第讲等差数列进阶
学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
作业为课后练习1,2,3,4 5，6 加油！
谢谢 再见
101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
部编版数学四年级第3讲.等差数列进阶
三角形 2 个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10 层三角形．
这 10 层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依 次为： 3 ，6 ，9 ，… … ，310 ．它们成等差数列，而且首项为 3 ，公差为 3 ，项数为 10 ． 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即 3 6 9 30 （3 30）10 2 33 5 165 (根) 所以，一共要放165 根火柴
第 ７ 级上 超常体系 教师版 ３
第 3 个数： 4 2 2 1 12 ， 第 4 个数： 7 3 4 1 1 2 3 ， 第 5 个数：11 4 7 4 1 1 2 3 1 1 2 3 4 ， 第 6 个数：16 5 11 5 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 ， 第 n 个数：1 1 2 3 4 5 (n 1) ． 第 101 个数为：1 1 2 3 4 5 (101 1) 11 2 3 4 5 100 5051
【分析】（1）,（2）,（3），（5）都是基本等差数列，（4）是三个等差数列的综合 备注 ：老师在此处可开始等差数列的复习：可用自然数列和奇数等差数 列来进行复习：项数、首项、 末项以及求和（包括中项定理）的计算方法，因为这两个数列应用很多，此处可跟孩子强调求和公 式：自然数列的和= n(n 1) ，从 1 开始奇数的等差数列的和= n2
=31375 10458=20917
方法二：把这个数列拆分为两个数列14 7 10 13 247 250 和 2 5 8 11 245 248 ，对它们分别求和： 原式 （1250）84 2 （2 248）83 2 1054210375=20917 ．
暑假第二讲—等差数列进阶
1.★数列2，4，6，8，10，…中，50是第⼏几个数？
2.★数列1，3，5，7，9，11，…中，第20项是多少？
3.★★1+3+5+….＋99=______
4.★★⼩小明先在⿊黑板上写了⼀一个等差数列，刚写完⼩小⾼高就冲上讲台，擦去了其中⼤大部分的数，只留下了第四个数31和第⼗十个数73。
你能算出这个等差数列的公差和⾸首项吗？
5.★★⼀一个等差数列的⾸首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？
6.★★★已知⼀一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问：
（1）这个等差数列的第1项是多少？
（2）这个等差数列前10项的和是多少？
7.★★★已知⼀一个等差数列的前5项的和为500，前10项之和为1500。
请问：这个等差数列的公差是多少？
8.★★★⼀一个等差数列的前11项的和是231，前33项的和为1782，这个等差数列的前55项的和是多少？
9.★★★★⼩小明将连续⾃自然数1、2、3、4、5......逐个相加，得到结果2014。
验算时发现漏加了⼀一个数，那么这个漏加的的数是______。
10.★★★★在⼀一次考试中，第⼀一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609。
卡莉娅发现⾃自⼰己的分数算少了，找⽼老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是⼀一个等差数列。
请问：卡莉娅正确的分数是多少？。
四年级下册数学试题-竞赛思维训练专题：第3讲.等差数列进阶(解析版 PDF)全国通用
有 78 个座位，这个影剧院共有多少个座位？
【分析】第 28 排有 78 个座位，那么第一排有 78 (28 1) 2 24 ，那么一共有座位 (24 78) 28 2 1428 个。
例5
如图所示，白色和黑色的三角形按如下顺序排列． 已知第一个图形有 1 个黑色三角形，第二个图形 有 3 个黑色三角和 1 个白色三角形，……
火车站的钟声 小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床．车站大楼的钟，每敲响 一下延时3 秒，间隔1 秒后再敲第二下．假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到 小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？
分析与解：从第一下钟声响起，到敲响第6 下共有5 个“延时”、 5 个 “间隔”，共计（3+1）×5=20 秒．当第6 下敲响后，小明要判断是否清晨6 点，他一定要等到“延时3 秒”和“间隔1 秒”都结束后而没有第7 下敲响， 才能判断出确是清晨6 点．因此，答案应是：7 ，… ，第 18 项是（ ）.
A.12 B.13 C.24 D.35
2、数列 2 ，4 ，6 ，8 ，… ，其中 256 是这个数列的第（ ）项.
A.105 B.69 C.97
D.128
3、数列 3 ，6 ，9 ，… ，18 ，这个数列共有（ ）项.
A.4 B.5 C.6
关键问题 ：确定已知量和未知量， 确定使用的关系式子. 基本题型 ：1.求项数（ n）；2.求总和（ sn）；3.求单项（a n）；4.求公差（d） .
例题思路
模块一：等差数列复习 例一：根据公式求末项、项数 例二：根据公式求和及巧算
等差数列课件ppt课件
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
学而思四年级奥数等差数列进阶(课堂PPT)
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （ห้องสมุดไป่ตู้）写出该数列的后5项。
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连 续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个 新的数列1+7+13+…+79,求和得560
16
练习5计算 2+3+7+8+12+13+17+18+…+32+33+ 37+38
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
3
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
5
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21 (3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=2700
《等差数列的性质》课件
等差数列的性质
公差定义
等差数列中，相邻两项之间的差值称为公差。
性质2：中间项等于前后两项之和的一 半
等差数列的中间项等于前ห้องสมุดไป่ตู้两项之和的一半。
性质1：差是固定值
任意两项的差是一个固定值。
性质3：前n项和公式
等差数列前n项和的公式是Sn = (n/2)(2a1 + (n 1)d)。
等差数列的应用
等差中数的求解
通过等差数列的中项公式，可以求解等差数列中任 意位置的值。
等差数列和的应用
等差数列的求和公式可以在金融领域中使用，计算 利息和投资回报等。
总结
1 等差数列是什么？
等差数列指的是每个相邻项之间的差值是恒定的数列。
2 等差数列有哪些性质？
等差数列具有固定公差、任意两项的差为固定值，中间项等于前后两项之和的一半等性 质。
3 等差数列有什么应用？
等差数列的应用包括求解等差中数和计算等差数列的前n项和，还可在金融领域中进行利 息和投资回报的计算。
《等差数列的性质》PPT 课件
欢迎来到《等差数列的性质》PPT课件！本课程将带您深入了解等差数列的基 本概念和重要性质，以及其在数学和实际生活中的应用。
什么是等差数列
等差数列是一种数学序列，其中每个相邻的项之间的差值是恒定的。 等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
学而思四年级奥数等差数列进阶PPT
第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。。。。 第n个数：1+1+2+3+4+5+…+(n-1)
第101个数为：1+1+2+3+4+5+。。。++（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、
27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89 （3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
第一讲(等差数列基础)学而思
第一讲：等差数列基础一、 等差数列的相关概念1、 判断等差数列⑴ 数列同向变化（越来越大，或越来越小）⑵ 每相邻两项之间的差都相等2、基本概念项：通项、首项、中项、末项项数（n）：就是等差数列一共有多少个数公差（d）：相邻两数之间的差二、基本公式1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项第n 项=首项+公差×（n-1）a n =a 1+d(n-1)辅助记忆：小白兔跳远：第n 个脚印也是从第一个脚印一步一步跳过去的。
问第7个脚印，那是从第1个脚印开始，连跳了6步到达的。
所以a 7= a 1+d （7-1）=2+3×6=202、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差 + 1n=（a n -a 1）÷d + 1辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，项数比公差个数多1）小兔子一共跳了多少米？23-2=21（米）小兔子一共跳了多少步？21÷3=7（步）脚印比步数多1:7+1=8（个）综合算式：n=（23-2）÷3+1=83、求和公式（1）高斯公式：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷22 5 8 11 23 …一共有几个脚印呢？ 2 5 8 11 ？（2）中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和和 = 中项×项数注：中项就是该数列的平均数注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56（2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 9×8 = 72假设出中间数是（8+10）÷2= 9（3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项） 如：一个等差数列共有5个数，和是100。
四年级下册数学试题竞赛思维训练专题：第3讲.等差数列进阶(解析版 )
例1
1、数列 1 ，3 ，5 ，7 ，… ，第 18 项是（ ）.
A.12 B.13 C.24 D.35
2、数列 2 ，4 ，6 ，8 ，… ，其中 256 是这个数列的第（ ）项.
A.105 B.69 C.97
D.128
3、数列 3 ，6 ，9 ，… ，18 ，这个数列共有（ ）项.
A.4 B.5 C.6
（5） 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层， 与第一层紧相连的三个三角形( 向上的 三角形 2 个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有 10 层三角形．
这 10 层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依 次为：3，6 ，9 ，… … ，310 ．它们成等差数列，而且首项为 3，公差为 3 ，项数为10 ． 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即 3 6 9 30 （3 30）10 2 33 5 165 (根) 所以，一共要放165 根火柴
十个图形，一共需要多少根火柴棒？
【分析】（1）根据图形规律，第七个等边三角形里白色有 1+2+3+4+5+6=21。 （2）第七个等边三角形里黑色有 1+2+3+4+5+6+7=28
（3）1 4 9 16 25 36 49=140
（4）由前面的规律发现：黑色与白色的个数差几就是第几个图形。所以此题就是问第 12 个图形里有多少个白色三角形 。即 ：1 +2+3 +4+5+ 6+7+ 8+9+ 10+11= 66。
【分析】1、项数：（99-1）÷2+1=50，和=（1+99）×50÷2=2500 2、项数：（100-2）÷2+1=50，和=（2+100）×50÷2=2550 3 、方法一 ：2550-2500 =50 方法二：分组思想 （2-1）（4-3）（6-5）（8-7） +（100-99）=50×1=50
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等差数列进阶
1. 1+2+3+……2014+2015+2014+……+3+2+1
2. 1+4+7+…+100=（）
3.已知数列4、1、8、2、12、3、16、4、…，问:这个数列中第100 个数是（）。
4.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝。
5.木材仓库堆放一批粗细均匀的圆木，最下面一层放了15 根，以后每向上堆一层就减少1 根，最上面一层放了6 根.这批圆木共有（）根。
6.刘老师开的饭馆生意兴隆，第一天赚了200 元钱，第二天赚了300 元钱，之后每天都比前一天多赚100 元，那么第11 天可以赚（）元。
7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被5 整除的数的和是（）
8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=( )。
9.6 和26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（）。
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。
甲公司承诺每年加薪1000 元，乙公司答应每半年加薪300 元。
以五年计算，王芳应聘哪个公司工作收入更高？
11.小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4 厘米，它从离地面10 厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次落脚点，那么它的第100 个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这个亭子高出地面多少厘米？
12.100 个连续的自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1 个数、第3 个数、第5 个数… 第99 个数，把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100 个连续自然数的和是多少？
13. (2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011) ÷ 2008 =
14.小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结果2012。
验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是。
15. 在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3 块巧克力组成，第二个雕塑由6 块巧克力组成，第三个雕塑由9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3 块巧克力，那么第（）个雕塑恰好由2013 个巧克力组成？
答案：
1. 解析：原式=2015×2015=4060225
2. 解析：项数：（100-1）÷3+1=34
和：（1+100）×34÷2=1717
3.解析：观察数列：4、1、8、2、12、3、16、4、…
4,8,12,16，……奇数项数列
1,2,3,4，……偶数项数列
第100 个数是偶数项数列的第50 个数，
因为偶数项数列是从1 开始的自然数列，所以是50。
4.解析：提公因数，数列中所有数字都是3 的倍数
和＝3×1 ＋3×2 ＋3×3 ＋3×4 ＋3×5 ＋3×6 ＋3×7 ＋3×8 ＋3×9 ＋3×10
＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）
＝3×55
＝165
5.解析：最上面一层放了6 根，最下面一层放了15 根，
每两层差一根，所以一共有15 - 6 +1 = 10 层，原木一共(6 +15) ⨯10 ÷ 2 =105 根。
6.解析：第11 天比第1 天多赚：（11－1）×100 ＝1000（元），
第11 天：200＋1000＝1200（元）。
7. 解析：1 ~ 200 总和：(1+ 200)⨯ 200 ÷ 2 = 20100
能被5 整除的数的和：
200
5 +10 +15 + 20 +
=(5 + 200)⨯40 ÷ 2
= 4100
所以不能被5 整除的数的和是：20100-4100=16000
8. 解析：此数列为双重数列，第1 个为1+4+7+…+43，项数为（43-1）÷3+1=15 ，
第2 个为3+6+9+…+45，项数为（45-3）÷3+1=15 ，
原式=（1+4+7+...+43）+（3+6+9+ (45)
=（1+43）×15÷2+ （3+45）×15÷2
=330+360
=690
9. 解析：在6 和26 之间插入三个数，那么共有4 个相邻差，即公差为（26-6）÷4=5 ，
所以插入的三个数是11、16、21，和为11+16+21=48
10. 解析：甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000+11000+12000+13000+14000=60000（元），
乙公司五年之内王芳得到的收入为：（5000+5300 ）+（5600+5900 ）+……+
（7400+7700）=63500（元）。
所以王芳应聘乙公司工作收入更高。
11. 解析：亭子距地面高度为：10+（100-1）×4=406 （厘米）
12. 解析：第2 个数比第1 个数大1，
第4 个数比第3 个数大1，
……
偶数位置的数的和比奇数位置的数的和大50
总和：5400+（5400+50）=10850
13. 解析：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7, 所以原式= 2008×7÷2008=7
14. 解析：2+4+6+8+…+90=2070，多了58
15. 解析：第n 个雕塑由3n 块巧克力构成，
故由2013 块巧克力构成的是第2013÷3=671 个雕塑。