现代设计方法第二章优化设计习题

第二章 《优化设计》测试
一、单项选择题（每题1分，共20分）
1.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥，它是（ ） A.单位矩阵 B.正定矩阵 C.负定矩阵 D.不定矩阵 2.约束极值点的库恩—塔克条件为：-∇=
∇=∑F X g X
i
i q
i
()()*
*
λ1
，当约束函数是g i (X)≤0和λi >0时，则q 应
为（ ）
A.等式约束数目
B.不等式约束数目
C.起作用的等式约束数目
D.起作用的不等式约束数目
3. F （X ）为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的( )
A.凸函数
B.凹函数
C.严格凸函数
D.严格凹函数
4.在用0.618法求函数极小值的迭代运算中，a 1,b 1为搜索区间［a,b ］中的两点，函数值分别记为F 1,F 2。

已知F 2>F 1。

在下次搜索区间中，应作如下符号置换( )。

A.a →a 1, a 1→b 1, F 1→F 2 B.a 1→a, b 1→a 1, F 2→F 1 C.b →b 1, b 1→a 1, F 2→F 1 D.b 1→b, a 1→b 1, F 1→F 2
5.下列优化方法中，不需计算迭代点一阶导数和二阶导数的是（ ） A. 可行方向法 B. 复合形法 C. DFP 法 D. BFGS 法
6.n 元函数F(X)在点X 处梯度的模为( )。

A.|∇F|=
n
21x F x F x F ∂∂+⋅⋅⋅∂∂+∂∂ B.|∇F|=n 21x F
x F x F ∂∂+⋅⋅⋅∂∂+∂∂ C.|∇F|=2n 2221)x F ()x F ()x F (
∂∂+⋅⋅⋅∂∂+∂∂ D.|∇F|=2
n
2221)x F ()x F ()x F (∂∂+⋅⋅⋅∂∂+∂∂ 7.内点罚函数Φ(X,r (k))=F(X)-r (k)
1
01g X g X u u u m
()
,(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） A. r (k)趋向零，
11
g X u u m
()=∑
不趋向零 B. r (k)趋向零，1
1g X u
u m
()=∑
趋向零 C. r (k)
不趋向零，
11
g X u u m
()=∑
趋向零 D. r (k)不趋向零，11g X u
u m
()=∑
不趋向零 7.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）
A.不变的
B.任意变化的
C.逐渐变大
D.逐渐变小
8.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。

如
x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。

A.x 1 B.x 2 C.x 3 D.x 4
9.已知函数F(X)=222
1x x 2+-x 1x 2+1，则其Hessian 矩阵是( )。

A.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--2114
B.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--1214
C.⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--1412 D.⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡2114 10.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21
T ，其中A=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4221
，则该二次型是(
)的。

A.正定
B.负定
C.不定
D.半正定
11.已知函数F(X)=-122212
1x 2x x x 2x 2+-+，判断其驻点(1，1)是( )。

A.最小点
B.极小点
C.极大点
D.最大点
12.对于目标函数F(X)受约束于g u (X)≥0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ） A. Φ(X,M (k)
)=F(X)+M
(k)
{max[(),]}
,()g
X M u u m
k 01
2
=∑为递增正数序列
B.Φ(X,M (k))=F(X)+M (k)
{max[(),]},()g
X M u
u m
k 012=∑为递减正数序列
C. Φ(X,M (k))=F(X)+M (k)
{min[(),]},()g
x M u
u m
k 012=∑为递增正数序列
D. Φ(X,M (k))=F(X)+M (k)
{min[(),]},()g
x M u
u m
k 01
2=∑为递减正数序列
13.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）
A.可行方向法
B.复合形法
C.内点罚函数法
D.外点罚函数法
14.对于二次函数F(X)=1
2
X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）
A.零
B.无穷大
C.正值
D.负值
15.已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
处的梯度为（ ）
A.∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭
F X ()()000 B.∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭
F X ()()020 C.∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭
F X ()()040 D.∇=-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
F X ()()040
16.Powell 修正算法是一种（ ）
A.一维搜索方法
B.处理约束问题的优化方法
C.利用梯度的无约束优化方法
D.不利用梯度的无约束优化方法
17.下列离散优化方法中，最简便、最容易处理离散型变量的是( )。

A.凑整法 B.离散规划法 C.自适应随机搜索法 D.离散性惩罚函数法
18．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）
<F （16），则缩小后的区间为（ ） A ．［10，16］ B ．［10，13］ C ．［13，16］ D ．［16，20］
19．多元函数F （X ）在X ＊
处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hessian 矩阵（ ） A ．等于零 B ．大于零 C ．负定 D ．正定 20．目标函数F （x ）=x 2
1+x 2
2－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ）A ．1 B ．0.5 C ．0.25 D ．0.1
二、多选题（每题3分，共15分） 1.下述矩阵中，正定矩阵为（ ） A.3335⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ B.312153327--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥ C.3
445⎡⎣⎢
⎤
⎦
⎥ D.253431542⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥ E.513222327⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥ 2．迭代过程是否结束通常的判断方法有（ ）
A.设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小
B.相邻两点目标函数值之差充分小
C.目标函数的导数等于零
D.目标函数梯度充分小
E.目标函数值等于零
3．对于所有非零向量X ，若X T MX>0，则二次型矩阵M 是（ ） A.三角矩阵 B.负定矩阵 C.正定矩阵 D.非对称矩阵 E.对称矩阵 4.能处理含等式约束条件的有约束设计优化方法有( )。

A.Powell 法
B.变尺度法
C.内点罚函数法
D.外点罚函数法
E.混合罚函数法 5.下面关于梯度法的一些说法，正确的是( )。

A.只需求一阶偏导数
B.在接近极小点位置时收敛速度很快
C.在接近极小点位置时收敛速度很慢
D.梯度法开始时的步长很小，接近极小点时的步长很大
E.当目标函数的等值线为同心圆，任一点处的负梯度才是全域的最速下降方向 三、简答题（每题5分，共20分） 1.简述梯度法的原理。

2.选择优化方法一般需要考虑哪些因素?
3.什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？
4.为什么采用共轭方向进行搜索可以取得较好的效果？
四、图解题（每题5分，共10分）
1.图解优化问题：minF(X)=(x 1-6)2+(x 2-2)2 s.t. 0.5x 1+x 2≤4 3x 1+x 2≤9 x 1+x 2≥1 x 1≥0,x 2≥0 求最优点和最优值。

2.已知函数F(X)=2x 2x 2x x 212221+--+，试绘出在点X (1)=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧12；X (2)= ⎭⎬⎫⎩⎨⎧33；X (3)=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-33的梯度方向.(若梯度为零，请在试卷上相应位置说明该点梯度为零)。

五、计算题（共35分）
1. 求函数F(X)=(x 1-x 2)2+(x 2-x 3)2+f(x 3－x 1)2的Hessian 矩阵，并判别其性质。

（10分）
2. 用共轭梯度法求目标函数F(X)= 211222
1x x 2x 4x 2x --+的极小点，给定初始点X
（0）
=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧11。

请写出第一次搜索的计算过程和第二次搜索方向S (1).(10分)
3．有一边长为8cm 的正方形铁皮，在四角剪去相同的小正方形，折成一个无盖盒子，剪去小正方形的边长为多少时铁盒的容积最大。

（1）建立该问题的数学模型。

（2）设初始搜索区间为［a,b ］＝［0，3］，用0.618法计算两步。

(15分)。