电动力学答案完整

1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场；

2 极化体电荷和极化面电荷分布。

解（1）

f

s

D ds dV ρ→

⋅=⎰⎰， （r 2>r> r 1）

即：()2

3

31

443

f

D r r r π

πρ⋅=-

∴()3

313

3f r r E r r

ρε→

-=

， （r 2>r> r 1）

由

()33

210

43f

f s

Q E d s r r πρεε⋅=

=

-⎰

， （r> r 2） ∴()3

32

13

03f r r E r r ρε→

-=

， （r> r 2）

r> r 1时， 0E = （2）()0

00

00

e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103

30033303p f f f f

r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε⎡⎤-⎛⎫

-⎢⎥=-∇⋅=--∇⋅=-∇⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--=--=- （r 2>r>

r 1）

12p n n P P σ=-

考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0

()

()

2

3

333

1021103

3

2

133p n f f r r r

r r r P r

r r εσεερρεε=--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 考虑内球壳时， r= r 1

()

()

1

3

3103

03p f r r r

r r

r σεερε=-=--=

1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf

若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？

解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向

则11221211220(0)

n n f l E l E E D D E E εεσ-=⎧⎪⎨-=-==⎪⎩介质表面上 故：211221

E

E l l εεε=

+，121221

E

E l l εεε=

+

又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上，

112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0

即：11211221

f E

D l l εεσεε==+

而20f σ=

3

122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0）

∴31

121221

f f E

l l εεσσεε=-

=-+

若是漏电，并有稳定电流时，由j

E σ

=

可得

1

11

j E σ=

， 2

22

j E σ=

又1

21

2121212,()

n

n j j l l E j j j j σσ⎧+=⎪⎨⎪===⎩稳定流动

得：1212

12E j j l l σσ==+ ，即1211

1221212

21221j E E l l j E E l l σσσσσσσσ⎧==⎪+⎪⎨⎪==⎪+⎩

1231221f E D l l εσσσσ==

+上

2221221

9f E

D l l εσσσσ=-=-+下

2112

231221

f D D E l l εσεσσσσ-=-=

+中

1.14、内外半径分别a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。

（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。 （2）求f λ随时间的衰减规律。

（3）求与轴相距为r 的地方的能量功耗功率密度。

（4）求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的能减少率。 （1）证明：由电流连续性方程：0f J t

ρ∂∇⋅+=∂

根据高斯定理 f D ρ=∇⋅

∴0D

J t

∂∇⋅∇⋅+

=∂, 即：0D J t →∂∇⋅+∇⋅=∂ ∴()0D J t ∂∇⋅+=∂， ∴0D

J t

∂∴+=∂，即传导电流与位移电流严格抵消。

（2）解：由高斯定理得：2f D rdl dl πλ⋅=⎰⎰

,22f f r r D e E e r r λλππε∴== 又0D

J t

∂+

=∂，J E σ=,D E ε= 00,t E E E E e t

σε

σε∂∴+==∂