数列(2)
高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系
n 3n＋1
为递
增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数学 必修5
第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
数学 必修5
第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
数学 必修5
第二章 数列
数列(2)
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
76-------54--3---2----------1----
45，，67，8，9，1，0
an n 3(1 n 7, n N )
例1 已知数列 an 的第1项是1，
以后的各项由公式 an 1 写出这个数列的前5项。
1
an1
给出，
a1 1
a2
1
1 a1
1
1 1
2
a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
a5
1
1 a4
1
3 5
8 5
例2 若a1 2,a2 4,an log2(an1 an2 )(n 3)
写出an 前4项
1. a1 5, an1 an 3. 5，8，11，14，17
an 3n+2(n 1)
2. a1 2, an1 2an 2，4，8，16，32
an 2n(n 1)
1 3. a1 1, an1 an an
1，2，5/2， 29/10，941/290
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1
3 2
,
1,
7 10
,
9 17
, 11 26
,
（2）
1，85 ，
2020版新高考复习理科数学教学案：数列含答案 (2)
6．[20xx·惠州调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中.a1＝1,2a3.a5,3a4成等差数列.则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2n－1B．2n－1－1
C．2n－1D．2n
解析：通解：设{an}的公比为q(q>0).由题意知2a5＝2a3＋3a4.∴2a3q2＝2a3＋3a3q.∴2q2＝2＋3q.∴q＝2或q＝－ (舍去).所以an＝2n－1.
■备考工具——————————————
1．求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝ ＝na1＋ .
②等比数列的前n项和公式
a．当q＝1时.Sn＝na1；
b．当q≠1时.Sn＝ ＝ .
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式.相加过程中消去中间项.只剩有限项再求和．
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关系)
(2)前n项和公式
Sn＝ 或Sn＝
7．等比数列的性质
若{an}为等比数列.则
(1){a }. .{c·an}(c≠0)都是等比数列．
(2)各项及公比都不为0.
8．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m.n.p.q∈N*).则am·an＝ap·aq.
令n＝101.则S101＋a101＝2×101－6＋ .所以S101＋(S101－S100)＝196＋ .得2S101－S100＝196＋ ②.
将①代入②得S100＝2× －196－ ＝396＋ －196－ ＝200.选B.
答Байду номын сангаас：B
数列极限(二)
无穷等比数列 {a n }的首项为 a1公比为 q试讨论 前n项和的极限情况 .
a1 0 < | q |< 1 a1 (1 − q ) lim S n = lim (a1 + a 2 + L + a n ) = lim = 1 − q n→∞ n→ ∞ n→∞ 1− q 不存在 | q |≥ 1
n→∞
求下列极限 : 例6求下列极限 (1)若 lim(1 − 2x )n 存在, 则x的取值范围。 的取值范围。
n→∞
q n ( 2)若 lim[2 − ( ) ] = 2, 则q的取值范围 . n→∞ 1− q 3n + a n 1 ( 3)若 lim n + 1 = , 求a的范围 n +1 n→∞ 3 3 +a
n→∞
n +1 ( 3) lim( − an − b ) = 0, a = ____, b = ____ n→∞ n + 1
2
5、与前 n项和有关类型 求下列极限 : 例5求下列极限 1 1 1 (1)若 lim 1＋ ) （ ＋ ＋L + n→∞ 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋3＋L＋n f (n 2 ) ( 2)已知 f (n ) = 1 + 2 + 3 + L + n, 求 lim n → ∞ [f (n )]2 n 6、 q 类型 lim
例11在半径为 r的球内作一个内接正方 体, 再在正方 体内作一个内切球 , 按前面无限在重复下去 ，求 所有的 表面积 .
• • • • • •
Hale Waihona Puke • •例12一动点由坐标原点出发 ,向左移动 1个单位到 A(1,0) 1 1 再按左、 然后向上移动 个单位到 A 2 (1, )，再按左、下、右 2 2 方向上移动， 上 L 方向上移动，每次移动 都是前一次移动长度的 一 半, 求动点 P的位置及 PO的距离
§2.2.2等差数列(二)
∴
cn 11 (n 1) 12 12n 1
又∵ a100 302 ，
b100 399 ∴ cn 12n 1 302
∴ n 25.25 ，知数列有25个共同项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 17
§2.2.2等差数列(二)
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 21
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
∵
4 n k 1, 而 n N , k N 3
∴ k 必须为3的倍数，设 k 3r (r N ), 得n 4r 1 由条件知 又∵ r N
1 3r 100 1 101 , 解得 r 2 4 1 4r 1 100
，∴
1 用递推关系an 1 (an an 2 )给出的数列 2 也是等差数列。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§2.2.2等差数列(二)
3．有几种方法可以计算公差d
(1)d an an1
2013-1-19
an a1 (3)d an am (2) d nm n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.2.2等差数列(二)
4.等差数列对称项设法： (1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,… (2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用 对称项设出这个数列，则其各项和为na．
等差数列(二)
我还有别的方法哦！
1+3+5+……+99 =50×50 =2500 2+4+6+……+88 =44×45 =1980 原式=2500-1980=520
从1开始的奇数数 列求和，前n项的 和为n×n。
从2开始的偶数数 列求和，前n项的 和为n×（n+1）。
2 老师在黑板上从1 开始连续写：1、3、5、7……写 好后，擦去其中的两个数，并且以这两个数为界限将这 些奇数分成3 段，如果前两段分别是144 和231，那么老 师擦掉的两个奇数分别是多少？
102、12
4、电影院有28排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后
一排有100个座位，这个电影院共有多少个座位？ 2016
课后作业
完成活动手册上本课练习。
因为144=12×12，可以得到第一段有12项， 被擦去的就是第13项。 第13项=1+（13-1）×2=25 所以前两段与第13项的和=144+231+25=400 因为400=20×20 所以被擦去的就是第21项，第21项=1+（21－1）×2=41 答：被擦去的两项奇数分别是25和41。 根据结论：从1开 始的奇数数列求和， 前n项的和为n×n。
1、在1949、1950、1951、1952……1999、2000 这些自然数中， 所有的偶数之和与所有的奇数之和的差是多少？ 26 2、求出200 以内所有可以整除1 1的数的和。 1881
3、若干个人围成16 圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次
减少6 人，如果一共有912 人， 那么最外圈有多少人，最内 圈有多少人？
3 在12 与 60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等 差数列。
数列 (2)
高考总复习.文科数学
变式探究 4.求和S=sin 89° 4.求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= 求和 .
答案：89/2 答案：
高考总复习.文科数学
已知数列{a 的前n项和S 满足： 1/2(n (n≥ 已知数列{an}的前n项和Sn与an满足：an,Sn,Sn－1/2(n≥2) 成等比数列， =1，求数列{a 的前n项和S 成等比数列，且a1=1，求数列{an}的前n项和Sn. 解析：由题意， =an( 解析：由题意，得Sn2=an(Sn－1/2), (n≥2), 2), ∵an=Sn－Sn－1(n≥2), ∴Sn2=(Sn－Sn－1)(Sn－1/2) ⇒ 1/2(Sn－1－Sn)=SnSn－1， 1/2) 1/2(S ∴(1/Sn)－(1/Sn－1)=2 (1/S (1/S 1/S +(n－1)2=2n－1(n≥2)， ⇒ 1/Sn=1/S1+(n－1)2=2n－1(n≥2)， ∴Sn=1/(2n－1)(n≥2). n=1/(2n－ (n≥ 1/(2n 当n=1时，该式也适合. n=1时 该式也适合. ∴Sn=1/(2n－1). n=1/(2n－ 1/(2n 点评:本题的常规方法是先求通项公式，然后求和， 点评:本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思 维，直接求出数列{an}的前n项和Sn的递推公式，是一种最佳解 直接求出数列{a 的前n项和S 的递推公式， 法.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1− ) + ( − ) + ( − ) +⋯+ ( − ) +( − ) +( − )] 2 3 2 4 3 5 n − 2 n n −1 n +1 n n + 2 1 1 1 1 3 2n + 3 = (1+ − − )= − . 2 2 n +1 n + 2 4 2(n +1)(n + 2)
2的数列公式
2的数列公式2的数列公式是指以2为公比的等比数列。
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都相等。
而以2为公比的等比数列中的每一项都是前一项的2倍。
下面将通过几个例子来说明2的数列公式的应用和性质。
考虑一个以2为公比的等比数列：2，4，8，16，32，64...... 这个数列中的每一项都是前一项的2倍。
可以看出，数列中的每一项都是2的幂次方，即第n项可以表示为2^n，其中n表示项的位置。
例如，第1项是2^1=2，第2项是2^2=4，第3项是2^3=8，以此类推。
接下来，我们来看一下2的数列公式在实际问题中的应用。
假设有一只兔子，它每个月生一对小兔子，小兔子出生后第一个月就可以生育。
假设初始时有一对兔子，第一个月产仔1对，第二个月产仔2对，第三个月产仔4对，以此类推。
我们可以用2的数列公式来表示每个月的兔子对数。
第n个月的兔子对数可以表示为2^(n-1)。
通过这个公式，我们可以计算出每个月的兔子对数，从而了解兔子数量的增长情况。
进一步地，2的数列公式还可以用来计算某个数列中的任意一项。
例如，如果我们知道一个数列的前几项，想要计算第n项的值，我们可以使用2的数列公式来求解。
假设我们知道一个数列的前三项分别是2，6，18，我们想要计算第4项的值。
根据2的数列公式，第n项可以表示为2^n。
所以第4项的值等于2^4=16。
除了上述应用，2的数列公式还在其他领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，2的数列公式常被用于计算数据存储空间的增长情况。
例如，计算机内存的容量通常以2的幂次方来表示，这样可以更方便地进行存储和管理。
此外，在金融领域，2的数列公式也可以用来计算复利的增长情况。
复利是指在定期利息计算中，将利息加到本金中，再次计算利息的一种方式。
复利的计算可以使用2的数列公式来简化。
2的数列公式是一种以2为公比的等比数列的表示方式。
它在数学、生物、计算机科学、金融等领域都有广泛的应用。
通过2的数列公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值，了解兔子数量的增长情况，计算数据存储空间的增长情况，以及计算复利的增长情况。
2.1 数列(2)
2.1数列（2）
泰兴市第一高级中学吴光亮
教学目标：
1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；
2．掌握数列通项公式的写法．
教学重点：
掌握数列通项公式的写法．
教学难点：
掌握数列通项公式的写法．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．
教学过程：
一、复习
1. 分别用列表法、图象法表示数列：
我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．
2. 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．
3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．
二、例题剖析
例1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，4，9，16，…，（2）-1，3，-5，7，…，
（3）1
3
，
4
5
，
9
7
，
16
9
，…；（4）
1
12
⨯
，
1
23
-
⨯
，
1
34
⨯
，
1
45
-
⨯
，…；
（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．。
数列2丨等差数列的项数
数列2丨等差数列的项数（1）等差数列：对于数列{a n}，若满足：a2-a1=a3-a2=a4-a3……a n-a n-1=d,则称该数列为等差数列。
其中，公差d为一常数，n为正整数。
①求和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；③中项：（首项+末项）÷2④若n、m、p、q均为正整数，若m+n=p+q时，(m＞n,p﹥q)则有：m-p=q-n,m+n+p+q=2(m+n)1.现有60根型号相同的圆钢管，把它堆放成正三角形垛，要使剩下的钢管尽可能少，则余下的钢管数是（）A.7根 B.6根 C.5根 D.4根【解析】C。
既然要尽可能小，正三角形的堆放形式是最上面是1根，接着是2 3 4……根，也就是自然数列之和不能超过60，已知1……10的数列之和是55，则余下为5根。
2.1992 是24 个连续偶数的和，问这24 个连续偶数中最大的一个是几？( ) A.84 B.106 C.108D.130【解析】B。
利用中位数。
得知：1992÷24=83.得知相邻82，84.得知最大的是106.2007年北京社招23.有10个连续奇数，第1个数等于第10个数的5/11，求第1个数？A.5B.11C.13D.15【解析】D。
两种思维方式：（1）整除思维，因第一项为第十项5/11,故而必须为5整数倍，结合选项，仅AD选项符合；若第一项为5，则第十项为11，不可能构成连续奇数。
故选择D。
（2）整除思维列方程：令第一项为5X,则第十项为11X,根据公差，两者差为18，故而6X=18，X=3，5X=15。
14.把自然数1,2,3,4,5……98,99分成三组，如果每组数的平均数刚好相等，那么此平均数为（）A.55 B.60 C.45 D.50【解析】D 。
中位数。
每组平均数和总体平均数相同，因此每组的平均数为50。
3.一次竞猜共有10道题目，答对前一道才能作答下一道，下一题的得分均比上题多2分。
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，
求 的值 ．
（ 修 订人 ： 常 国庆
・
葛文 明 ）
１ ２ ・
（ 丢 ） ． ① 当 户 ＞ １ Ｄ ｅ ，
＜ ７ ６ ， 即 ３ ｎ ２ － ５ ｎ － １ ５ ２ ＜ Ｏ ， 解 得 一 萼 ＜ ＜ ８ （ 不 符 合 题 意 ） ， 此 时 不 存 在
６ ．如 图 ， 互 不相 同 的点 Ａ ， Ａｚ ， …， Ａ ， “ ・ 和Ｂ ， Ｂ ， …， 鼠， …分 别 在角 ０ 的两条 边 上 ， 所 有 Ａ Ｂ 相 互平 行 ， 且 所 有 梯形 Ａ Ｂ Ｂ Ａ卅。 的 面积 均相 等． 设Ｏ Ａ 一ｎ ， 若ａ 一１ ， 口 ｚ 一２ ， 则ｎ 。 一 ．
一 一 ３
，
所 以左边一右边 ， 原命题 成立．
依 题 意 ， ６ ， ６ ｚ ， ｂ ａ 同 号 ， 则 去 ＋ 去 ＋ 击 ＝ 干 毒 ， 两 边 乘 以 ６ ＋ ６ ｚ ＋ ， 整 理 得 ９ — ３ ＋ （ 鲁 ＋ 鲁 ） ＋ （ 鲁 ＋ 鲁 ） ＋ （ 鲁 ＋ 鲁 ） ≥ ｓ ＋ ｚ ＋ ｚ ＋ ｚ 一 。 ， 所 以 鲁 ＋ 鲁 ＝ 鲁 ＋ 鲁 一 鲁 ＋ 鲁 一 ｚ ， 即 得 ６ ＝ ｂ ２
．
— —
任意 ∈Ｎ ， 都有 Ｓ ≤Ｓ ， 则志 一
４ ．已知 数列 ｛ 口 ） 满足 口 一２ ￣ ， ａ ｎ ＋ ｌ －
５ ・已知 数列 ｛ 口 ） 的通项公 式 为 口 一
数是 ．
（ ＥＮ ） ， 则口 ｚ 川 的值 为
．
— —
， 前 项 和是 ｓ ｎ ， 则与 ｓ ｏ ｏ 最 接 近的 整
２ ．设 ｛ 口 ） 是 由正 数 组成 的等 比数 列 ， Ｓ 为 其 ，则 Ｓ 一
级 般数 一
３ ．设 ｛ ｎ ） 为等差 数 列 ， 其 前 项 和为 Ｓ ， 已知 口 ＋ｎ ＋口 一９ ９ ， ａ ＋口 ＋口 。 一９ ３ ， 若对
２一
ａ３
＋
口３ 一 ａ ４
一＿ 兰 ＿， 则口 ， 口 ａ ３ ， ａ ４ 是否成等差数列？ 如是， 给
ａｌ— ａ４ ‘ 一 ’… ’ ’ 一 … ’’ 一 …
出证 明 ； 如 不是 ， 说 明理 由 ；
（ ３ ）根据 （ １ ） （ ２ ） 推测更 一 般 的结论 ． （ 不必证 明）
勘｝ Ｉ Ｉ Ｉ 帐
０
‘ Ｊ １
７ ．在等 差数 列 （ ａ ） 中， 首项为 ａ ， 公 差 为 ｄ， 前 ｎ项 和 为 Ｓ ， 则 下列
命题中正确的有
７ ｚ （ 一 １ ），
．
． （ 填上所有正确命题的序号）
（ 第６ 题）
① ｛ ２ 。 ｎ ） 为 等 比数 列 ； ② 若 口 。 一３ ， Ｓ 一 一７ ， 则 Ｓ １ 。 一１ ３ ； ③ Ｓ 一
口ｎ一 — —— —
８ ・ 在 等 比 数 列 ｛ ａ ｎ ） 中 ， ｏ ＜ ａ ｌ ＜ 口 一 １ ， 则 能 使 不 等 式 （ 口 一 去 ） ＋ （ 口 ｚ 一 麦 ） ＋ … ＋
（ ｎ 一 ） ≤０ 成立的 最大正整数 是 ．
二 、解答 题 （ 本 大题 共 ３小题 ， 共计 ５ ２分 ）
核 心 知 识 练 习
姓 名 得 分
勘｝
吕
列（ ２ ）
一
窜
圆
、
填 空题 （ 本 大 题 共 ８小题 ， 每 小 题 ６分 ， 共计 ４ ８分 ）
１ ． 已 知 等 差 数 列 （ ） 的 前 Ｎ Ｎ Ｎ ｓ ， 且 满 足 导 一 一 １ ， 则 数 列 ｛ ｝ 的 公 差 是
１ ．２ ． ２ ． ． ３ ．２ Ｏ ． ４ ．一 ３ ． ５ ．９ ． ６ ．５ ． ７ ．① ② ③ ． ８ ．７ ．
，
９ ．（ １ ）设 公 差 为 ， 则 左 边 一 一 ３ 右 边 一
（ ２ ）记 ａ １ 一ｎ ２ ：６ ｌ ， 口 ２ 一ｎ ３ ＝６ ２ ， 口 ３ 一口 ４ ＝ｂ ａ ．
・ １ １ ・
ｏ ・（ 本 小题 满 分 １ ７分） 已知各项 均 为整 数 的数列 ｛ 口 ） 满足 倪 。 一 一１ ， 口 ＝４ ， 前 ６项 依 次成等差数列 ， 从第 ５ 项起依次成等比数列．
．
（ １ ）求数列 ｛ 口 ｝ 的通 项公 式 ；
（ ２ ）求 出所 有 的正整 数 ， 使得 口 ＋ａ ＋ ＋ｎ ＋ 。 一
＋ 盘 ＋
．
１ ｌ ・ 本 小 题 满 分 ２ ｏ 分 ） 已 知 函 数 ， （ ｚ ） 满 足 厂 （ ｚ ＋ ） 一 ， （ ） ・ 厂 （ ） 且 － 厂 （ １ ） ＝ 吉 。
（ １ ） 当ｎ ＥＮ 时， 求 （ ） 的表达式 ； （ ２ ） 设 ‰ 一 ・ 厂（ ） ， ｎ ＥＮ ， 求证 ： 口 ｌ ＋口 ２ ＋ａ ３ ＋ …＋以 ＜２ ；
９ ．（ 本 小题 满 分 １ ５分 ） 设｛ 口 ｝ 为单 调 数列 ．
（ １ ） 若 以 ， 口 。 ， 口 。 ， 口 成 等差数 列 ， 求证：
（ １１
＋
“２ “２
＋上
ａ３ “３
一
ａ４ ａｌ
；
ａ４
（ ２ ） 若 ａ
ｌ—
ａ２
＋
＜７ ６即 ３ ｎ ２ －５ 一１ ５ ２ ＞０ ， 解 得 ＞８ （ 符合题 意） 或ｎ ＜ 一
，
符合题意 的 Ｍ； ② 当０ ＜ｐ ＜ｌ 时， 丛
（ 不符合题 意） ， 此时存在的符合题意 的 Ｍ＝８ ． 综上所述 ， 当Ｏ ＜ ＜１时 ， 存在 Ｍ ＝８ 符 合题 意．
数列（ ２ ）