江西省上饶市重点中学2016届高三数学第一次联考试题理(扫描版)

江西省上饶市重点中学2016届高三数学第一次联考试题理（扫描版）理科数学参考答案13. -10 14. 32 15.2π16. 201611[1()]32-三、解答题（17—21题，每小题12分，选作题10分，共70分） 17．解：（1）()2(cos2cos sin 2sin )2133f x x x x ππ=-++2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，故()f x 的值域为[03], …………………6分 (2) 2)(=A f ∴3π=A2222cos3a b c bc π=+-22b c bc =+-2()3b c bc =+- 43bc =- 234()14b c ≥-+=∴min 1a =…………………12分18.解：（1）芯片甲为合格品的概率约为4032841005++=，……………2分 芯片乙为合格品的概率约为4029631004++=． …………………4分 （2）随机变量X 的所有可能取值为100，50,25,-25433(100)545P X ==⨯=，411(50)545P X ==⨯=，133(25)5420P X ==⨯=，2014151)25(=⨯=-=X P所以随机变量X 的概率分布列为)(5.722012520325515053100)(元=⨯-⨯+⨯+⨯=X E ． ………………12分19．解：（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点，∴AM BM == ∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM 平面A BCM=A M ，2520…………10分BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM ………………5分（2）建立如图所示的直角坐标系，设,(0,1)λ∈，则平面AMD的一个法向量，2()ME MD DBλ=+=，设平面AME的一个法向量为，取y=1，得20,1,1x y zλλ===-，所以，2(0,1,)1mλλ=-由2cos,2m nm nm n∙< >==求得13λ=，即13DE DB=．………………………12分20．解：（1）依题意知cea==，则2289c a=，……………………2分又22b=，且222a b c=+，∴1b=，3a=，∴椭圆C的方程为2219xy+=.……4分（2）方法1，由题意知直线PD MD、的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：1y kx=-，由221,1,9y kxxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221891(,)9191k kPk k-++，…………6分用1k-去代k，得222189(,)99k kMk k--++，…………7分∴22222229191919181810919PMk kkk kkk k kk k----++==+++，………………9分∴PM：22229118()9109k k ky xk k k---=+++，…………10分即214105ky xk-=+，…………………………………………11分∴直线PM经过定点4(0,)5T．………………………………12分方法2，由题意知直线,PD MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：1y kx=-，由221,1,9y kxxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221891(,)9191k kPk k-++，……………………6分用1k -去代k ，得222189(,)99k k M k k --++，………………………7分作直线l 关于y 轴的对称直线l '，此时得到的点P '、M '关于y 轴对称，则PM 与P M ''相交于y 轴，可知定点在y 轴上，当1k =时，94(,)55P ，94(,)55M -，此时直线PM 经过y 轴上的点4(0,)5T ，………………………9分∵22229141915,181091PT k k k k k k k ---+==+ ……………………………10分 222294195,18109MT k k k k k k k ---+==-+ ……………………………………11分 ∴PT MT k k =，∴P M T 、、三点共线，即直线PM 经过点T ，故直线PM 经过定点4(0,)5T ．…………………………………12分21.解:（1）当21=a 时，()()x x x x g x f ln 22122--=-，()()()xx x x x x x x x f 122212'+-=--=--=∴，0>x()()x g x f 2-∴在2=x 处取得极小值()()2ln 2222-=-g f ，没有极大值.………4分（2）令()()()ax g x f x -=ϕ=()ax x ax ln 2--，由题得()0≥x ϕ恒成立，只需()[]0min ≥x ϕ即可.()xx ax x ax x 121122'--=--=ϕ，0>x .令()122--=x ax x p ，0,180a a >∴∆=+>，又(0)10p =-<()x p ∴有一正一负的两个实根， 设 x 是()x p =0的正实根，即()0122=--= x ax x p ，0> x()x ϕ∴在() x ,0上递减，在[)∞+ x 上递增，()[]()0min ≥=∴ x x ϕϕ，………7分又()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒=--= x x ax x ax x ax x p 212101222，()()x x x x x x x x ln 1ln 222ln 2121ln 21++--+=+--+=∴⋅ϕ，……………9分令()()x x xx q ln 1ln 222ln 21++--+=， 则 ()()()()121211121'+-+-=++--=x x x x x x x q ，0>x ， ()x q ∴在()1,0上递增，[)+∞,1上递减，()()()01=≤=∴q x q x ϕ，1=∴ x ， 又()0122=--= x ax x p ，1=∴a ，即存在实数a ,使得()()f x g ax ≥恒成立，实数a 的取值集合为{}1. ………12分 22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ，DPC ∆∴～DBA ∆，BD PD AB PC =∴又BDPDAC PC AC AB =∴=, ………5分 （2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆ADACAC AP =∴， 92=⋅=∴AD AP AC ………10分23．解：（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0.∵C 2：22)2(3y x +）（=1 ∴C 2：的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x （θ为参数）………5分（2）设P （3c os θ，2sin θ），则点P 到l 的距离为：d=5|6)60sin(4|5|6sin 2cos 32|--︒=--θθθ， ∴当sin(60°-θ)＝-1即点P （-23,1）时，此时max d =5|64|+=25 ………10分24.解：（1）1=a ，4313)(≤++-=x x x f ，即：x x -≤-113x x x -≤-≤-1131，解得：210≤≤x ，所以解集为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 ………5分 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=31,4)3(31,2)3()(x x a x x a x f ，)(x f 有最小值的充要条件为：⎩⎨⎧≤-≥+0303a a ，即：33≤≤-a ………10分。