八年级上册《认识无理数》知识点整理北师大版
第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学(北师大版)
第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学（北师大版）2.1.1 无理数的引入在我们之前的学习中，我们已经学习了有理数，即可以表示为两个整数比值的数。
然而，有一类数是无法表示为两个整数比值的，这类数被称为无理数。
无理数最早起源于古希腊数学家毕达哥拉斯的一次发现。
他发现无法用整数的比值来表示平方根2这个数。
这直接导致了数学上一个重要的突破，即发现了无理数的存在。
2.1.2 无理数的定义无理数是指在实数集中无法表示为有理数的数。
它们的十进制表示是无限不循环的小数。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
我们可以将它们近似到任意位数，但无论如何都无法精确表示出来。
2.1.3 无理数的性质1. 无理数的无限性无理数是无限不循环的小数，它们的小数部分是无穷无尽的，不会出现重复的情况。
2. 无理数的无限逼近性对于任意一个无理数x，我们可以找到越来越接近它的有理数。
也就是说，无理数可以被有理数无限逼近。
3. 无理数的无理指数无理数的幂次方在大部分情况下都是无理数。
例如，根号2的平方根是2，根号2的立方根是根号2的平方。
2.1.4 无理数的表示方法无理数的表示方法主要有以下几种：1. 小数表示我们可以将无理数表示为十进制的小数。
例如，根号2约等于1.414。
2. 分数表示虽然无理数无法精确表示为有理数的比值，但我们可以将其表示为连分数的形式。
例如，根号2可以表示为1 + 1/(2 + 1/(2 + …))。
3. 根式表示无理数也可以表示为根式的形式。
例如，根号2就是一个根式表示。
2.1.5 无理数的运算无理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
无理数之间的运算与有理数的运算类似，但要注意无理数的无限性和无理指数。
无理数的加法和减法可以通过将它们表示为小数或分数进行计算。
无理数的乘法和除法需要注意无理数的无限逼近性，结果往往是一个无限循环的小数。
2.1.6 无理数的应用无理数在数学和物理学中有许多重要的应用。
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案
实践活动环节，我让学生分组讨论并实验操作，目的是让他们在实践中加深对无理数的理解。从成果展示来看，学生们的讨论和操作都比较顺利，但我认为在引导讨论过程中，还可以进一步拓宽话题，让学生从更多角度探讨无理数的应用。
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案
一、教学内容
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案：
1.了解无理数的概念及其与有理数的区别；
2.掌握无理数的表示方法，如根号表示、无限不循环小数表示等；
3.理解无理数在数轴上的位置，能正确比较两个无理数的大小；
4.掌握无理数的近似计算方法，如平方根的近似值计算；
3.在实践活动和小组讨论中，要关注每个学生的参与度，鼓励他们提出自己的观点；
4.教学中要注重培养学生的动手操作能力和团队合作精神。
在今后的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和改进教学方法，以期提高学生的学习效果。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生提出自己的观点，并与其他同学进行交流。这个过程让我看到了学生们的积极性和创造力。但同时，我也注意到有些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在以后的教学中更加关注这部分学生的参与度。
1.教学中要注重学生的生活实际，从他们熟悉的事物出发，引导他们感知数学概念；
2.针对难点内容，需要准备更多具体的例子和比较，帮助学生更好地理解；
5.通过实例分析，感受无理数在实际生活中的应用。
本节课，我们将带领学生深入认识无理数，理解其内涵与外延，并能应用于实际问题中。
北师大版八年级数学上册 (认识无理数)实数课件
B.面积为25 的正方形； C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
课堂小结
无理数的概念及认识
认识无 理数
借助计算器求无理数的 近似值
课后作业
见《学练优》本课时练习
北师大版八年级上册
第二章
实数
认识无理数
第1课时
学习目标
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引 入的必要性.
1 1
1 1
二、探究新知
拼法一：
拼法二：
二、探究新知
a
1
1
1
1
(1)设大正方形的边长为 a , a满足什么条件？ a2=2
(2) a可能是整数吗？可能是分数吗？
∵a2=2，1<a2<4 ，∴ 1<a <2，∴a不是整数；
D.
•
0. 4
【解析】因为3.14是小数， 是分数， 数，所以选项A,B,D都是有理数； 所以是无理数.
是无限循环小
是无限不循环小数，
3. 判断题
(1)有限小数是有理数; （√ ） (2)无限小数都是无理数; （╳ ） (3)无理数都是无限小数; （√ ） (4)有理数是有限小数. （╳ ）
4.以下各正方形的边长是无理数的是（C ）
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从 中体会无限逼近的思想.
3.会判断一个数是有理数还是无理数；
一、知识回顾
(1)什么是有理数？ 整数和分数统称为有理数.
(2)有理数的分类
(按定义分） 整数 有理数
分数
（按性质分） 正有理数 有理数 0 负有理数
二、探究新知
情景一：如图是两个边长为1的小正方形，通过剪一 剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
北师大版数学八年级上册课件：2.1 认识无理数(共13张PPT)
综合能力提升练
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
( 4 )无理数集合: 3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),-
π 3
,0.12345678910111213…(
小数部分由相继的正整数组成
)…
.
综合能力提升练
15.请你在方格纸上按照如下要求设计图形,每个单元格的边长为1.( 所设计图形顶点在格 点上 ) ( 1 )请在图1中设计一个直角三角形,使它三边中有两边边长不是有理数. ( 2 )请在图2中设计一个直角三角形,使它的三边边长都不是有理数.
综合能力提升练
( 1 )整数集合:{-2,-(-3 ),0,-17…}; ( 2 )分数集合: -12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…( 每两个 2 之间 有 1 个 0 )… ; ( 3 )负有理数集合: -2,-12,-34,-17,-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 )… ;
拓展探究突破练
17.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所 以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数 的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…… 使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 认识无理数(第2课时)
想一想
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
探究新知
像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
知识点 2
1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm、4 cm的长方形的面积相等，则a的取值在 ( ) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3 C．在3与4之间 D.大于4
2.1 认识无理数(第2课时)
北师大版 数学 八年级 上册
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
导入新知
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想． 形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
认识无理数.PPT课件(北师大版)
级：快乐提升 ——练能力： 3．加固一个高2米、宽1米的大门，需 要在对角线位置加固一条木板，设木板 长为a米，则 a的值大约是多少？这个值 可能是分数吗？
必做题：如图，在△ABC中，
CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，
问：CD可能是整数吗？可能是分
数吗？可能是有理数吗？
选做题： B，C是一个生活小区的两个路口，
BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B，C两路口 的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条 最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分 数吗？说明理由.
视察下图后回答下面问题， （1）如图：以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条 件？
（3）b是有理数吗？
活动五：了解数学史，体会数学文化
请阅读下面材料，并说出自己的感受：
公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯( Pythagoras) 学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整 数之比，即都可用有理数来描述。
(一)知识上的总结：
教师提问：本节课你学到了什么知识？ (二)数学方法上的总结
教师提问：在讨论大正方形的边长是否为有理数 时，我们是怎样讨论的 ？
总结： “分类讨论”的数学说理方法 教师提问：在研究大正方形的边长是否为分数时，
我们从哪里开始研究的？
总结： “特殊到一般”的研究方法
级：轻松过关 ——打基础： 1．下列各数中，是有理数的是（ B ）
义务教育教科书（北师大版）数学 八年级上册
北师大版八年级数学上册2.1.2：认识无理数(教案)
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第二章第一节第二部分：2.1.2认识无理数。教学内容主要包括以下方面：
1.无理数的概念：通过具体实例引出无理数的定义，让学生理解无理数是无限不循环小数。
2.无理数的性质：探讨无理数的性质，如无理数与有理数的运算规律、无理数的乘方等。
其次，在新课讲授环节，我发现有些学生对无理数的证明部分掌握得不够扎实。这可能是因为我讲解得不够细致，或者例子不够典型。在今后的教学中，我会尽量用更直观、更易于理解的方式来进行讲解，让学生更好地理解无理数的性质和证明方法。
此外，实践活动环节，学生的参与度很高，但我也注意到有些小组在讨论问题时，思路不够清晰。在今后的教学中，我应该在分组讨论时加强对学生的引导，帮助他们理清思路，提高讨论的效率。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它不能表示为两个整数的比。无理数在数学中具有重要地位，它帮助我们更准确地描述世界。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过圆的周长与直径的比值（即π），我们了解到无理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决精确计算的问题。
五、教学反思
今天我们在课堂上一起探讨了《认识无理数》这一章节，我觉得整体教学效果还是不错的。学生们对无理数的概念有了初步的理解，也能够通过具体案例感受到无理数在实际中的应用。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，我觉得在导入新课的部分，虽然通过提问的方式引起了学生的兴趣，但感觉问题的设置还可以更加贴近生活，让学生更有代入感。今后我可以尝试用一些小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
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八年级上册《认识无理数》知识点整理北师
大版
无限小数都是无理数无限小数分：为无限循环小数和无
限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循
环的小数才是无理数。
无理数包括正无理数、负无理数和零。受思维习惯的影
响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零
也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正
无理数和负无理数两类。
带根号的数是无理数。是有理数2，是有理数-2，可见
带根号的数不一定是无理数。
无理数是用根号形式表示的数。是无理数，但并不是用
根号形式表示的，再如：0.1010010001，亦为不带根号的无
理数。
无理数是开方开不尽的数。无理数并非由开方的结果来
定义的，事实上，如，0.232232223，等无理数，都不是由
开方得到的。
两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。两个无理数
的和，差，积，商不一定是无理数，如：等都是有理数。
无理数与有理数的乘积是无理数。这种说法是错误的!
由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结
论，错了!如等足以推翻以上结论。8.有些无理数是分数。
因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，
所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借
助分数线来表示。如，但一定要注意它并不是分数。
无理数比有理数少。这种说法错误，无理数在人们生产
和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们
平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求
通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用
无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得
多。
0.一个无理数的平方一定是有理数。这种说法错误，不
要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理
数。