011第11讲§1-3几何作图(椭圆的画法)

数学中常用几何画板绘制椭圆

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。

其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。

单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。

单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。

2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。

选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。

同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。

4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。

拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。

具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。

过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。

椭圆的课件ppt

$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定点（焦点）和一根线段（焦距）来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的关系。
通过参数方程，可以方便地研究椭圆的几何性质和运动轨迹。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴所在的直线。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心，是椭圆上任意一点关于对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆形的绘制基础，如椭圆形的车轮、椭圆形的镜子等。

运用几何画板绘制椭圆的有效方法

图 3 准线法绘制椭圆
单圆法第一种做法：打开几何画板软件，作出一个
三、同心圆法
圆并隐藏圆周上的控制点 B，该圆的半径为 2a；在圆内
同心圆法的原理是椭圆的参数方程，即椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
=1（a＞b＞0）的参数方程是
x=a y=b
cosθ cosθ
（θ
。为参数）
在几何画板中定义坐标系，并且绘制两个圆心为原
线，而这条定直线就叫做准线和椭圆准线定义，即垂直
于长轴所在直线的直线，方程为：x =± a2 。 c
具体步骤为：打开软件，定义坐标系并且将原点设
置为 A 点；用左侧工具栏中工具作出线段 CD 并做 E 点
于 CD 上；同时选中 C、E，并测量出 CE 长度，同理将 CD
长度测量出来；打开计算器并且输入 CE/CD，然后双击
YANJIU
研运用几何画板绘制椭圆的有效方法
究
嫩江县高级中学于翠玲
在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数 e，且 0<e<1 时为椭圆。椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。不仅如此，有些教师在绘制椭
26 圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段 AB 的同时在 AB 上绘制出 C 点，然后在 AB 外选取 D、E 两点，满足 DE>AB；选中 A、C 两点进行标记向量，然后通过标记向量将 D 平移，得到 D'；选中 D 和 D' 点，绘制出一个以 D 为圆心，以 D 和 D' 间距离为半径的圆并且隐藏；同理，标记 B、C 两个点为标记向量，并且作出 E 的平移点到 E' 点，构造出圆，隐藏 E' 点；运用点工具做出两个圆周交点为 F、G 两点。接下来分两种方法研究。分别选中 F、C 和 G、C 两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图 1 所示。

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔和画板，通过细线两端分别绕两个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别用圆规画出两个相交的圆，连接两个交点得到椭圆的长短轴，再绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时，椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀，节省材料，常用于石油、化工等行业的聚焦于一点，应用于望远镜、卫星天线等光学设备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常用椭圆函数形式来描述消费者在无差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

椭圆的画法

第九章椭圆的画法和性质一．椭圆的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴ a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝c a 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：图9－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

用几何画板画椭圆的六种方法

用几何画板画椭圆的六种方法椭圆是平面几何中常见的图形，具有许多特点和性质。

在绘制椭圆时，有多种方法可以使用。

下面将介绍六种常用的绘制椭圆的方法。

1. 绳和两个钉：这是最简单的方法之一。

取一根绳，将两个钉固定在纸上，钉的距离确定椭圆的长轴，绳长为椭圆的周长。

将绳套在两个钉上，再以笔紧绷绳子，沿纸面移动绳子的笔尖，即可得到一个完美的椭圆。

2. 立兰德椭圆仪：这是一种专门用于绘制椭圆的工具。

它由两个互相垂直的固定圆和一个移动圆组成。

通过调整移动圆的位置，使其切割固定圆的位置在不同角度，便可绘制出各种椭圆。

3. 画平行线法：在纸上画一条长直线，作为椭圆的长轴。

然后，在长轴上选择几个等分点，并与长轴垂直的方向上画平行线。

接下来，再在每个平行线上选择等分点，并连结相邻点，最终得到椭圆。

4. 两点距离法：选择椭圆上的两个任意点，并利用细线连接它们。

然后，取一根较长的尺，在椭圆外围固定两个点，使其到线的距离相同。

移动尺的另一段，让尺上的铅笔碰触到线，并沿着椭圆移动，最终形成一个椭圆。

5. 推拉法：选取一块矩形硬纸板或卡纸，将其弯曲成圆筒形。

两端的直径确定椭圆的长短轴。

然后，在圆筒上连接两个焦点，并用铅笔固定在纸上固定一个点，同时将纸沿着直径滑动，同时保持焦点的位置变化，最终形成一个椭圆。

6. 辅助圆法：在纸上确定椭圆的长轴和短轴的长度。

以长轴为直径，在一张纸上画一个大圆；再以短轴为直径，在同一张纸上画一个小圆。

以每个圆的切点为圆心，连结两个切点，最终形成一个完美的椭圆。

这几种方法都能够帮助我们绘制出精确的椭圆。

根据实际需求和使用条件的不同，我们可以选择适合自己的方法来画椭圆。

希望这些方法对您有所帮助！。

椭圆的画法

第九章椭圆的画法和性质一．椭圆的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴ a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝c a 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：图9－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

椭圆的标准画法

椭圆的标准画法椭圆作为一种常见的几何图形，在绘画、设计以及数学等领域发挥着重要作用。

了解如何准确地绘制椭圆是每个有着创作冲动的人都应该掌握的基本技能。

在本文中，我们将介绍椭圆的标准画法，包括基本原理和几种常用的绘制方法。

椭圆的基本原理在开始具体介绍绘制椭圆的方法之前，我们有必要先了解一下椭圆的基本原理。

椭圆是一个和圆相关的形状，它是通过一个点（称为焦点）和一条线段（称为直线段）的集合定义的。

具体来说，椭圆是到焦点的距离之和恒定的点的轨迹。

这个距离之和等于椭圆的长轴和短轴之和。

标准画法方法一：使用椭圆板椭圆板是一种专门用于绘制椭圆的工具，它可以帮助我们画出精确的椭圆形状。

使用椭圆板绘制椭圆的步骤如下：1. 准备一个椭圆板和一支铅笔；2. 将椭圆板放置在绘画纸上，并确定椭圆的中心点；3. 调整椭圆板上的固定刻度，使其符合所需的长轴和短轴长度；4. 将铅笔顶端插入椭圆板上对应的刻度孔内，然后用手指固定住铅笔头部；5. 以椭圆板的中心点为固定点，旋转椭圆板，同时利用铅笔头在纸上画出完整的椭圆。

标准画法方法二：使用两个钉子和一根绳子除了椭圆板外，我们还可以使用常见的工具来绘制椭圆。

使用两个钉子和一根绳子绘制椭圆的步骤如下：1. 准备两个钉子、一根绳子和一支铅笔；2. 将两个钉子固定在绘画纸上，使其成为一个等边三角形的两个顶点；3. 将绳子的一端绑在一个钉子上，然后用手持另一端的铅笔；4. 以绳子为轴，将铅笔拖动沿着钉子之间的连线上方的路径移动，同时保持绳子始终保持紧绷的状态；5. 重复以上步骤，直到绘制出需要的椭圆形状。

标准画法方法三：使用分割线和纵横比例此外，我们还可以利用分割线和纵横比例来绘制椭圆。

绘制椭圆的步骤如下：1. 以纸张的中心点为标志，从上方和下方画一条水平线，将纸张平均分为上下两部分；2. 再从左边和右边画一条垂直线，将纸张平均分为左右两部分；3. 选择一个适当的纵横比例，然后在第一步中画出的水平线上标记出若干等距离的刻度点；4. 用直尺连接上方两个刻度点、下方两个刻度点和水平线的两个分割点；5. 重复以上步骤，在左边和右边的分割线上刻度并连接相应的点，直到绘制出完整的椭圆形状。