北师大版八年级数学下册第四章测试题及答案
（第5题）
45o
命题单位：电力设备厂子校 姓名：魏巍
评价等级 优 良 达标 待达标 评价结果
一、选择题（3分×10＝30分）
1、如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A 、都扩大为原来的5倍 B 、都扩大为原来的10倍 C 、都扩大为原来的25倍 D 、都与原来相等
2、已知线段a=9cm, c=4cm, x 是a 、c 的比例中项，则x 等于（ ） A 、 6cm B.、－6cm C 、 ±6cm D 、
81
4
cm 3、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且AB=3,AC=5,A ′C ′=15,则A ′B ′=( ) A 、 9 B 、1 C 、6 D 、3
4．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于（ ） A 、 91
B 、－9
C 、9
D 、－9
1
5、如右下图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时， 他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 2.0AC =米，8.0BC =米， 则旗杆的高度是（ ）
Ａ、6.4米 Ｂ、7.0米 Ｃ、8.0米 Ｄ、9.0米 6、已知04
3
2
≠==c b a ,则c
b a +的值为( )
A 、5
4 B 、4
5 C 、2 D 、2
1
7、下列说法正确的个数有（ ）个
①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似； ④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81. A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
8、下列四个三角形，与已知图构成相似的三角形是（ ）
9、下列说法中错误的是( )
A 、所有的等腰三角形都相似
B 、所有的等边三角形都相似
C 、有一对锐角相等的两个直角三角形相似
D 、全等的三角形一定相似 10、如右下图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45o ．若使容 器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ） Ａ、10cm Ｂ、20cm Ｃ、30cm Ｄ、35cm 二、填空题（3分×8＝24分，每题3分）
11、 如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ， 若AC = 2，AD = 1，则DB = __________. 12、在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆ 与ABC ∆相似，应添加的条件是 。
（只需写出一个条件即可）
13、如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm 和5cm 。
且较小三角形的周长 为15cm ，则较大三角形周长为 cm ．
14、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人
题号 一 二 三
总分 1-10 11-18 19 20 21 22 分值
（已知图）
A ．
B ．
C ．
D ．
（第10题）
D
题11
（第18题）
（第17题）
一种美感．某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可 能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm
15、Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于 点F ，若13AEG
EBCG S S =△四边形，则CF
AD
= ．
16、将△ABC 纸片按如下方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕 为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
17、在□ABCD 中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE = ． 18、如右图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下 的矩形（阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 cm 2
三、解答题（19、21、22每题12分，20题10分。
共计46分） 19、如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△
692AB AE DE ===，，，求EF 的长．
20、如图，ABC △在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(23)(62)A C ，，
，，并求出B 点坐标； （2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出放
大后的图形A B C '''△；
（3）计算A B C '''△的面积S ．
21、如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ． 求证：
1
3
GE GD CE AD ==．
22，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．
（1）
求证：CDF BGF △∽△； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥ 交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．
参考答案
一、选择题（3分×10＝30分）
D C F
E A
G
B
C
D
G E A
A B
C
1、D
2、A
3、A
4、C
5、C
6、B
7、B
8、B
9、A 10、D
二、填空题（3分×8＝24分，每题3分）
11、DB=3 12、∠ACD=∠B （∠ADC=∠ACB 或AB
AC
AC AD =
） 13、25 14、8cm 15、12
16、712
或2 17、5:3 18、8 cm 2
三、解答题（19、21、22每题12分，20题10分。
共计46分）
19、解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=6
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 ---------3分 又∵AE=9
∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE=117692222=+=+AB AE ----7分 ∵ABE DEF △∽△， ∴
EF BE
DE AB =
， -------9分 即EF 1172
6=
∴EF=3
117
----------12分 20、（1）画出原点O ，x 轴、y 轴．(21)B ，，-----4分
（2）画出图形A B C '''△ ----7分
（3）1
48162
S =⨯⨯=． ------12分
21、证明：连结ED ， -----1分
D E Q 、分别是边BC AB 、的中点，
1
2
DE DE AC AC ∴=∥，， --------5分
ACG DEG ∴△∽△，
1
2GE GD DE GC AG AC ∴
===， ---------9分 13
GE GD CE AD ∴== -------12分 22、（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥， ∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，， ------3分 ∴CDF BGF △∽△． --------5分 （2） 由（1）CDF BGF △∽△， 又F 是BC 的中点，BF FC =
∴CDF BGF △≌△， ---------8分 ∴DF FG CD BG ==， 又∵EF CD ∥，AB CD ∥，
∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+-------．10分 ∴22462BG EF AB =-=⨯-=， ∴2cm CD BG ==． ----------12分
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
B
C
D
G E A。
北师大版初二数学下册第4章《因式分解》单元测试卷 (含答案)
北师大版八年级数学下册第4章《因式分解》单元测试题一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）2．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（）A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣253．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．1﹣a44．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的个数是（）（1）x2﹣4；（2）x2+6x+9；（3）4x4﹣2x2+；（4）x2+4xy+2y2A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x6．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（）A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14 7．如果（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，那么m是（）A．7B．﹣7C．1D．﹣18．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．把多项式m3﹣81m分解因式的结果是．10．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝．11．分解因式：a2﹣9b2+2a﹣6b＝．12．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为．13．已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是．14．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是．15．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是．三．解答题（共7小题，满分48分）16．把下列多项式分解因式：（1）x3﹣9x；（2）2a2+4ab+2b217．分解因式（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+4918．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．21．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．【解决问题】（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．22．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式：．（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝．（拼图图形画在方框内）（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：①xy＝；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝其中正确的关系式为．（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．参考答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故选：C．2．解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．故选：B．3．解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．4．解：（1）x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；（2）x2+6x+9，符合完全平方公式；故此选项符合题意．（3）4x4﹣2x2+符合完全平方公式；故此选项符合题意；（4）x2+4xy+2y2不符合完全平方公式；故此选项不符合题意．故选：B．5．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：C．6．解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，故选：D．7．解：∵（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，∴（x+4）（x﹣3）＝x2﹣mx﹣12＝x2+x﹣12，故﹣m＝1，解得：m＝﹣1．故选：D．8．解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．解：m3﹣81m＝m（m2﹣81）＝m（m+9）（m﹣9）．故答案为：m（m+9）（m﹣9）．10．解：m4﹣2m2＝m2（m2﹣2）＝m2（m+）（m﹣）．故答案为：m2（m+）（m﹣）．11．解：a2﹣9b2+2a﹣6b，＝（a2﹣9b2）+（2a﹣6b），＝（a+3b）（a﹣3b）+2（a﹣3b），＝（a﹣3b）（a+3b+2）．12．解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m＝±2，故答案为：±2．13．解：∵ab2+a2b＝10，∴ab（b+a）＝10，∵a+b＝5，∴ab＝2，故答案为：2．14．解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7＝x+x2﹣7＝1﹣7＝﹣6故答案为：﹣6．15．解：原式＝（216+1）（216﹣1）＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）＝（216+1）（28+1）×17×15．则这两个数是15和17．故答案是：15和17．三．解答题（共7小题）16．解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）2a2+4ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．17．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49＝（x2﹣9﹣7）2＝（x2﹣16）2＝（x+4）2（x﹣4）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．19．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．20．解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3，∴3﹣a＝2，a＝1；故答案为：1；（2）设x3+2x+3＝（x+1）（x2+ax+3）＝x3+（a+1）x2+（a+3）x+3，a+1＝0，解得a＝﹣1，多项式的另一因式是x2﹣x+3．21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5；（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，用上述方法可求得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．22．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）拼图如图⑤所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；故答案为：（3a+b）（a+2b）；（3）∵m2﹣n2＝4xy∴①正确；∵x+y＝m∴②正确；∵x+y＝m，x﹣y＝n∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，∴③正确；∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；∴④正确．故答案为：①②③④．（4）剪拼图形如图⑥、⑦；把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），∴S阴影（梯形）＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．。
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》单元练习题含答案解析 (4)
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》单元检测题4一、选择题1.下列能用完全平方公式因式分解的是( )A．x2+2xy−y2B．−xy+y2C．x2−2xy+y2D．x2−4xy+2y22.若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n m的值为( )A．−4B．16C．4或16D．−4或−163.下列各多项式中，不能分解因式的是( )A．4x2−y2B．2x4+8x3y+8x2y2C．a2+2ab−b2D．x2+xy−6y24.若∣a∣=5，∣b∣=6，且a>b，则a+b的值为( )A．−1或11B．1或−11C．−1或−11D．115.若a+b=3，则2a2+4ab+2b2−6的值是( )A．12B．6C．3D．06.如果x2+x−1=0，那么代数式x3+2x2−7的值是( )A．6B．8C．−6D．−87.某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是( )A．1010B．4C．2D．18.如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a，b的恒等式为( )A．a2−b2=(a+b)(a−b)B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a−b)2=(a+b)2−4ab D．a2+ab=a(a+b)9.若x i+1−x i2=1，其中i=0，1，2⋯⋯，( )A．当x0=0时，x2018=4037B．当x0=1时，x2018=4037C．当x0=2时，x2018=4037D．当x0=3时，x2018=403710.定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k （其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，n=66时，其“C运算”如下66→[第1次]C②33→[第2次]C①100→[第3次]C②25⋯若n=26，则第2019次“C运算”的结果是( )A．40B．5C．4D．1二、填空题11.分解因式：3a(m−n)+2b(m−n)=．12.分解因式：a2b+4ab+4b=．13.已知a2+a−1=0，则a3+2a2+2018=．14.若a+b=4，a−b=1，则(a+1)2−(b−1)2的值为．15.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1；②当n为偶数时，F(n)=n2k（其中k是使F(n)为奇数的正整数）⋯，两种运算交替重复进行，例如，取n=13，则：若n=24，则第100次“F”运算的结果是．16.已知代数式x−2y的值是−4，则代数式3−x+2y的值是．17.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为−2，则第2020次输出的结果为．三、解答题18.先化简，再求值：−2(−x2+5+4x)−(2x2−4−5x)，其中x=−2．19.先化简，再求值：(x+3y)2−2(x−y)(x+y)+(x−3y)2，其中x=2，y=−12．20.甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg；一次性购买超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg的部分价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg(x>0)．(1) 根据题意填表：a=，b=．一次购买数量(kg)3050150⋯甲批发店花费(元)180300900⋯乙批发店花费(元)a350b⋯(2) 设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式．(3) 若小王在同一个批发店一次性购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中批发，哪个批发店购买数量多？21.对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了，此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2=(x2+2ax+a2)−a2−3a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a).像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．(1) 利用“配方法”分解因式：① a2−6a−7．② a4+a2b2+b4．(2) 已知x是实数，试比较x2−4x+5与−x2+4x−4的大小，说明理由．22.利用因式分解简便计算：(1) 32021−32020；32020−32019．(2) 1×2×3+3×6×9+5×10×15+7×14×211×3×5+3×9×15+5×15×25+7×21×3523.阅读下面的用配方法分解因式的过程，然后完成下列问题：x2+10x+16=x2+2x⋅5+52−52+16=x2+2x⋅5+52−9=(x+5)2−32=(x+8)(x+2).(1) 模仿，根据材料运用配方法分解因式x2−12x−28．(2) 领悟：x2+2mx+=（x+）2．(3) 应用：已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2−6a−8b+25=0，求这个等腰三角形的周长．24.已知A=3x2+x−2，B=2x2−2x−1．B；(1) 化简A+12B的值．(2) 当x=−1时，求A+1225.已知a2−3a−1=0，求a6+120a−2=．答案一、选择题1. 【答案】C【知识点】完全平方式2. 【答案】C【解析】因为x2+2(m−3)x+1是完全平方式，(x+n)(x+2)=x2+(n+2)x+2n不含x 的一次项，所以m−3=±1，n+2=0，解得：m=4，n=−2，此时原式=16；m=2，n=−2，此时原式=4，则原式=4或16．【知识点】多项式乘多项式、完全平方式3. 【答案】C【解析】A选项：4x2−y2=(2x+y)(2x−y)，故A正确；B选项：2x4+8x3y+8x2y2=2x2(x2+4xy+4y2)=2x2(x+2y)2，故B正确；C选项：无法因式分解，故C错误；D选项：x2+xy−6y2=(x+3y)(x−2y)，故D正确．【知识点】完全平方式、十字相乘法4. 【答案】C【解析】已知∣a∣=5，∣b∣=6，则a=±5，b=±6∵a>b，∴当a=5，b=−6时，a+b=5−6=−1；当a=−5，b=−6时，a+b=−5−6=−11．【知识点】绝对值的化简、简单的代数式求值5. 【答案】A【解析】原式=2(a2+2ab+b2)−6 =2(a+b)2−6=2×32−6=12.【知识点】完全平方式6. 【答案】C【解析】由x2+x−1=0得x2+x=1，∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1−7=−6.故选C．【知识点】提公因式法7. 【答案】B【解析】由题意可得，当x=1时，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是4，第5次输出的结果是2，第6次输出的结果是1，第7次输出的结果是4，第8次输出的结果是2，第9次输出的结果是1，第10次输出的结果是4，⋯，从第三次输出的结果开始，每次输出的结果分别是1，4，2，1，4，2，⋯，每三个数一个循环，∴(2020−2)÷3=672⋯2，∴2020次输出的结果是4．【知识点】简单的代数式求值8. 【答案】C【解析】方法一阴影部分的面积为：(a−b)2，方法二阴影部分的面积为：(a+b)2−4ab，所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a，b的恒等式为(a−b)2= (a+b)2−4ab．【知识点】完全平方式、完全平方公式9. 【答案】B=1，其中i=0，1，2⋯⋯，【解析】因为x i+1−x i2所以x i+1−x i=2，所以x i+1=x i+2，所以x i=x0+2i，当x0=0时，x2018=0+2×2018=4036，故选项A错误，当x0=1时，x2018=1+2×2018=4037，故选项B正确，当x0=2时，x2018=2+2×2018=4038，故选项C错误，当x0=3时，x2018=3+2×2018=4039，故选项D错误，故选：B．【知识点】简单的代数式求值10. 【答案】D【知识点】简单的代数式求值二、填空题11. 【答案】(m−n)(3a+2b)【解析】提取公因式(m−n)，∴3a(m−n)+2b(m−n)=(m−n)(3a+2b)．【知识点】提公因式法12. 【答案】b(a+2)2【知识点】完全平方式、提公因式法13. 【答案】2019【解析】∵a2+a−1=0，∴a2=1−a，a2+a=1，∴a3+2a2+2018,=a⋅a2+2(1−a)+2018,=a(1−a)+2−2a+2018,=a−a2−2a+2020,=−a2−a+2020,=−(a2+a)+2020,=−1+2020,=2019.【知识点】简单的代数式求值14. 【答案】12【解析】∵a+b=4，a−b=1，∴(a+1)2−(b−1)2=(a+1+b−1)(a+1−b+1)=(a+b)(a−b+2)=4×(1+2)=12.【知识点】平方差15. 【答案】4【解析】当n=24，=3，则第1次“F”运算的结果是：2423第2次“F”运算的结果是：3n+1=10，第3次“F”运算的结果是：102=5，第4次“F”运算的结果是：3n+1=16，第5次“F”运算的结果是：1624=1，第6次“F”运算的结果是：3n+1=4，第7次“F”运算的结果是：422=1，⋯观察以上结果，从第5次开始，结果就只有1，4两个数循环出现，且当次数为奇数时，结果是1，次数为偶数时，结果是4，而100次是偶数，所以最后结果是4．故答案为4．【知识点】简单的代数式求值、用代数式表示规律16. 【答案】7【解析】∵x−2y=−4，∴3−x+2y=3−(x−2y)=3+4=7.【知识点】简单的代数式求值17. 【答案】−4【解析】次数输入输出1−2≤0−1 2−1≤00 30≤01 41>0−4 5−4≤0−3 6−3≤0−2 7−2≤0−1 8−1≤006个为一组找规律，2020÷6=336⋯4，∴输出为−4．【知识点】简单的代数式求值三、解答题18. 【答案】−2(−x2+5+4x)−(2x2−4−5x) =2x2−10−8x−2x2+4+5x=−3x−6.当x=−2时，原式=6−6=0.【知识点】整式的加减运算、简单的代数式求值19. 【答案】 原式=20y 2，把 y =−12 代入，得 原式=5．【知识点】整式的混合运算、简单的代数式求值20. 【答案】(1) 210；850(2) 由题意可得， y 1=6x ，当 0<x ≤50 时，y 2=7x ，当 x >50 时，y 2=50×7+(x −50)×5=5x +100， 由上可得，y 2={7x (0<x ≤50),5x +100(x >50).(3) 在甲店可以购买 360÷6=60（千克）， ∵360>50×7，∴ 令 5x +100=360，得 x =52， ∵60>52，∴ 在甲店购买的数量多． 【解析】(1) a =7×30=210，b =7×50+(150−50)×5=850．【知识点】一次函数的应用、简单的代数式求值、一次函数与一元一次方程的关系21. 【答案】(1) ①a 2−6a −7=(a 2−6a +9)−9−7=(a −3)2−16=(a −3+4)(a −3−4)=(a +1)(a −7). ②a 4+a 2b 2+b 4=(a 4+2a 2b 2+b 4)−a 2b 2=(a 2+b 2)2−a 2b 2=(a 2+b 2+ab )(a 2+b 2−ab ).(2) x2−4x+5>−x2+4x−4．理由：(x2−4x+5)−(−x2+4x−4)=x2−4x+5+x2−4x+4=2x2−8x+9=2(x2−4x+4)−8+9=2(x−2)2+1≥1>0.∴x2−4x+5>−x2+4x−4．【知识点】完全平方式、平方差、实数的大小比较22. 【答案】(1) 3；(2) 25．【知识点】提公因式法23. 【答案】(1)x2−12x−28=x2−2x⋅6+62−62−28 =x2−2x⋅6+62−64=(x−6)2−82=(x−6+8)(x−6−8)=(x+2)(x−14).(2) m2；m(3) a2+b2−6a−8b+25=0，(a2−6a+9−9)+(b2−8b+16−16)+25=0，(a−3)2−9+(b−4)2−16+25=0，∴(a−3)2+(b−4)2=0，∴a=3，b=4，若3为腰长，则三边长分别为3，3，4，可以构成三角形周长=3+3+4=10，若4为腰长，则三边长分别为3，4，4，可以构成三角形周长=3+4+4=11，综上，三角形周长为10或11．【知识点】完全平方公式、完全平方式、等腰三角形的概念24. 【答案】(1)A+12B=3x2+x−2+12(2x2−2x−1)=3x2+x−2+x2−x−12=4x2−52.(2) 当x=−1时，A+12B=4×(−1)2−52=32.【知识点】简单的代数式求值、整式的加减运算25. 【答案】1309【解析】∵a2−3a−1=0，∴a2=3a+1，a6=(a2)3=(3a+1)2(3a+1)=(9a2+6a+1)(3a+1)=[9×(3a+1)+6a+1](3a+1)=(33a+10)(3a+1)=99a2+63a+10=99(3a+1)+63a+10=360a+109.∵a2−3a=1，∴120a−2=120a2⋅(a2−3a)=120−360a=120−360a ×(a2−3a)=120−360a+1080=1200−360a.∴a6+120a−2=360a+109+1200−360a=1309.【知识点】简单的代数式求值11。
北师大版八年级数学(下册)第四章测试卷(及答案)
第四章测试卷本试卷共3大题，计20小题，满分100分，考试时间100分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB. x2-4x+4=x(x-4)+4C. 10x2-5x=5x(2x-1)D. x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是（）A. x2-yB. x2+2xC. x2+y2D. x2-xy+13.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）A. 3x2yB.3xy2C. 3x2y2D.3x3y34.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是（）A. x+1B.x2C. xD. x2+15.下列变形错误的是（）A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)= - (b-a)(b-c)C. –x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)26.下列各式中能用平方差公式因式分解的是（）A. –x2y2B.x2+y2C.-x2+y2D.x-y7.下列分解因式错误的是（）A. 1-16a2=(1+4a)(1-4a)B. x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A.x2－xyB. x2＋xyC. x2－y2D. x2＋y29．若9x2−12xy+m是两数和的平方式，那么m的值是( )A ．2y 2B ．4y 2C ．±4y 2D ．±16y 210.．把多项式a 4− 2a 2b 2+b 4因式分解的结果为( )A ．a 2(a 2−2b 2)+b 4B ．(a 2−b 2)2C ．(a−b)4D ．(a+b)2(a−b)2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）11.-7ab+14a 2-49ab 2=-7a(________).12.992-1012=________13.若a+b=1,x-y=2,则a 2+2ab+b 2-x+y= 。
北师大版八年级下册 第四章 因式分解(包含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列从左到右的变形中,是分解因式的有()①(x+1)(x-2)=x2-x-2;②-x2+9=(3+x)(3-x);③ab-a+b-1=(a+1)(b-1);④a2-4+a=(a+2)(a-2)+a;).⑤(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1);⑥a2+1=a(a+1aA.1个B.2个C.3个D.4个答案B②③是分解因式.2.下面分解因式正确的是()A.x3-x=x(x-1)B.3xy+6y=y(3x+6)C.a2-2a-1=(a-1)2D.1-b2=(1+b)(1-b)答案D A的结果错误,B没分解彻底,C的左右两边不相等,只有D选项正确.3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9答案D A,C的两个平方项同号,B中两项提公因式5m后不是两式平方差的形式,只有D选项能用平方差公式.4.下列各组多项式中没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mx-my与ny-nxD.ab-ac与ab-bc答案 D ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),两个多项式没有公因式.5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( ) A.-5 B.3 C.7 D.7或-1答案 D 因为x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,所以m-3=±4,所以m=7或-1.6.若a 2+b 2+4a-2b+5=0,则a+b a -b 的值为( ) A.3 B.13 C.-3 D.-13答案 B 由a 2+b 2+4a-2b+5=0得(a+2)2+(b-1)2=0,所以a=-2,b=1.所以a+b a -b =-2+1-2-1=13. 7.212-1可以被5~10之间的某些整数整除,它们是( ) A.7 B.9 C.6和7 D.7和9答案 D 212-1=(26+1)(26-1)=(26+1)(23+1)(23-1)=(26+1)×9×7,故有两个整数符合题意,即7和9.8.多项式x 2-4x+m 分解因式的结果是(x+3)(x-n),则m n 等于 ( ) A.3 B.-3 C.-13 D.13答案 B 由题意得x 2-4x+m=(x+3)(x-n), 即x 2-4x+m=x 2+(3-n)x-3n, 所以{3-n =-4,-3n =m,解得{n =7,m =-21,所以m n =-217=-3. 9.若xy=1,则(x+y)2-(x-y)2等于( ) A.-4 B.4 C.2 D.-2答案 B 当xy=1时,(x+y)2-(x-y)2=4xy=4,故选B. 10.已知1-x n =(1+x 2)(1-x)(1+x),则n 的值是( )A.2B.4C.6D.8答案 B (1+x 2)(1-x)(1+x)=(1+x 2)(1-x 2)=1-x 4=1-x n ,所以n=4.二、填空题11.因式分解:x 2-36= .答案 (x+6)(x-6)解析 根据平方差公式,得x 2-36=x 2-62=(x+6)(x-6). 12.分解因式:m 3n-4mn= .答案 mn(m+2)(m-2)解析 m 3n-4mn=mn(m 2-4)=mn(m+2)(m-2).13.分解因式:-2x 2y+12xy-18y= .答案 -2y(x-3)2解析 先提取公因式,再用完全平方公式分解因式.-2x 2y+12xy-18y=-2y(x 2-6x+9)=-2y(x-3)2.14.分解因式:(a-b)2-4b 2= .答案 (a+b)(a-3b)解析 (a-b)2-4b 2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).15.已知长方形的面积为9a 2-16,若一边长为3a+4,则与它相邻的边长为 . 答案 3a-4解析 S 长方形=9a 2-16=(3a+4)(3a-4),∴所求边长为3a-4. 16.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .答案 (x-y)(m+n)解析 m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).17.计算:100992+198+1= .答案 1100解析 100992+198+1=100992+2×99+1=100(99+1)2=1001002=1100. 18.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证公式 .答案 a 2-b 2=(a+b)(a-b)解析 在题图中,左图:S 阴影=a 2-b 2;右图:S 阴影=(2b+2a)(a -b)2=(a+b)(a-b), ∴ a 2-b 2=(a+b)(a-b).三、解答题19.把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c;(2)5x(x-y)2+10(y-x)3;(3)(a+b)2-9(a-b)2;(4)-4ax2+8axy-4ay2;(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.答案(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.20.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x 2-4x+4)2.回答下列问题: (1)该同学分解因式的结果是否彻底: (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果: ;(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1进行因式分解. 答案(1)不彻底;(x-2)4. (2)设x 2-2x=y,则(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y 2+2y+1=(y+1)2=(x 2-2x+1)2=(x-1)4. 21.(1)一个等腰三角形的两边长a,b 满足条件:9a 2-b 2=-13,3a+b=13,求这个等腰三角形的周长; (2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三边长.①判断(a-c)2-b 2的正负; ②若a,b,c 满足a 2+c 2+2b(b-a-c)=0,判断△ABC 的形状. 答案 (1)因为9a 2-b 2=-13, 所以(3a+b)(3a-b)=-13,因为3a+b=13,所以3a-b=-1,由{3a +b =13,3a -b =-1,得{a =2,b =7.当a 为腰长时,2+2<7,不能构成三角形;当b 为腰长时,三角形的周长为7+7+2=16.综上,这个等腰三角形的周长为16.(2)①(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).因为a,b,c分别是△ABC的三边长,所以a+b>c,b+c>a,所以a-c+b>0,a-c-b<0,所以(a-c+b)(a-c-b)<0,即(a-c)2-b2<0.②由a2+c2+2b(b-a-c)=0,得a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,即(a-b)2+(b-c)2=0,所以a=b,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.22.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?答案(1)是.理由:28=2×14=(8-6)×(8+6)=82-62,2 012=2×1006=(504-502)×(504+502)=5042-5022,所以这两个数都是神秘数.(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.(3)不是.理由:由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),因为(2k+1)2-(2k-1)2=8k,8k是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差一定不是神秘数.。
【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷(含答案)
【精选】北师大版八年级下册数学第四章《因式分解》测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P 94习题T 2改编】【2021·兴安盟】下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )A ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．2a －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1aD ．x 2＋6x ＋8＝x (x ＋6)＋82．下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－4x ＋43．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．x 2＋x ＋1B ．x 2＋2x －1C ．x 2－1D ．x 2－10x ＋254．分解因式－2m (n －p )2＋6m 2(p －n )时，应提取的公因式为( )A ．－2m 2(n －p )2B ．2m (n －p )2C ．－2m (n －p )D ．－2m5．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是( )A ．a 3－a ＝a (a 2－1)B ．m 2－2mn ＋n 2＝(m －n )2C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )D ．x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )6．下列因式分解正确的是( ) A ．3ax 2－6ax ＝3(ax 2－2ax )B ．x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )C ．a 2＋2ab －4b 2＝(a ＋2b )2D ．－ax 2＋2ax －a ＝－a (x －1)27．如果x －2是多项式x 2－6x ＋m 的一个因式，那么m 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．【2023·绵阳南山双语学校模拟】从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图①所示，然后拼成一个平行四边形，如图②所示，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为( )A ．a 2－b 2＝(a －b )2B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )9．【教材P 105复习题T 12变式】已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．下列各数中，可以写成两个连续偶数的平方差的是( )A ．500B ．520C ．250D ．205二、填空题(每题3分，共24分)11．分解因式：3m 3＋6m 2＝____________．12．把多项式()1＋x ()1－x －()x －1提取公因式x －1后，余下的部分是__________．13．【2022·苏州】已知x ＋y ＝4，x －y ＝6，则x 2－y 2＝________．14．一个长方体的体积为x 2y －9y ，长和宽是关于x 的一次二项式(一次项系数为1)，则长是________，宽是________．15．【教材P 105复习题T 13改编】若关于x 的二次三项式x 2＋ax ＋14是完全平方式，则a 的值是__________．16．已知a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，分解因式：(x 2＋y 2)－(axy ＋b )＝________________．17．在对多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解时，小明看错了b ，分解的结果是(x －10)(x ＋2)；小亮看错了a ，分解的结果是(x －8)(x －2)，则多项式x 2＋ax ＋b 进行因式分解的正确结果为____________．18．【规律探索题】观察下列各式：x 2－1＝(x －1)(x ＋1)，x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，x 4－1＝(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)，根据前面各式的规律可猜想：x n ＋1－1＝_________________________________________.三、解答题(19题16分，20，24题每题12分，21，22题每题8分，23题10分，共66分)19．【教材P104复习题T2改编】把下列各式因式分解：(1)4x2－64；(2)a3b＋2a2b2＋ab3；(3)(a－b)2－2(b－a)＋1；(4)x2－2xy＋y2－16z2.20.【数学运算】利用因式分解计算：(1)57×99＋44×99－99；(2)2 0242－4 048×2 023＋2 0232；(3)9×1.22－16×1.42.21．【教材P105复习题T6变式】已知x＋y＝4，x2＋y2＝14，求x3y－2x2y2＋xy3的值．22．【教材P105复习题T5变式】若一个两位正整数m的个位数字为8，求证：m2－64一定为20的倍数．23．【阅读理解题】阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．如：将x2＋2x－3因式分解．解：原式＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．(1)请你仿照以上方法，完成因式分解：a2＋4ab－5b2；(2)若m2＋2n2＋6m－4n＋11＝0，求m＋n的值．24．【直观想象】观察猜想如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的，请根据此图填空：x2＋(p＋q)x ＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(________)(________)．说理验证事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝_______________＝(________)(________)．于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．尝试运用例题：把x2＋3x＋2因式分解．解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．请利用上述方法将下列多项式因式分解：。
北师大版数学八年级(下)第四章测试题(含答案)
第四章评价试题(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题:(每题4分，共32分)1.已知一个正方形的边长为a ，那么它的一条对角线与周长的比为( )A.2：4B.1：2C.22： 4D.2：22.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为32cm 2，那么小三角形的面积为( )A.10cm 2B.14cm 2C.16cm 2D.18cm 23.下列四组线段中，不能成比例的是( )A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=1，b=2，c=6，d=3C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=2，b=5，c=15，d=234.如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA:PQ=( )A.B.1:2C.1:3D.2:3 5.若且a+b+c≠0则k=( )A.-1B.C.1D.6.已知梯形两底长分别为36cm 、60cm ，高为32cm ，梯形两腰的延长线交点到下底的距离是( )A.32cmB.48cmC.80cmD.60cm7.△ABC 中，DE∥BC，35AD AB =，则ADE DBCE S S ∆梯形的值是( ) A. B. C. D.8.一个运动场的实际面积是6400m 2，按比例尺1:1000的地图上的面积是( )A.6.4cm 2B.640cm 2C.64cm 2D.8cm 2二、填空题:(每题4分，共32分)9.如果线段a=5cm ，b=6m ，那么a 与b 的比值是________．10.若234a b c ==,则32a b c a++=________． 11.若C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ．已知AB=20cm ，则AC=________．12.如果两个相似三角形最短边长比为4:5，而周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为________．13.竿高3米，影长2米；同一时刻，某塔影长为20米，则塔的高度为_______．14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，BC=20，BD=9，则AB=______．15.如图，ABCD是正方形，E是DC上一点，DE:EC=3:1，连接AE．作EF⊥EA，交BC于F，则EF:AE=_________．16.如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD=______时，△ABC∽△CDB．三、解答下列各题:(17、18题各10分，19题16分，共36分)17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．CD2=AB·BE吗？请说明理由．18.如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ为何值时，△ADP∽△QCP？19.如图，E为ABCD的边DC的延长线上的点，且CE=DC．连结AE，分别交BC、BD于点F、G．(1) △AFB≌△EFC吗？(2)若BD=12cm，求DG的长．参考答案一、1.A 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C(提示，单位统一)二、9.1:120 10.8 11.12.8cm和10cm 13.30米14.15.1:4 16.三、17.18.由正方形ABCD可知，∠D=∠C=90°，从而构成了两个直角三角形．而两直角三角形相似，有两种可能，即Rt△ADP∽Rt△QCP，或Rt△ADP∽Rt△PCQ．当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有，即，得，即．当Rt△ADP∽Rt△QCP时，有，即，得QC=1，即BQ=0．因此当BQ=0或时，△ADP∽△QCP．19.(1)(2)。
北师大版八年级下数学第四章试题及答案
北师大版八年级下数学第四章试题一.选择题(本大题共32 分)1. 如果ad=bc，那么下列比例式中错误的是（）2. 如果，则下列各式中能成立的是（）3. 下列说法中，一定正确的是（）(A)有一个锐角相等的两个等腰三角形相似(B)底角为45˚的两个等腰梯形相似(C)任意两个菱形相似(D)有一个钝角相等的两个等腰三角形相似4. 延长线段AB到C,使得BC=AB,则AC:AB=( )(A)2:1 (B)3:1 (C)3:2 (D)4:35. 如图已知：△ABC中，DE∥BC，BE、CD交于O，S△DOE:S△BOC=4:25，则AD:DB=（）(A)2:5 (B)2:3 (C)4:9 (D)3:56. 三角形三边之比为3:4:5，与它相似的另一个三角形的最短边为6cm，则这个三角形的周长为（）(A)12cm (B)18cm (C)24cm (D)30cm7. 如图,根据下列条件中( )可得AB∥EF(A) OA:AE=OB:BF (B) AC:AE=BD:DF (C) OA:OE=OB:DF (D)AE:BF=OA:DB8. 如图已知在Rt△ABC中，∠ACB=90˚，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，则图中相似（但不全等）的三角形共有（）(A)6对(B)8对(C)9对(D)10对二.填空题(本大题共12 分)1. 在比例尺为1:50000的地图上,一图形的周长为20cm,面积为50cm,那么此图形的实际周长为m；实际面积为千米2。
2. 在比例尺是1:10000的地图上，图距25mm，则实距是；如果实距为500m，其图距为cm。
3. 如果，则，。
4. 已知,则5. 两个相似多边形面积之比为3:4，则它们的相似比为。
6. 顺次连结三角形三边中点所成的三角形面积与原三角形面积之比为。
7. 直角三角形两直角边的比为2:3，则斜边上的高把斜边分成较长线段与较短线段的比为。
8. 两个相似三角形对应高的比为1:√2，则它们的周长之比为；面积之比为。
最新北师大版数学八年级下册第四章单元测试题及答案解析
北师大版数学八年级下册第四章单元测试题得分:一、选择题1. 把多项式m 2 - 9m 分解因式，结果正确的是( )A ・ m (m-9)B ・(m+3) (m - 3) C. m (m+3) (m - 3) D ・(m-3) 22. 多项式・口与多项式2m 2 - 4m+2的公因式是( )A. m ・ 1 B ・ m+lC ・ m 2 - 1 D ・(m - 1) 23. 把多项式分解因式，正确的结果是( )A ・ 4a 2+4a+l= (2a+l) 2 B. a 2 - 4b 2= (a - 4b) (a+b)C ・ a 2 - 2aD . (a ・b) (a+b) =a 2 - b 24. 下列因式分解正确的是( )A. m'+r?二(m+n) (m ・ n)B. x 2+2x - 1= (x - 1) 2C. a 2 - a=a (a - 1)D. a 2+2a+l=a (a+2) +15. 当弘b 互为相反数时，代数式a 2+ab ・2的值为( )D ・ a 3 - a=a (a+1) (a - 1)C. (3y ・3)2D. V3(y -1)210・下列各因式分解正确的是（B ・-x 2+ ( - 2) 2= (x ・ 2) (x+2)3 (y ・ 1) 2 B ・ 3 (y 2 - 2y+l) 8. 因式分解3y 2 - 6y+3, 结果正确的是（） 9. 分解因式：y 3 - 4y 2+4y=（A. y (y 2 - 4y+4) B ・ y(y ・2) C ・ y (y+2) 2 D ・ y (y+2) (y - 2) 姓名: A. 2 B ・0 C ・-2 D ・-16. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）A. x (a - b) =ax - bxB. x 2 - l+y 2= (x - 1) (x+1) +y 2C. y 2 - 1= (y+1) (y - 1) D ・ ax+by+c 二x (a+b) +c7. 下列运算正确的是（A. (a+b) 2=a 2+b 2B. (-2ab 3) 2= - 4a 2b 6C. A. A ・ x 2+2x - 1= (x - 1) 2C. x3 - 4x=x (x+2) (x - 2) D・(x+1) 2=x2+2x+l口・把代数式X3 - 4X2+4X分解因式，结果正确的是( )A.x (x2・4x+4)B. x (x - 4) 2C. x (x+2) (x - 2)D. x (x - 2) 212.因式分解x2y・4y的结果是( )A.y (x?・4)B. y (x - 2) 2C. y (x+4) (x - 4)D. y (x+2) (x - 2)二、填空题13.分解因式：m2+2m= _________ .14.分解因式：a2+a= ________ .15.因式分解：m2 - m=_________ .16.分解因式：m2+4m= _________ .17.因式分解3a2+a= _________ .三、解答题18.因式分解：■ 3a3b+6a2b2 - 3ab3.19.发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证⑴(-1) 2+02+2+22+32的结果是5的儿倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和，并说明是5的倍数.延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是儿呢？请写出理由.20.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pXq (p, q是正整数，且pWq),在n的所有这种分解中，如果p, q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F (n)=匕q例如12可以分解成1X12, 2X6或3X4,因为12 - 1>6・2>4・3,所以3X4 是12的最佳分解，所以F (12)=旦.4(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F (m) “；(2)如果一个两位正整数t, t=10x+y (lWxWyW9, x, y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数"，求所有“吉祥数"；(3)在(2)所得“吉祥数"中，求F (t)的最大值.21.先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数盂(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为"欢喜数"，并规定F (盂)=ac.如374,因为它的白位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数"，/.F (374) =3X4=12.(1)对于"欢喜数£2,若满足b能被9整除，求证："欢喜数品"能被99整除;(2)已知有两个十位数字相同的"欢喜数"m, n (m>n),若F (m) - F (n) =3, 求m - n的值.22.对任意一个正整数m,如果m=k(k+l),其中k是正整数，则称m为“矩数〃，k 为m的最佳拆分点.例如，56=7X (7+1),则56是一个"矩数"，7为56的最佳拆分点.⑴求证：若“矩数〃m是3的倍数，则m—定是6的倍数；(2)把"矩数"p与“矩数"q的差记为D (p, q),其中p>q, D (p, q) >0.例如，20=4X5, 6=2X3,则D (20, 6) =20 - 6=14・若〃矩数〃p的最佳拆分点为t,"矩数〃q的最佳拆分点为s, 当D (p, q) =30时，求旦的最大值. t23・仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2 - 4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2 - 4x+m= (x+3) (x+n)则x2 - 4x+m=x2+ (n+3) x+3n•(n+3=-4•• < •in=3n角军得:n二・7, m= - 21•:另—个因式为(x - 7), m的值为・21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+3X・k有一个因式是(2x・5),求另一个因式以及k的值.答案与解析1.把多项式m2 - 9m分解因式，结果正确的是( )A.m (m - 9)B. (m+3) (m - 3)C. m (m+3) (m - 3)D. (m・3) 2 【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】直接找出公因式m,提取分解因式即可.【解答】解：m2 - 9m=m (m - 9).故选：A.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2.多项式・口与多项式2m2 - 4m+2的公因式是( )A.m - 1B. m+1C. m2 - 1D. (m - 1) 2【考点】52：公因式.【专题】选择题【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项.【解答】解：・ m=m (m - 1), 2m2 - 4m+2=2 (m - 1) (m - 1),m2 - m与多项式2m2 - 4m+2的公因式是(m・1), 故选：A.【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了 "・1".3.把多项式分解因式，正确的结果是( )A.4a2+4a+l= (2a+l) 2B. a2 - 4b2= (a - 4b) (a+b)C. a2 - 2a - 1= (a - 1) 2D. (a - b) (a+b) =a2 - b2【考点】54：因式分解■运用公式法.【专题】选择题【分析】直接利用乘法公式分解因式，进而判断得出答案.【解答】解：A、4a2+4a+l= (2a+l) 2,正确；B、a2 - 4b2= (a - 2b) (a+2b),故此选项错误；C、a2・2a・l无法运用公式分解因式，故此选项错误；D、(a - b) (a+b) =a2 - b2,是多项式乘法，故此选项错误；故选：A.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.4.下列因式分解正确的是( )A、m2+n2= (m+n) (m・n) B. x2+2x - 1= (x・l) 2C. a2 - a=a (a - 1)D. a2+2a+l=a (a+2) +1【考点】54：因式分解■运用公式法；53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案.【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；B、x2+2x・l无法分解因式，故此选项错误；C、a2 - a=a (a - 1),止确；D、a2+2a+l= (a+1) 2,故此选项错误;故选：C.【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.5.当a, b互为相反数时，代数式a2+ab・2的值为( )A. 2B. 0C. -2D.・ 1【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】选择题【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b=O,原式变形后代入讣算即可求出值.【解答】解：山题意得到a+b=O,则原式=a (a+b) - 2=0 - 2= - 2,故选c【点评】此题考查了因式分解■提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.6.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是( )A、x (a - b) =ax - bx B. x2 - l+y2= (x - 1) (x+1) +y2C. y2 - 1= (y+1) (y - 1)D. ax+by+c=x (a+b) +c【考点】51：因式分解的意义.【专题】选择题【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成儿个整式积，可得答案.【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成儿个整式积，故B错误；C、把一个多项式转化成儿个整式积，故C正确；D、没把一个多项式转化成儿个整式积，故D错误；故选：C.【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成儿个整式积是解题关键.7.下列运算正确的是( )A、(a+b) 2=a2+b2 B. ( - 2ab3) 2= - 4a2b6C. 3a2 - 2a3=a6D. a3 - a=a (a+1) (a - 1)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.【专题】选择题【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断：B、原式利用幕的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab,错误；C. x3 - 4x=x (x+2) (x - 2)D. (x+1) 2=x2+2x+l【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得岀即可.【解答】解：A、X2+2X无法因式分解，故A错误；B、- X2+ ( - 2) 2= (2+x) (2 ・ x),故 B 错误；C、x3 - 4x=x (x+2) (x - 2),故 C 正确；D、(x+1) 2=X2+2X+1,是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误.故选：C.【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键.11.把代数式x3・4x2+4x分解因式，结果正确的是( )A. x (x? - 4x+4)B. x (x - 4) 2C. x (x+2) (x - 2)D. x (x - 2) 2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案.【解答】解：原式=x (x2 - 4x+4) =x (x - 2) 2,故选：D.【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键.12.因式分解x2y・4y的结果是( )A. y (x2 - 4)B. y (x - 2) 2C. y (x+4) (x - 4)D. y (x+2) (x・2)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】选择题【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可釆用平方差公式继续分解.1【解答】解：x2y - 4y=y (x2 - 4)=y (x+2)(x - 2).故选：D.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.13.分解因式：m2+2m= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】根据提取公因式法即可求出答案.【解答】解：原式=口(m+2)故答案为：m (m+2)【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型.14.分解因式：a2+a= ________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提取公因式分解因式得出即可.【解答】解：a2+a=a (a+1).故答案为：a (a+1).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键.15.因式分解：m2 - m= ________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】式子的两项含有公因式m,提取公因式即可分解.【解答】解：m2 - m=m (m - 1)故答案是：m (m - 1).【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式，正确确定公因式是解题的关键.16.分解因式：m2+4m= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提提取公因式m,进而分解因式得出答案.【解答】解：m2+4m=m (m+4).故答案为:m (m+4).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.17.因式分解3a2+a= _________ .【考点】53：因式分解■提公因式法.【专题】填空题【分析】直接提公因式a即可.【解答】解：3a2+a=a (3a+l),故答案为：a (3a+l).【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式.18.因式分解：■ 3a3b-^6a2b2 - 3ab3.【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【专题】解答题【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.【解答】解：原式=-3ab (a2 - 2ab+b2) = - 3ab (a - b) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.19.发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证⑴(・1) 2+02+2+22+32的结果是5的儿倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和，并说明是5的倍数.延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是儿呢？请写出理由.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】验证⑴计算(・1) 2+02+2+22+32的结果，再将结果除以5即可；(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数：延伸：设三个连续整数的中间一个为n,用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数. 【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证(1) ( - 1) 2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15, 154-5=3,即(-1) 2+02+2+22+32的结果是5的3倍；(2)设五个连续整数的中间一个为n,则其余的4个整数分别是n-2,n-l,n+l,n+2,它们的平方和为:(n - 2)2+ (n - 1) 2+n2+ (n+1) 2+ (n+2) 2=n2 - 4n+4+n2 - 2n+l+n2+n2+2n+l+n2+4n+4=5n2+10,V 5n2+10=5 (n2+2),乂n是整数，An2+2是整数，・•・五个连续整数的平方和是5的倍数：延伸设三个连续整数的中间一个为n,则其余的2个整数是n・l, n+1,它们的平方和为：(n・l) 2+n2+ (n+1) 2=门2 - 2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,Tn是整数，・・・n2是整数，・••任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算.20.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：zpXq (p, q是正整数，且pWq),在n的所有这种分解中，如果p, q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F (n) =2..q例如12可以分解成1X12, 2X6或3X4,因为12 - 1>6・2>4・3,所以3X4是12的最佳分解，所以F (12) =4-4(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F (m) “；(2)如果一个两位正整数t, t=10x+y (lWxWyW9, x, y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数"，求所有"吉祥数"；(3)在(2)所得“吉祥数"中，求F (t)的最大值.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2 (n为正整数)，找出m的最佳分解，确定出F (m)的值即可；(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为f,则f=10y-x,根据“吉祥数" 的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数"的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t)的最大值即可. 【解答】解：(1)证明：对任意一个完全平方数m,设m=n2 (n为正整数)，T n - n =0,AnX n是m的最佳分解，・••对任意一个完全平方数m，总有F (m) =—1；n(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为f,则f=10y-x,•••t是“吉祥数",At' - t= (lOy+x) - (10x+y) =9 (y - x) =36,/. y=x+4,•・・lWxWyW9, x, y为自然数，・•・满足"吉祥数"的有：15, 26, 37, 48, 59；(3)F (15) , F (26) , F (37) =—, F (48) =^-=—, F (59)二丄，5 13 37 8 4 59色> 3_> _L> _L> 丄，4 5 13 37 59・・・所有“吉祥数"中，F (t)的最大值为4【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数"的定义是解本题的关键.21.先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数盂(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个三位数为"欢喜数"，并规定F (盂)=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数"，/.F (374) =3X4=12.(1)对于"欢喜数£2,若满足b能被9整除，求证："欢喜数品"能被99整除；(2)已知有两个十位数字相同的"欢喜数"m, n (m>n),若F (m) - F (n) =3, 求m - n 的值.【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】⑴根据欢喜数的定义可得出a+c=b,山蕊“OOa+lOb+c可得出云=99a+llb,结合b能被9整除即可证出"欢喜数品"能被99整除；⑵设m=屯比r n= a2bc2(且ai>a2),根据 F (m) - F (n) = (ai・a2)(b -ai - a2)=3结合ai、a2、b均为整数，即可得出ai・a2=l或ai・a2=3,将其代入m・n=99 (ai - a2)中即可得出结论.【解答】⑴证明：•・•盂为欢喜数，・°・ a+c=b.*.• abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+llb, b 能被9 整除,A lib能被99整除,99a能被99整除,•••"欢喜数訪c 〃能被99整除.(2)设 m 二 g]bcr n= a 2bc 2 (ai>a2)， F (m) - F (n) =ai e ci - a2e C2=ai e(b - ai) - a2 (b-a2)= (ai-a2)(b-ai ・a2)=3, ai 、a2、b 均为整数，/. ai - a2=l 或 ai ■ a2=3 ・•••m ・ n=100 (ai - a2) " (ai - a2)=99 (ai - a2)^/.m - n=99 或 m ・ n=297. ・°•若F (m)・F(n)=3,则m ・n 的值为99或297.【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出餵=99a+llb ： (2) 由 F (m) - F (n) =3,求岀 ai - a2=l 或巧-a2=3.22.对任意一个正整数m,如果m=k(k+l),其中k 是正整数，则称m 为〃矩数〃, k 为m 的最佳拆分点.例如，56=7X (7+1),则56是一个〃矩数〃，7为56的最 佳拆分点. ⑴求证：若“矩数〃m 是3的倍数，则m —定是6的倍数；(2)把"矩数"p 与“矩数"q 的差记为D (p, q),其中p>q, D (p, q) >0.例如， 20=4X5, 6=2X3,则D (20, 6) =20・6=14.若"矩数"p 的最佳拆分点为t,"矩 数"q 的最佳拆分点为s,当D (p, q) =30时，求旦的最大值.t【考点】59：因式分解的应用.【专题】解答题【分析】⑴当k 为奇数时，k+1是偶数，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+l)是6的倍数；当k 为偶数时，则k(k+l)是能被3整除的偶数，故k(k+l) 是6的倍数，(2)根据题意得 p=t (t+l)^ q=s (S +1)T D (p, q) =t (t+1) - s (s+1) =30,即 t 2+t -s 2 - s=30,分解因式得到(t - s) (t+s+1) =30,根据 30=1 X30=2X 15=3X 10=5【解答】解:⑴若〃矩数二k (k+1)是3的倍数,则k (k+1)是3的倍数,k 是正整数,得到方程组求得< 5或1 g 或] 5=14 冷二6 X6, s 于是得到结论•当k 为奇数时，k+：［是偶数，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+1)是6 的倍数；当k 为偶数时，则k (k+1)是能被3整除的偶数，故k (k+1)是6的倍数， 综上所述，若“矩数〃m 是3的倍数，则口一定是6的倍数；(2)根据题意得 p=t (t+1), q=s (s+1), D (p, q) =t (t+1) - s (s+1) =30, W t 2+t - s 2 - s=30,/. (t - s) (t+s+1) =30,Vt, s 是正整数，t>s,At - S, t+s+1 是正整数，且 t+s+l>t - S TT 30=1 X 30=2 X 15=3 X 10=5 X 6,• t-s=l ••[t+s+1二30 解得：[t=15s 二 14Vt, s 是正整数,逬41或咅或 逬的最大值是營【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解 题的关键.23・仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2 - 4x+m 有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m 的 值. 解：设另一个因式为(x+n),得x 2- 4x+m= (x+3) (x+n) 则 x?・ 4x+m=x2+ (n+3) x+3n• (n+3=-4 • • < ・t-s=5 t+s+l=6,•••符合条件的是:,t 二 15 g=14 t-s=2或 t-s=3 或k 5=6 5=3irr3n角军•得:n= - 7, m=・21・°•另—个因式为（x・7）, m的值为・21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+3X - k有一个因式是（2x・5）,求另一个因式以及k的值. 【考点】51：因式分解的意义.【专题】解答题【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2・4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子2x2+3x・k的二次项系数是2,因式是（2x・5）的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.【解答】解：设另一个因式为（x+a）,得（1分）2X2+3X - k= （2x - 5）（x+a）（2 分）则2X2+3X・ k=2x2+ （2a - 5） x - 5a （4 分）...< 2a-5=3（§ 分）-5a=-k解得:a=4, k=20 （8 分）故另一个因式为（x+4）, k的值为20 （9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.。
北师大版八年级下数学第四章《因式分解》单元测试(含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
北师大八年级下册第四章《因式分解》单元测试题含答案解析
第四章《因式分解》检测题一．选择题（共12小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣252．多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）23．把多项式（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）提取公因式（x﹣1）后，余下的部分是（）A．（x+1） B．（x﹣1） C．x D．（x+2）4．下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz）B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）5．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣86．计算（﹣2）+2等于（）A．2B．﹣2 C．﹣2 D．27．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）8．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2 9．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）10．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣1511．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣412．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0 B．总是奇数C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数二．填空题（共6小题）13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是（填上序号）．14．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．15．若a=49，b=109，则ab﹣9a的值为．16．在实数范围内分解因式：x5﹣4x=．17．设a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是三角形．三．解答题（共10小题）19．把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．(3)（x﹣1）（x﹣3）+1．(4)（x2+4）2﹣16x2．(5) x2+y2+2xy﹣1．（6）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37（实数范围内）．20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．21．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．23．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与解析一．选择题1．【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．2．【分析】分别将多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找他们的公因式．解：∵4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．3．【分析】原式变形后，提取公因式即可得到所求结果．解：原式=（x+1）（x﹣1）+（x﹣1）=（x﹣1）（x+2），则余下的部分是（x+2），故选D4．【分析】A选项中提取公因式3xy；B选项提公因式3y；C选项提公因式﹣x，注意符号的变化；D提公因式b．解：A、12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy），故此选项错误；B、3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2），故此选项正确；C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z），故此选项错误；D、a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1），故此选项错误；故选：B．5．【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．故选：A．6．【分析】直接提取公因式法分解因式求出答案．解：（﹣2）+2=﹣2+2=2×（﹣2+1）=﹣2．故选：C．7．【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；B、原式=（x+1）2，错误；C、原式=3m（x﹣2y），错误；D、原式=2（x+2），正确，故选D8．【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．9．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．10．【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．11．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A12．【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选C．二．填空题13．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；④x4﹣1平方差公式，故④正确；⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；故答案为：②③④⑤⑥．14．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．15．【分析】原式提取公因式a后，将a与b的值代入计算即可求出值．解：当a=49，b=109时，原式=a（b﹣9）=49×100=4900，故答案为：4900．16．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式=x（x4﹣4）=x（x2+2）（x2﹣2）=x（x2+2）（x+）（x﹣），故答案为：x（x2+2）（x+）（x﹣）17．【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形，把其中一个因数化为857，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．解：∵a=8582﹣1=（858+1）（858﹣1）=857×859，b=8562+1713=8562+856×2+1=（856+1）2=8572，c=14292﹣11422=（1429+1142）（1429﹣1142）=2571×287=857×3×287=857×861，∴b＜a＜c，故答案为：b、a、c．18．【分析】先把原式化为完全平方的形式再求解．解：∵原式=a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0，a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，∴a﹣b=0且b﹣c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c．故△ABC是等边三角形．故答案为：等边．三．解答题19．（1）【分析】直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]=2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）【分析】直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．解：﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．(3)【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．解：原式=x2﹣4x+3+1，=x2﹣4x+4，=（x﹣2）2．(4)【分析】利用公式法因式分解．解：（x2+4）2﹣16x2，=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）=（x+2）2•（x﹣2）2．(5)【分析】将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式得出即可．解：x2+y2+2xy﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y﹣1）（x+y+1）．(6)【分析】将x2y2看作一个整体，然后进行因式分解．解：（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37=（x2y2）2﹣4x2y2+16=（x2y24）2=（xy+2）2（xy﹣2）2．20．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0，∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，则原式=（x﹣3y）2=112=121．21．【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；（2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．22．【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．23.【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．解：x3﹣x2﹣x+1=x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）2（x+1）4x3﹣4x2﹣x+1=4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）24.【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．。