2011年中考数学专题复习之一 配方法与换元法
高考中的常用数学方法配方法待定系数法换元法
高考中的常用数学方法配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32 (B )14 (C )5 (D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1 (B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴ 1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ). 二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值, ∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值, ∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x a x f-=-, ∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f . 比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a 且 解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x x x x +≥3,求k 的取值范围. 解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞]. 例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值. 解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++=]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2). 当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值. ∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*)由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313kx x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x y x y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k ,将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}. (2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4.综上讨论,x 的取值范围是(113-,4).高中数学解题思想之换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化这叫换元法。
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32(B )14(C )5(D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1(B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x ax f -=-,∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f .比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a且解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2) 这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x xx x +≥3,求k 的取值范围.解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞].例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++ =]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2).当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值.∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313k x x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x yx y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k,将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.(2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4. 综上讨论,x 的取值范围是(113-,4).。
2011中考数学真题解析汇编：直接开平方、配方法、求根公式法
2011中考数学真题解析汇编：直接开平方、配方法、求根公式法(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题 1. （2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2 B、x=0 C、x1=0，x2=2 D、x1=0，x2=�2 考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x�2）=0，即可得x=0或x�2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2�2x=0，∴x（x�2）=0，∴x=0或x�2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心． 2. （2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（） A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4 考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中． 3. （2011•柳州）方程x2�4=0的解是（） A、x=2 B、x=�2 C、x=±2 D、x=±4 考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解． 4. （2011•湘西州）小华在解一元二次方程x2�x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（） A、x=4 B、x=3 C、x=2 D、x=0 考点：解一元二次方程-因式分解法。
中考数学专题复习1 配方法与换元法
考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】：
例1： 填空题：
1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例 2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=
【闯关夺冠】
1.已知13x x +=．则221x x
+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－
b 1的值。
4. 解方程：211(
)65()11
x x +=--。
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式高中数学常用解题方法：配方法代换法与完全平方公式数学作为一门学科，常常需要我们运用不同的解题方法来解决各种问题。
在高中数学中，有一些常用的解题方法，其中包括配方法代换法与完全平方公式。
本文将介绍这两种常用的解题方法，并通过例题来展示它们的应用。
一、配方法代换法配方法代换法主要用于解决一些包含有代数表达式的方程或方程组。
其基本思想是将原方程通过代换的方式转化为一个易于解决的形式。
具体操作如下：1. 对于形如ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）的二次方程，可以采用配方法代换法。
我们可以通过配方将其转化为一个完全平方形式，进而解出方程。
例如，考虑方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过配方将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式。
具体步骤如下：(1) 将二次项系数a分解为两个因数的乘积：2 = m^2；(2) 将常数项c分解为两个因数的乘积：-5 = 2mn；(3) 根据上述两个分解式，求得m和n的值；(4) 根据转化后的形式(x + m)^2 + n = 0，解出方程。
通过以上步骤，我们可以得到方程2x^2 + 3x - 5 = 0的解。
2. 对于一些复杂的方程或方程组，我们也可以通过代换的方法进行求解。
例如，考虑方程组：{2x + 3y = 7{3x - 4y = 1我们可以通过代换的方式将其中一个变量表示为关于另一个变量的函数，再将其代入另一个方程中。
通过求解得到一个变量的解，再将其代入另一个方程中，最终求得方程组的解。
二、完全平方公式完全平方公式是解决一些二次型方程的常用方法，尤其适用于解决求最值等优化问题。
其基本思想是将二次型方程转化为平方的形式，便于解决最值问题。
具体操作如下：1. 对于形如x^2 + bx的二次型，可以通过添加一个适当的常数c，使其成为一个完全平方形式(x + m)^2。
例如，考虑二次型x^2 + 6x，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + m)^2的形式，从而求得最值。
初三中考数学总复习资料(备考大全)
2011年中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
初高中数学衔接配方法与换元法
一、配方法(一)知识要点：在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方，完全立方等，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。
配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或解方程等方面。
(二)典型例题解析例1．已知x ，y ，z 都是正数且满足x+y+z=6，xy+yz+zx=211，求：222z y x ++的值。
例2．当a ，b 为何值时关于x 的方程x 2+2（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实数根？例3．已知x 2+x+1=0求下列有理式的值：（1）x 2+x －2。
（2）x 3+x －3。
（3）x 4+x －4。
例4.化简12-+x x +12--x x .(三)基础训练题1.已知x,y 同时满足:x 2+y 2=20和x －y=4试求xy 的值.2.求满足条件5x 2+5y 2+8xy+2y －2x+2=0的实数x ，y 的值。
3．解方程：x 2+4x －16x 2+20=04.若a,b,c,d 都是正数.且满足a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd,求证:以a,b,c,d 为边的四边形是菱形.5.试确定方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3........(3)2.......(31............3333222z y x z y x z y x ）（的所有解.二、换元法(一)知识要点：数学中的“元”指的是未知数。
用新的未知数去替换原条件中的旧未知数，数字，代数式，从而是较复杂的式子结构简化，其实质是一种化繁为简、化难为易的数学转化的具体体现。
(二)典型例题解析例1.若a,b,c 都是实数,且(a －1):(b+1):(c+2)=1:2:3 求a 2+b 2+c 2的最小值.例2.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++812331y y x y x y x例3.已知一个六位数1abcde,若此数乘以3,所得的新数恰好为abcde1,求此数.例4.已知M=98760123459876504321 N=98760123469876504322,试比较M,N 的大小.(三)基础训练题1．解关于x 的方程：（x －1）（x －2）（x －3）（x －4）=242．解方程：x x x x 5252++++=25－2x3.分解因式:(xy+1)(x+1)(y+1)+xy4．设实数p=333964+- 求证：1＜p ＜2。
数学里常用的六种经典解题方法
数学里常用的六种经典解题方法一、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
二、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
三、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
四、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
第 1 页共2 页韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
五、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
六、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
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之一：配方法与换元法一、配方法与换元法的特点：把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。
有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
二、配方法与换元法的方法：配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。
”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b 时，(a-b)2=0。
利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。
如二次三项式4 x 2+6x+k 是完全平方式，试确定k 值。
这一类的问题只有一解。
而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。
如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。
这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。
三、例题精讲：热身： 填空题：1．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。
5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。
6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。
7．若x 、y 为实数，且11),32(332+-+-=-+x y x y x 则的值等于 。
【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8分析：多于三项式的多项式的分解因式，常需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式． 解答：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 = （a 2b 2+2ab+1）-（a 2-2ab+b 2）=（ab+1）2-(a-b)2=(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)。
（2）设x 2＋2x ＋4=y ，则 x 2+2x+6=y ＋2．原式=y （y ＋2）-8=y 2＋2y-8=（y ＋4）（y －2）． 把y=x 2+2x ＋4代入上式原式=（x 2＋2x +4＋4）（x 2＋2x ＋4-2）=（x 2+2x+8）（x 2＋2x+2）．【例2】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有__________．分析 : a 2+3－2a =(a －1) 2+2>0，∴①式成立．a 2+b 2－2(a －b －1)=a 2+b 2－2a +2b+2= (a －1) 2+(b+1) 2≥0，∴②式成立．22223024b a b ab a b ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当a =b=0时取得等号)，∴③式不一定成立．故填①②．【例3】已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b 1的值。
分析：利用数学的化归思想，将等式左边的多项式折项配方，（a 2－2a+1）+（4b 2+4b+1）=0，得（a-1）2+(2b+1)2=0，分别求得a=1，b= -1/2，代入代数式即可。
答案是6。
【例4】求证：不论m 、n 为任何实数，关于x 的一元二次方程mx 2＋(m ＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
分析：由一元二次方程根的判别式可知，△=b 2-4ac=(m ＋2n)2－4m·2n, 展开后配方得，△=(m －2n)2≥0，故结论正确。
【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A 到B ，甲前一半路程用速度a ，后一半路程用速度b ；乙前一半时间用速度a ，后一半时间用速度b ，问哪个先到？分析：设A 、B 两地距离为S ，甲从A 到B 所用时间为t 1，乙从A 到B 所用时间t 2。
分别用S 、a 、b 表示出t 1、t 2， t 1=(a+b)S/2ab ， t 2=2S/a+b ， t 1- t 2=〔(a+b)2-4ab 〕/2ab(a+b)，配方得，t 1- t 2=(a-b)2S/2ab(a+b),因为a 、b 均为正数，再利用一个数的平方为非负数这个结论，得t 1- t 2＞0，得结论为乙先到；当a=b 时，两人同时到。
【例6】⑴已知M 为△ABC 的边AB 上的点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM+2BM+2CM －3，则AC 2+BC 2= 。
⑵已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
分析：（1）移项得（AM 2 -2AM +1）+（BM 2 -2BM+1）+（CM 2-2CM-1）=0，得（AM-1）2+（BM-1）2+（CM-1）2=0，∴AM=BM=CM=1，故△ABC 是直角三角形，则AC 2+BC 2= AB 2=4。
(2)将等式两边同时乘以2,移项得：2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a 2-2ab+b 2）+( b 2-2bc+c 2 )+( a 2-2ac+c 2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,得 a=b=c 故△ABC 为等边三角形。
【例7】、解方程：126222=+-+xx x x解：设x 2+2x=y ，原方程为：y-6/y=1,整理得：y 2-y-6=0, 解之得y=-2或3。
当y=-2时，即x 2+2x=-2，方程无解；当y=3时，即x 2+2x=3，解得x 1=1，x 2=-3，经检验，x 1=1，x 2=-3是原方程的解。
∴原方程的解为x 1=1，x 2=-3，【例8】已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k kx k x 的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长． 解：（1）∵ AB、AC是方程023)32(22=++++-k kx k x 的两个根，∴ AB＋AC ＝2k ＋3，AB·AC＝232++k k ，又∵ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形且BC ＝5， ∴ AB 2＋AC 2＝BC 2，∴ （AB ＋AC ）2－2AB·AC＝25. 即：（2k＋3）2－2（232++k k ）=25，解之得，k＝－5或2．当k ＝－5时，方程为01272=++x x ，解得，4321-=-=x x ，（舍去）当k ＝2时，方程为01272=+-x x ，解之得，4321==x x ，,∴ 当k ＝2时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．（2）△ABC 是等腰三角形，则有①AB＝AC ，，②AB＝BC 或③AC＝ＢC 三种情况．∵ Δ＝（2k ＋3）2－4（232++k k ）＝1＞0，∴ AB≠AC，故第①种情况不成立．∴ 当②AB＝BC 或③AC＝ＢC 时，5是方程023)32(22=++++-k k x k x 的根．∴23)32(52522=++++⨯-k k k 即01272=+-k k ；∴ 43==k k ，或．当3=k 时，02092=+-x x ，∴5421==x x ，，∴等腰△ABC 的三边长为5，5，4，周长为14；当4=k 时，030112=+-x x ，∴6521==x x ，，∴等腰△ABC 的三边长为5，5，6，周长为16；∴ 当3=k 或4=k 时，△ABC 为等腰三角形，周长分别为14或16．【例9】已知二次函数y = ( k －1)x 2－2kx +k +2，（1）当k 为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k 为何值时，图象与x 轴的两交点间的距离为2 ？ 分析：（1）由二次函数性质可知，图像的顶点坐标为（b/2a ，4ac －b 2/4ac ）由题意得b/2a=0或4ac －b 2/4ac=0，即 由－2k/2 ( k －1)=0得 k=0；由【4 ( k －1)（k +2）－（－2k ）2】÷ 4 ( k－1)（k +2）=0得k=2。
（2）设图象与x 轴的两交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），则有x 1＋x 2=2k/ ( k －1) ①，x 1·x 2= k +2/ ( k －1) ②，由题意得︱x 1－x 2︱=2 ，∴（x 1－x 2）2=8，配方得（x 1＋x 2）2-4x 1x 2=8 ③，将①②代入③并解之得k=0或3/2。
【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?【解】 设利润为y 元，售价为x 元，则每天可销售100－10(x －10)件， 依题意得：y=(x －8)[100－10(x －10)] 化简得：y=－10x 2－280x －1600配方得：y=－10(x －14) 2+360∴当(x －14) 2=0时，即x=14时，y 有最大值是360．答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元． 四、闯关夺冠：1．已知x 2+y 2+4x －2y+5=0，则3x-2y -2的值是 。