有三个⽣产⼚，分布在城市A1、A2、A3,其⼀级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各⼚的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统⼀筹划运销问题，求运费最⼩的调运⽅案。
四、线性规划在⼯商管理中的应⽤例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员数如下：设司机和乘务⼈员分别在各时间段⼀开始时上班，并连续⼯作⼋⼩时，问该公交线路怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜配备最少司机和乘务⼈员?例2．⼀家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49s i n 3s i n34222+--=θθb b b 3421s i n 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα， ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
资产经典例题
资产经典例题【例题•单选题】M公司于2014年6月1日购入A公司股票100万股准备短期持有，M公司将其划分为交易性金融资产，实际每股支付价款8.6元（包括已宣告但尚未发放的现金股利每股0.2元），另支付手续费2万元，则该项交易性金融资产的入账价值为（）万元。
A.860B.862C.840D.842【答案】C【解析】入账价值=100×（8.6-0.2）=840（万元）。
【例题•单选题】2012年11月1日，甲公司购入乙公司股票50万股作为交易性金融资产，支付价款400万元，其中包含已宣告但尚未发放的现金股利20万元。
另支付相关交易税费8万元。
该交易性金融资产的入账金额为（）万元。
（2013年）A.380B.388C.400D.408【答案】A【解析】交易性金融资产的入账价值=400-20=380（万元），交易性金融资产取得时发生的相关交易税费计入投资收益。
【例题•单选题】大方公司2014年2月28日购入K公司股票作为交易性金融资产核算，实际支付价款1238万元，其中包括已宣告但尚未发放的股利38万元、手续费5万元；截至2014年6月30日，该股票的市场价格为1100万元，大方公司于2014年7月16日将其出售，收取价款1080万元，则大方公司处置该交易性金融资产对当月损益的影响金额是（）万元。
A.20B.70C.75D.30【答案】A【解析】对处置当月损益的影响=1 080-1100=-20（万元）【例题•单选题】某企业采用月末一次加权平均法计算发出材料成本。
2010年3月1日结存甲材料200件，单位成本40元；3月15日购入甲材料400件，单位成本35元；3月20日购入甲材料400件，单位成本38元；当月共发出甲材料500件。
3月份发出甲材料的成本为（）元。
（2011年）A.18 500B.18 600C.19 000D.20 000【答案】B【解析】甲材料单价=（200×40+400×35+400×38）÷（200+400+400）=37.2（元），3月发出甲材料成本=500×37.2=18 600（元）。
因式分解精选例题(附答案)
因式分解 例题解说及练习【例题优选】：（1） 5x 2 y 15x 3 y 2 20x 2 y 3评析：先查各项系数（其余字母临时不看） ，确立 5，15，20 的最大公因数是 5，确立系数是 5 ，再查各项能否都有字母 X ，各项都有时，再确立 X 的最低次幂是几，至此确认提取 X 2，同法确立提 Y ，最后确立提公因式 5X 2Y 。
提取公因式后，再算出括号内各项。
解： 5x 2 y15x 3 y 2 20x 2 y 3=5x 2y(1 3xy4y 2 )（2）3x 2 y 12x 2 yz 9x 3 y 2评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为 3，且同样字母最低次的项是 X 2Y解:3x 2 y 12 x 2 yz 9x 3 y 2= (9x 3 y 212x = 3(3x 3 y 2 4x22yz 3x 2 y)yz x 2 y)=3x 2 y(3xy 42 1)（ 3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中， y-x 和 x-y 都能够做为公因式，但应防止负号过多的状况出现，所以应提取 y-x解：原式 =(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）（4） 把32x 3 y 4 2x 3分解因式评析：这个多项式有公因式 2x 3，应先提取公因式，节余的多项式16y 4-1 具备平方差公式的形式解： 32x 3y42x3=2x 3 (16y 4 1)=2x 3 (4 y 2 1)(4 y 2 1) =2 x3 (2y 1)( 2y 1)( 4y 21)（5）（5） 把 x 7 y 2xy 8 分解因式评析：第一提取公因式xy 2，剩下的多项式x 6-y6能够看作( x 3 ) 2( y 3 ) 2 用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
约当量法例题
约当量法例题[例1]某工业企业某种产品本月完工250件，月末在产品160件，月末在产品完工程度测定为40%；月初和本月发生的直接材料费用共计为56 520元，直接人工共计为11 618元。
原材料随着加工进度陆续投入。
其完工产品和月末在产品的直接材料费用和直接人工应分配计算如下：月末在产品约当产量=160×40%=64（件）56 520直接材料费用分配率= ———— =180250+6411 618直接人工分配率= ———— =37250+64完工产品直接材料费用=250×180=45 000（元）完工产品直接人工=250×37=9250（元）月末在产品直接材料费用=64×180=11 520（元）月末在产品直接人工=64×37=2 368（元）[例2]某工业企业某产品需经两道工序加工而成，产品生产工时定额为40小时。
每道工序的工时定额分别为30小时和10小时。
各工序在产品完工率应计算如下：30×50%第1工序在产品完工率= ——————×100%=37.5%4030+10×50%第2工序在产品完工率= ——————×100%=87.5%40假定上例产品各工序月末在产品的数量为：第1工序350件，第2工序210件；完工产品数量为780件；月初在产品和本月发生的制造费用共为81 030元。
完工产品和月末在产品的制造费用应分配计算如下：第1工序在产品约当产量=350×37.5%=131.25（件）第2工序在产品约当产量=210×87.5%=183.75（件）月末在产品约当产量总数=131.25+183.75=315（件）81 030制造费用分配率 = ———— =74780+315完工产品制造费用=780×74=57 720（元）月末在产品制造费用=315×74=23 310（元）[例3]某工业企业所生产的某产品由两道工序加工而成，原材料不是在生产开始时一次投入，而是分次投入，其投入程度与加工进度或生产工时投入程度不一致。
工程问题10道经典例题
1、一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天。
若两队合作，完成这项工程需要多少天？A. 5天B. 6天C. 7.5天D. 10天（答案）B2、某工程由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2.5天可以完成，需支付1600元。
在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？A. 甲队B. 乙队C. 丙队D. 无法确定（答案）B3、一项工程，甲单独做需12小时完成，乙单独做需18小时完成。
若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，...两人如此交替工作，问完成任务时共用了多少小时？A. 14小时B. 14.5小时C. 15小时D. 16小时（答案）B4、一项工程，甲、乙两队合作6天可以完成，如果甲队单独做需要15天，那么乙队单独做需要多少天？A. 8天B. 10天C. 12天D. 20天（答案）B5、一项工作，甲单独完成需要12小时，乙单独完成需要15小时，丙单独完成需要20小时。
如果先由甲、乙合做2小时，然后由甲单独做，共需要多少小时完成？A. 10小时B. 12小时C. 14小时D. 16小时（答案）A6、一项工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。
现在甲、乙、丙三人合作需多少天完成？A. 5天B. 6天C. 7天D. 8天（答案）D7、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
两队合作多少天可以完成这项工程的一半？A. 5天B. 6天C. 7.5天D. 10天（答案）A8、一个水池有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单开甲管20小时可将水池注满，单开乙管30小时可将水池注满，单开丙管60小时可将满池水放完。
现三管同时打开，多少小时可将水池注满？A. 15小时B. 20小时C. 25小时D. 30小时（答案）A9、一项工程，甲单独做30天可完成，甲、乙两队合作12天可完成，那么乙单独做完成这项工程需要多少天？A. 15天B. 20天C. 24天D. 30天（答案）B10、一项工作，甲、乙两人合作需8天完成，乙、丙两人合作需6天完成，丙、丁两人合作需12天完成。
工作量法例题及答案
某项设备原值为90000元，预计净残值2700元，预计使用15000小时，实际使用12000小时，其中长五年实际使用3000小时，采用工作量法第五年应提折旧为多少元?某企业购入生产设备，该设备原值为9万元，预计净残值为0.27万元，预计可以使用15000小时，而实际使用12000小时，其中第5年实际使用3000小时。
那么，第五年的折旧额怎么计算?根据题目所列，每小时的折旧额=(90000-2700)/15000=5.82元/小时则第五年实际的折旧额=3000x5.82=17460元什么是工作量法工作量法，是指某项固定资产的使用是以一定的工作量为单位来计提相应折旧额的方法。
例如，工厂的机器运转，以运转的小时数核算应计提的折旧额;企业名下的小汽车，以该汽车的行驶公里数核算应计提的折旧额。
工作量法计算折旧额的使用公式1、按照行驶里程数计算折旧，计算公式为：单位里程折旧额=(设备原值-预计净残值)/总里程数2、按工作小时计算折旧，其计算公式如下：每工作小时折旧额=(设备原值-预计净残值)/总小时数3.固定资产折旧方法固定资产折旧方法指将应提折旧总额在固定资产各使用期间进行分配时所采用的具体计算方法。
固定资产计提折旧的方法有4种，分别是直线法、工作量法、双倍余额递减法以及年数总和法。
4.直线法计算公式：年折旧率=(1-预计净残值率)÷预计使用寿命(年)×100%月折旧额=固定资产原价×年折旧率÷125.工作量法：单位工作量折旧额=固定资产原价×(1-预计净残值率)/预计总工作量某项固定资产月折旧额=该项固定资产当月工作量×单位工作量折旧额6.双倍余额递减法：年折旧率=2÷预计使用寿命(年)×100%月折旧额=固定资产净值×年折旧率÷12通常在其折旧年限到期前两年内，将固定资产净值扣除预计净残值后的余额平均摊销。
会计案例分析题与例题
1、天力公司内部机构调整：会计李某负责会计档案保管工作，调离会计工作岗位，离岗前与接替者王某在财务科长的监交下办妥了会计工作交接手续。
李某负责会计档案工作后，公司档案管理部门会同财务科将已到期会计资料编造清册，报请公司负责人批准后，由李某自行销毁。
年底，财政部门对该公司进行检查时，发现该公司原会计李某所记的账目中有会计作假行为，而接替者王某在会计交接时并未发现这一问题。
财政部门在调查时，原会计李某说，已经办理会计交接手续，现任会计王某和财务科长均在移交清册上签了字，自己不再承担任何责任。
根据会计法律制度的有关规定，回答下列问题：( 1 ) 公司销毁档案是否符合规定？ ( 2 )公司负责人是否对会计作假行为承担责任？简要说明理由。
( 3 )原会计李某的说法是否正确 /简要说明理由。
答：( 1 )公司销毁档案不符合会计法律制度的规定。
根据[[会计档案管理办法]]的规定，保管期满的会计档案，应由单位档案管理机构提出销毁意见，会同会计机构共同签定，报单位负责人批准后，由单位档案管理机构和会计机构共同派员监销。
( 2 )公司负责人对会计作假行为应当承担责任。
[[中华人民共和国会计法]]规定：“单位负责人对本单位的会计工作和会计资料的真实性、完整性负责”、“单位负责人应当保证会计机构、会计人员依法履行职责，不得授意、指使、强令会计机构、会计人员违法办理会计事项。
”( 3 ) 李某的说法不正确。
[[中华人民共和国会计法]]规定，交接工作完成后，移交人员所移交的会计凭证、会计账簿、财务会计报告和其他会计资料是在其经办会计工作期间内发生的，应对这些会计资料的真实性、完整性负责，即便接替人员在交接时因疏忽没有发现所接会计资料在真实性、完整性方面的问题，如事后发现仍由原移交人员负责，原移交人员不应以会计资料已移交而推脱责任。
答：( 1 )万民公司开出的这张转账支票属于空头支票。
( 2 )银行可以对万民公司进行罚款/罚款是 10000 元( 5% )金额。
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第一章:
1.如附图所示，水在水平管道内流动。为测量流体在某截面处的压力，
直接在该处连接一U形压差计。
指示液为水银，读数 R＝250mm，m＝900mm。已知当地大气压为101.3kPa，
水的密度1000kg/m3，水银的密度13600kg/m3。试计算该截面处的压力。
2 如附图所示，水在管道中流动。为测得a、b两点的压力差，在管路上方安装
一U形压差计，指示液为汞。已知压差计的读数R＝100mm，试计算ａ、ｂ截面
的压力差。已知水与汞的密度分别为1000kg/m3和13600 kg/m3。
解:取等压面1-1′,2-2′
3如附图所示,管路由一段的管1,一段的管2和两段
的分支管3a及3b连接而成.若水以9*10-3m3/s的体积流量流动,
且在两段支管内的流量相等,试求水在各段管内的速度
.
解:管1的内径为 d1=89-2*4=9=81mm
'
1
1
pp'22pp
gxppa
'1
'
200012()b
ppgRpgRpgxRgR
0()1360010009.810.112360.6Paab
ppgR（）
则水在管1中的流速为
【例】20℃的水在27mm的管内流动，体积流量为0.5l/s，(1)设该管为光滑管；
(2)若管子的绝对粗糙度为0.2mm; (3)若流速增加一倍。 求单位管长的摩擦阻力
损失。已知水的密度=998.2kg/m3,粘度 =1.005Pas
解：核算流型
为湍流
(1)该管为光滑管
(2)管子的绝对粗糙度为0.2mm
相对粗糙度/d=0.2/27=0.00741
由Re,及相对粗糙度查摩擦系数图可得：=0.0375
(3)流速增加一倍
由Re及相对粗糙度查摩擦系数图可得：
=0.035
例1-12 如图所示，料液由常压高位槽流入精馏塔中。进料处塔中的压力为0.2at
（表压），送液管道为φ38×3mm、长8m 、ε=0.3mm的钢管。管路中装有90°
标准弯头2个, 180°回弯头一个，全开标准球阀一个（ζ=6.4）。塔的进料量要
维持在3m3/h，试计算高位槽中的液面要高出塔的进料口多少米？已知ρ
=861kg/m3，粘度μ=0.643cp。
40001034.210005.12.998874.0027.0Re43
Redu
2
4
v
q
ud
320.5100.8740.0274ms
2
2flupd
0.25
0.3164
Re
0.25
4
0.3164
0.02562.3410
2
1998.20.8740.02563610.0272fpPal
2
2flupd
由可得：
2
1998.20.8740.0375529.50.0272fpPal
220.8741.748muus
4
1068.4Re2eR
2
1998.21.7480.03519760.0272fpPal
则
h
第二章:
1：某冷库外壁内、外层砖壁厚均为12cm，中间夹层厚10cm，填以绝
缘材料。砖墙的热导率为0.70w/m·k，绝缘材料的热导率为0.04w/m·k，墙外
表面温度为10℃ ，内表面为-5℃ ，试计算进入冷库的热流密度及绝缘材料与砖
墙的两接触面上的温度。
解： 根据题意，已知t1=10℃ ，t4=-5℃ ，b1=b3=0.12m，b2=0.10m，λ1= λ
3= 0.70w/m·k，λ2= 0.04w/m·k。
按热流密度公式计算q：
按温度差分配计算t2、t3
【例】工业炉的炉壁，由下列三层组成：耐火砖 λ1=1.4W/(m·K), b1=225mm;
保温砖 λ2=0.15W/(m·K), b2=115mm;保温砖 λ3=0.8W/(m·K), b3=225mm
今测得其内壁温度为930℃，外壁温度为55℃，求单位面积的热损失。
解：由串联热阻的概念
W/m
2
【例】一套管换热器的内管为φ25×2.5mm的钢管，钢的导热系数为45
W/(m·K)，该换热器在使用一段时间以后，在换热管的内外表面上分别生成
了1mm和0.5mm厚的污垢，垢层的导热系数分别为1.0 W/(m·K)和0.5
W/(m·K)，已知两垢层与流体接触一侧的温度分别为160℃和120℃，试求此
换热器单位管长的传热量。
解：换热器的热流密度
代入数据得
【例】列管冷凝器中，用水冷却有机物蒸气，水以0.5m/s的速度在Ф25×2
的管内流动，进水温度为20 ℃，出水温度为40 ℃。试求水对管壁的对流
传热系数。
【解】在确定各物理量时，先确定定性温度。
一般情况下，用进出设备流体的温度的平均值（算术平均值），即：
查数据手册，30℃时水的物性数据为：
Cp=4183J/(K.kg) ρ=996kg/m3
μ=8.01×10－4Pa.s λ=0.618W/(m.K)
已知 d=0.021m u=0.5m/s
2
14
3
12
123
10(5)5.27/0.120.100.12()0.700.040.70ttQqwmbbbA
1
21
1
0.12
105.279.10.70bttqC
3
34
3
0.12
5.27(5)4.10.70btqtC
930557240.2250.1150.2251.40.150.8iiitQqbA
14
3
24
112233
2111lnlnlnttQqdddlddd
2160120950120125127lnlnln1.01845200.525q
℃＝＋＝＋出进30240202ttt
求得：
表明对流传热在湍流条件下进行，并求得：
因为水在管内被加热，故b=0.4，采用狄丢斯（Dittus）公式：
第三章:
例题：有一降尘室，长6m，宽3m，共20层，每层100mm，用以除去
炉气中的矿尘，矿尘密度为3000kg/m3，炉气密度0.5kg/m3，粘度0.035mPa.s，
现要除去炉气中10um的颗粒，试求：为完成上述任务，可允许的最大气流速度
为多少？
解：设沉降区为层流区，则
因为
则:
则，假设正确。
由降尘室的分离条件有：
40.0210.5996Re130568.0110du－
＝
441838.0110Pr5.420.618pC－
＝
0.80.40.80.42
0.618
0.023RePr0.023130565.422610(/.)0.021WmKd＝
2
()18pptdgu
p
34.61060.28/0.1tLuumsH
Pa
W/m