最新高中数学大一轮复习讲义文科第二章26

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高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析(二)

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分选考部分第十二讲选考内容第一节选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ，当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ；当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4，所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4，解得－54＜x ＜－23：当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4，解得－23≤x ≤12；当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。

第二章 §2.11 函数的零点与方程的解-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.11函数的零点与方程的解课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(×)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(×)2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()A ．y ＝2xB ．y ＝(x －2)2C ．y ＝x ＋1x －3D ．y ＝ln x答案B解析对于B ，y ＝(x －2)2有唯一零点x ＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点．3．(2023·太原模拟)函数f (x )＝3x －log 2x 的零点所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析函数f (x )＝3x－log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，又f (1)＝3－log 21＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝33－log 23＝1－log 23<0，所以f (2)f (3)<0，则f (x )有唯一零点，且在区间(2,3)内．4．函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0的零点是________．答案1，－2解析根据题意，函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0，若f (x )＝0－1＝0，>02－4＝0，<0，解得x ＝1或x ＝－2，即函数的零点为1，－2.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)(2023·宣城模拟)方程ln x x －ex＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．(1,2)B ．(2，e)C ．(e,3)D ．(3,4)答案B 解析对于方程ln x x －ex＋1＝0，有x >0，可得x ＋ln x －e ＝0，令f (x )＝x ＋ln x －e ，其中x >0，因为函数y ＝x －e ，y ＝ln x 均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝1－e<0，f (2)＝2＋ln 2－e<0，f (e)＝1>0，所以f (2)f (e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f (x )的零点在区间(2，e)内，则方程ln x x －ex ＋1＝0的根所在的区间是(2，e)．(2)用二分法求方程ln x x －ex＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n <0.1，解得n ≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续；再看是否有f (a )·f (b )<0，若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．(2)函数f (x )＝log 2x ＋2x －6，函数f (x )的零点所在的区间为(n ，n ＋1)且n ∈N ，则n ＝________.答案2解析函数f (x )＝log 2x ＋2x －6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝log 22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)2－1，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点个数为()A．5B．4C．3D．2答案D解析当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6B．8C．12D．14答案C解析依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析函数f (x )＝3x |log 2x |－1的零点，即3x |log 2x |－1＝0的解，即|log 2x |的解，即y ＝|log 2x |与y 图象的交点，如图所示，从函数图象可知，y ＝|log 2x |与y 有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为________．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，所以f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，所以x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2023·安阳模拟)已知函数f (x )2＋2x ＋2，x ≤0，(x ＋1)，x >0的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是()－14，＋∞B ．(0，＋∞)－14，2D ．(0,2]答案D解析如图所示，作出函数f (x )的大致图象(实线)，平移直线y ＝k －x ，由k －x ＝x 2＋2x ＋2可得，x 2＋3x ＋2－k ＝0，Δ＝9－8＋4k ＝0，解得k ＝－14，故当k ＝－14时，直线y ＝－14－x 与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)相切；当k ＝0时，直线y ＝－x 经过点(0,0)，且与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)有2个不同的交点；当k ＝2时，直线y ＝2－x 经过点(0,2)，且与f (x )的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当k ∈(0,2]时，f (x )的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f (x )2x |，x >0，x 2－4x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为()A ．(0,4)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案A解析作出y ＝f (x )的图象(实线)，如图所示，g (x )＝f (x )－a 有4个零点，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有4个交点，所以实数a 的取值范围为(0,4)．(2)(2023·天津模拟)函数f (x )＝2a log 2x ＋a ·4x ＋3a 的取值范围是()A ．a <－12B ．a <－32C ．－32<a <－12D ．a <－34答案D解析当a ＝0时，f (x )＝3，不符合题意；当a >0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )当a <0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )因为函数f (x )所以f (1)<0，即3(4a ＋3)<0，解得a <－34.课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象均与x 轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是()答案C解析由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2．(2023·临沂模拟)函数f (x )＝ln x ＋2x －5的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由于y ＝ln x ，y ＝2x －5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f (x )＝ln x ＋2x －5在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝－3<0，f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋1>0，即f (2)f (3)<0，故f (x )＝ln x ＋2x －5在(2,3)内有唯一零点．3．(2023·重庆检测)已知函数f (x )＝x －e －x 的部分函数值如表所示，那么函数f (x )的零点的一个近似值(精确度为0.1)为()x10.50.750.6250.5625f (x )0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B ．0.57C ．0.65D ．0.7答案B解析易知f (x )在[0,1]上单调递增，由表格得f (0.5625)f (0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)内，∴根据选项可知，函数f (x )的零点的一个近似值为0.57.4．(2023·濮阳模拟)设函数f (x )＝log 3x ＋2xa 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)答案C解析令f (x )＝0得a ＝log 3x ＋2x，令h (x )＝log 3x ＋2x＝log 由复合函数单调性可知，h (x )在(1,2)上单调递减，h (2)＝log 32，h (1)＝log 33＝1，故当x ∈(1,2)时，h (x )∈(log 32,1)，要使f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则a ∈(log 32,1)．5．(2023·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道5＝2.236067…，令115<5<125，则第一次用“调日法”后得2310是5的更为精确的过剩近似值，即115<5<2310，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为()A ．五B ．四C ．三D ．二答案A解析第一次用“调日法”后得115<5<2310，不符合题意；第二次用“调日法”后得115<5<3415，不符合题意；第三次用“调日法”后得115<5<94，不符合题意；第四次用“调日法”后得209<5<94，不符合题意；第五次用“调日法”后得2913<5<94，且|2913－5|<0.01，符合题意，即用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五．6．(2024·安庆模拟)已知函数f (x )|ln x |，x >0，x e x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－|x 2－kx |恰有3个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)答案A解析由题意得，方程f (x )|x |＝|x －k |有三个不相等的实数根．而y ＝f (x )|x |＝x |，x >0，x ，x <0，分别作出函数y ＝f (x )|x |和y ＝|x －k |的图象，当k ＝1时，y ＝|x －1|；当x ≥1时，y ＝f (x )|x |＝ln x ，对其求导得y ′＝1x，所以y ′|x ＝1＝1，所以曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，如图，直线y ＝x －1与曲线y ＝ln x 在点(1,0)相切．所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是()A ．f (x )＝x 2－2x －8B ．f (x )＝32(1)2x +-C．f(x)＝2x－1－1D．f(x)＝1－ln(x＋2)答案BCD解析对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；对于B，∵f(x)＝32(1)2x+-在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－34<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确．8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是()A.1 9log32B.13log32C．3log23D．9log23答案AD解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，又由函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y＝f(x)与y＝log a(x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，又f (1)＝f (5)＝1，f (－1)＝f (3)＝f (7)＝－1，当a >1时，由图可得log a (5＋2)<1＝log a a ，解得a >7；当0<a <1时，由图可得log a (7＋2)>－1＝log a a －1，解得0<a <19.综上可得a ∈0，19(7，＋∞)，故选项A ，D 满足条件．三、填空题9．(2024·赣州模拟)用二分法求方程x 3＋x －5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．答案(1,2)解析令f (x )＝x 3＋x －5，则f (2)＝8＋2－5＝5>0，f (3)＝27＋3－5＝25>0，f (1)＝1＋1－5＝－3<0，由f (1)f (2)<0知根所在区间为(1,2)．10．(2023·南充模拟)设正实数a ，b ，c 分别满足a ·2a ＝b ·log 3b ＝c ·log 2c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案b >c >a 解析由已知可得1a ＝2a ，1b ＝log 3b ，1c＝log 2c ，作出y ＝1x，y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，则y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象与y ＝1x的图象的交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图象可得b >c >a .11．如果关于x 的方程2x ＋3x ＋4x ＝a x (a ∈N *)在区间(1,2)内有解，a 的一个取值可以为________．答案6(答案不唯一)解析因为2x＋3x＋4x＝a x在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝a x可化为－1＝0，令f(x)－1，因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，1)>0，2)<0，＋3a＋4a－1>0，＋9a2＋16a2－1<0，解得29<a<9，又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8.12．已知函数f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________．答案(2,4]∪(5，＋∞)解析作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，依题意f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ有2个零点，由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．四、解答题13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a＞2c＞2b.求证：(1)a＞0且－3＜ba＜－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，∴c＝－32a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a ＞0，则－3＜b a ＜－34；若a ＝0，则0＞－b ,0＞b ，不成立；若a ＜0，则b a ＜－3，b a ＞－34，不成立．综上，a ＞0且－3＜b a ＜－34.(2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2＝(b ＋2a )2＋2a 2＞0.当c ＞0时，f (0)＞0，f (1)＜0，∴f (x )在(0,2)内至少有一个零点；当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)＜0，f (2)＝4a ＋2b ＝a ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点；当c ＜0时，f (0)＜0，f (1)＜0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点．综上，f (x )在(0,2)内至少有一个零点．14．(2024·天水模拟)已知函数f (x )＝log 2(2＋x )－log 2(2－x )．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解(1)f (x )为奇函数，理由如下：＋x >0，－x >0，解得－2<x <2，即函数f (x )的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称．又f (－x )＝log 2(2－x )－log 2(2＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)由f (x )＝log 2(a ＋x )，得log 2(2＋x )－log 2(2－x )＝log 2(a ＋x )，所以2＋x 2－x ＝a ＋x ，所以a ＝2＋x 2－x －x ＝4－(2－x )2－x－x ＝42－x ＋(2－x )－3，故方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根可转化为方程a ＝42－x ＋(2－x )－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根，即函数y ＝a 与y ＝42－x＋(2－x )－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点．设t ＝2－x ，x ∈(－2,2)，则y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)．作出函数y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象，如图所示．当1<a <2时，函数y ＝a 与y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是(1,2)．15．(2023·南通模拟)函数f (x )＝x 2023|x |，若方程(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0只有三个解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则sin x 2＋2023x 1x 3的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(2023，＋∞)C ．(－∞，－2023)D ．(－∞，0)答案D 解析因为(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0，f (x )＝x 2023|x |，所以(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0，①当x ＝0时，方程成立；②若x ≠0，(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0可化为(x ＋sin x )x 2021|x |－a ＝0⇔(x ＋sin x )x 2021|x |＝a ，令F (x )＝(x ＋sin x )x 2021|x |，因为定义域关于原点对称，且F (－x )＝[－x ＋sin(－x )](－x )2021|－x |＝(x ＋sin x )x 2021|x |＝F (x )，所以F (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以F (x )与y ＝a 的两个交点对应的横坐标关于y 轴对称，即方程(x ＋sin x )x 2021|x |＝a 的另外两解一定一正一负，又x 1<x 2<x 3，所以x 1<0，x 2＝0，x 3>0，且x 1＝－x 3≠0，所以sin x 2＋2023x 1x 3＝－2023x 21<0.16．(2023·永州模拟)已知函数f (x )－ln (1－|x ＋1|)，－2<x <0，|ln x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝m有4个不同的根，记为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，且λx 3x 4>x 1－x 2＋32λ的取值范围是______．答案(2，＋∞)解析f(x)ln(1－|x＋1|)，－2<x<0，x|，x>0ln(x＋2)，－2<x≤－1，ln(－x)，－1<x<0，ln x，0<x≤1，x，x>1，作出函数的图象如图所示，则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4，因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4，所以x1＋2＝－x2＝x3＝1x4，所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝1x3，因为λx3x4>x1－x2＋32恒成立，所以λx23>2x3－12，所以λ>2x3－12x23＝－12x23＋2x3＝－＋2，对任意x3∈(0,1)恒成立，即λ>－＋2max，所以当x3＝12时，函数y＋2取到最大值2，所以λ>2，即λ的取值范围为(2，＋∞)．。

(江西专用)高考数学一轮复习第二章章末知识总结课件文新人教A版

(1)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;
(2)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2
成立.
注:e为自然对数的底数.
【解析】(1)f'(x)=2(x-a)ln
=
( x a) x
( x a)2 x+ x
(2xln x+x-a),
因x=e为y=f(x)的极值点,则f'(e)=0, ∴(e-a)(2e+e-a)=0,∴a=e或a=3e,
章末知识总结
知识构图
线面整合
例1
课本题目:人教A版必修1P39A组第6题
已知
函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图像,并求出函数的解析式.
【解析】∵f(x)是R上的奇函数且当x≥0时,f(x)=x(1+x). ∴设x<0,则有f(-x)=-x(1-x)=x2-x. 即f(x)=x-x2(x<0),故f(x)的解析式为
当x∈(em,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故当x=em时,f(x)有极大值,且极大值为f(em)=e-m. (2)欲使ln x-ax<0在(0,+∞)上恒成立,
只需 <a在(0,+∞)上恒成立, 等价于只需
ln x x ln x x ln x x
在(0,+∞)上的最大值小于a.
1 e
设g(x)= (x>0),易知g(x)在x=e处取得最大值 .
所以a> ,即a的取值范围为( ,+∞).
1 e 1 e
【点评】函数、导数与不等式是高考考查的重点,一般在压轴题的位置,我们在复习的过程中可以适当地加大难度,对常

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——变量间的相关关系与统计案例

第4节变量间的相关关系与统计案例考试要求 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^__，则b ^＝, a ^=y －-b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y 轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心(x －,y －). 3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.（2）样本点的中心:对于一组具有线性相关关系的数据（x 1, y 1）(x 2, y 2),…，（x n, y n ）, 其中(x －,y －)称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R 2＝.其中是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 4.独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c dc ＋d总计a ＋cb ＋d a ＋b ＋c ＋d则随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本点的中心(x －，y －).2.根据回归方程计算的y ^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.3.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( )(2)通过回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计预报变量的取值和变化趋势.( ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( ) (4)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.(易错题)(2022·兰州模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，n ∈N *，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A.－1 B.0C.12D.1答案 D解析由题设知，所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，可知这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.3.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R 2为0.98 B.模型2的相关指数R 2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，拟合效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.4.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋b e xD.y＝a＋b ln x答案 D解析由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D. 5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.答案 5%解析 K 2的观测值k ≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.6.(2022·银川模拟)某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (min)62a758189若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则a 的值为________. 答案 68解析 x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋a ＋75＋81＋895＝61＋2＋a 5，所以61＋2＋a5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.考点一相关关系的判断1.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是( ) A.利润率与人均销售额成正相关关系 B.利润率与人均销售额成负相关关系 C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系答案 A解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C 和D ；其属于正相关关系，A 正确，B 错误.2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.r 2<r 4<0<r 3<r 1B.r 4<r 2<0<r 1<r 3C.r 4<r 2<0<r 3<r 1D.r 2<r 4<0<r 1<r 3 答案 A解析由散点图知图①与图③是正相关，故r 1>0，r 3>0，图②与图④是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图①与图②的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1，故选A. 3.(2022·合肥模拟)根据如下样本数据，得到回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，则( )x 3 4 5 6 7 8 y－3.0 －2.00.5－0.52.54.0A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0答案 C解析作出散点图(图略)，由散点图可知，a ^<0，b ^>0. 感悟提升判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r |越趋近于1，相关性越强. 考点二回归分析角度1 线性回归方程及应用例1 (2021·成都诊断)某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x (单位：年)与失效费y (单位：万元)的统计数据如下表所示：使用年限x (单位：年) 1234567失效费y (单位：万元)2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.90(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(精确到0.01)(2)求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2.线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距最小二乘估计计算公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑7i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝14.00， ∑7i ＝1(y i －y －)2＝7.08，198.24≈14.10.解 (1)由题意，知x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y －＝2.90＋3.30＋3.60＋4.40＋4.80＋5.20＋5.907＝4.30，∑7i ＝1(x i －x －)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， ∴r ＝14.0028×7.08＝14.00198.24≈14.0014.10≈0.99.因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)∵b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1 （x i －x －）2＝1428＝0.5， ∴a ^＝y －－b ^x －＝4.3－0.5×4＝2.3.∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋2.3.将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.5×10＋2.3＝7.3， ∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元. 角度2 非线性回归方程及应用例2 (2022·郑州调研)人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB(1 TB ＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB ＝1 024 TB)，EB(1 EB ＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB ＝1 024 EB)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB ，2009年数据量为0.8 ZB ，2010年增长到1.2 ZB ，2011年数据量更是高达1.82 ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：表中z i ＝ln y i ，z －＝16∑6i ＝1z i . (1)根据上表数据信息判断，方程y ＝c 1·e c 2x (e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(c 2精确到0.01)；(2)有人预计2022年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据(1)中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由. 参数数据：e4.56≈95.58，e4.58≈97.51，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑n i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx －2， a ^＝y －－b ^x －.解 (1)由y ＝c 1·e c 2x 得ln y ＝c 2x ＋ln c 1，即z ＝c 2x ＋ln c 1，∴c 2＝∑6i ＝1（x i －x －）（z i －z －）∑6i ＝1（x i －x －）2＝6.7317.5≈0.38.又∵z －＝c 2x －＋ln c 1，0.38×3.5＋ln c 1＝2.85，ln c 1＝1.52. ∴ln y ＝0.38x ＋1.52，即y ＝e 0.38x ＋1.52为所求的回归方程. (2)根据(1)知回归方程为y ＝e 0.38x ＋1.52.当x ＝9时，y ＝e 0.38×9＋1.52＝e 4.94>e 4.56≈95.58，95.581.82≈52.52.据此可以判断2022年全球产生的数据量超过2011年的50倍，因此，这种判断是准确的.感悟提升回归分析问题的类型及解题方法 (1)求回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关. ②利用公式，求出回归系数b ^.③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a ^.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.训练1 下面给出了根据我国2015～2021年水果人均占有量y (单位：kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图.(2015年～2021年的年份代码x 分别为1～7)(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得∑7i ＝1y i ＝1 074，∑7i ＝1x i y i ＝4 517，求y 关于x 的线性回归方程；(精确到0.01)(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果. 附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2， a ^＝y －－b ^x －.解 (1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当x 由小变大时，y 也由小变大，所以y 与x 之间具有线性相关关系，且是正相关. (2)由题意可知，x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y －＝17∑7i ＝1y i＝1 0747， ∑7i ＝1x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140， ∴b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x － y －∑7i ＝1x 2i －7x －2＝4 517－7×4×1 0747140－7×42＝22128≈7.89，∴a ^＝y －－b ^x －＝1 0747－7.89×4≈121.87，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝7.89x ＋121.87.(3)由残差图可以看出历年数据的残差均分布在－2～2之间，且图中各点比较均匀地分布在数值0所在直线附近，带状区域很窄，说明对应的回归直线拟合效果较好.考点三独立性检验例3 (2021·武汉质检)有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展，行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯，该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1 000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到统计图如图所示.(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄； (2)根据所给的数据，完成列联表：是否佩戴头盔是否(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解 (1)该市电动自行车骑乘人员平均年龄为25×0.25＋35×0.35＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.05＝39(周岁). (2)完成2×2列联表如下：(3)K 2的观测值k ＝1 000×（60×540－60×340）2600×400×880×120＝12522≈5.682<6.635.故没有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关.感悟提升 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0. |ad －bc |越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad －bc |越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）计算K2的观测值k；(3)通过比较观测值k与临界值的大小关系来作统计推断.训练2 (2022·南宁模拟)第五代移动通信技术(5G技术)是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并根据得分划分成“不太了解”或“比较了解”两类后整理得到如下列联表：(1)补全列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对5G的了解程度与性别有关”；(2)从“不太了解”的学生中按性别分层抽取6人，再从这6人中随机选取2人参加“5G”知识讲座，求抽到的2人中恰有1名女生的概率.附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n＝a＋b＋c＋d). 临界值表：解(1)补全的列联表如下：不太了解比较了解总计男生 25 33 58 女生 5 37 42 总计3070100所以K 2的观测值k ＝100×（25×37－33×5）258×42×30×70≈11.291>10.828，故有99.9%的把握认为“学生对5G 的了解程度与性别有关”. (2)“不太了解”的男生有25人，女生有5人，按性别分层抽样从中抽取6人，则男生应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，女生应抽取1人，记为x ，再从这6人中随机抽取2人共有15种情况：xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，抽到恰有1名女生有5种情况：xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，所以所求的概率为515＝13.1.为调查中学生近视情况，测得某校在150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( ) A.回归分析 B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率答案 C解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断. 2.对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v ，有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关答案 C解析由题图(1)可知，y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关，由题图(2)可知，u 随v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与v 正相关. 3.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越接近于1，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好.正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案 D4.(2022·昆明诊断)下表是关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)的统计表：x 2 3 4 5 6 y3.44.25.15.56.8由表可得线性回归方程y ^＝0.81x ＋a ^，若规定：维修费用y 不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( ) A.7B.8C.9D.10答案 D解析由已知表格，得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4， y －＝15×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因为回归直线恒过样本点的中心(x －，y －)，所以5＝0.81×4＋a ^，解得a ^＝1.76，所以回归直线的方程为y ^＝0.81x ＋1.76，由y ≤10，得0.81x ＋1.76≤10，解得x ≤82481≈10.17，由于x ∈N *，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值为10.故选D. 5.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：附表：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参照附表，得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别无关C.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关D.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关答案 A解析 ∵K 2的观测值k ＝55×（20×20－5×10）225×30×30×25≈11.978＞10.828，所以有99.9%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关. 6.下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线：y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2的观测值k ＝6.665，则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中P (K 2≥6.635)＝0.010)，其中错误的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，残差越小，拟合效果越好，∴①正确；对于②，回归方程y ^＝3－5x 中，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，∴②错误；对于③，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)，∴③正确；对于④，在2×2列联表中，由计算得k ＝6.665，对照临界值得，有99%的把握确认这两个变量间有关系，∴④正确. 综上，其中错误的命题是②，共1个，故选B.7.已知x 和y 的散点图如图所示，在相关关系中，若用y ＝c 1e c 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21，R 22中较大的是________.答案 R 21解析由散点图知，用y ＝c 1e c 2x 拟合的效果比y ^＝b ^x ＋a ^拟合的效果要好，所以R 21>R 22，故较大者为R 21.8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2的观测值k ≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________. ①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%. 答案 ①解析 k ≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆.9.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是________(填序号).①人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%； ②人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%；③人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%； ④人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%. 答案 ②解析观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.10.(2022·河南名校联考)某学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x (单位：百人)与食堂向食材公司购买所需食材(原材料)的数量y (单位：袋)，得到如下统计表：(1)根据所给的5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)已知购买食材的费用C (单位：元)与数量y (单位：袋)的关系为C ＝⎩⎨⎧400y －20，0<y <36（y ∈N ），380y ，y ≥36（y ∈N ），投入使用的每袋食材相应的销售单价为700元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1 500人到食堂餐厅就餐，根据(1)中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L ＝销售收入－原材料费用)参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝1 343，∑5i ＝1x 2i ＝558，∑5i ＝1y 2i＝3 237. 解 (1)由所给数据可得x －＝13＋9＋8＋10＋125＝10.4，y －＝32＋23＋18＋24＋285＝25，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝1 343－5×10.4×25558－5×10.42＝2.5，又a ^＝y －－b ^x －＝25－2.5×10.4＝－1，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2.5x －1. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x ＝15时，y ＝36.5，即预计需要购买食材36.5袋. 因为C ＝⎩⎪⎨⎪⎧400y －20，0<y <36（y ∈N ），380y ，y ≥36（y ∈N ），所以当y <36时，利润L ＝700y －(400y －20)＝300y ＋20，y ∈N ，此时当y ＝35时，利润L max ＝300×35＋20＝10 520(元)；当y ≥36时，根据线性回归方程预测需要购买食材36.5袋，并且剩余的食材只能无偿退还，此时当y ＝36时，利润L ＝700×36－380×36＝11 520(元)，当y ＝37时，利润L ＝700×36.5－380×37＝11 490(元).综上，食堂应购买36袋食材，才能获得最大利润，最大利润为11 520元. 11.(2022·“四省八校”开学考试)据我国一项专题调查显示，某市高级职称的中年知识分子中竟有高达75.3%的人处于亚健康状态，更令人担忧的是85%以上的企业管理者处于慢性疲劳状态或亚健康状态，这是由他们所处的特殊工作及生活的环境和行为模式所决定的.亚健康是指非病非健康的一种临界状态.如果这种状态不能及时得到纠正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司为了了解亚健康与性别的关系，对本公司部分员工进行了不记名问卷调查，该公司处于正常工作状态的员工(包括管理人员)共有8 000人，其中男性员工有6 000人，女性员工有2 000人，从8 000人中用分层抽样的方法随机抽取了400人作为样本进行健康状况的调查.(1)求男性员工、女性员工各抽取多少人？(2)通过调查得到如图所示的统计图，其中a＝0.2，b＝0.1.根据统计图，完成下面2×2列联表，健康亚健康总计男员工女员工总计400问是否有97.5%的把握认为人处于亚健康状态与性别有关？参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：P(K≥k0)0.050.0250.0100.005k0 3.841 5.024 6.6357.879解(1)由题意知样本容量与总体的比值为4008 000＝120，∴男性员工抽取了6 000×120＝300(人)，女性员工抽取了2 000×120＝100(人).(2)由统计图可知，样本中男员工处于亚健康状态的人数为300×0.2＝60，样本中女员工处于亚健康状态的人数为100×0.1＝10，2×2列联表为健康亚健康总计男员工 240 60 300 女员工 90 10 100 总计33070400则K 2的观测值k ＝400×（240×10－60×90）2300×100×330×70≈5.195>5.024，∴有97.5%的把握认为人处于亚健康状态与性别有关.12.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高. 其中正确的为________(填序号). 答案 ①解析由散点图知，各点大致分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.13.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－12附近波动.经计算∑6i ＝1x i ＝12，∑6i ＝1y i ＝14，∑6i ＝1x 2i ＝23，则实数b 的值为________. 答案 1723解析令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －12，此时t －＝∑6i ＝1x 2i 6＝236，y －＝∑6i ＝1yi 6＝73，代入y ＝bt －12，得73＝b ×236－12，解得b ＝1723.14.近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：(1)求y 关于x 的线性回归方程(计算结果保留两位小数)；(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)依题意得，x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝8＋10＋13＋25＋245＝16，故∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47， ∑5i ＝1(x i －x －)2＝4＋1＋1＋4＝10，则b ^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1 （x i －x －）2＝4710＝4.7，a ^＝y －－b ^x －＝16－4.7×3＝1.9.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4.7x ＋1.9. (2)依题意，女性不愿意参与管理的人数为50，计算得K 2的观测值为k ＝300×（150×50－50×50）2200×100×200×100＝300×5 000×5 000200×100×200×100＝18.75>10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.。

高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪解析思维升华
【例 1】已知数列{an}是 3＋2 解由已知得，数列{an}的通项公式
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
－1，…，写出数列{an}的通项 ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪解析思维升华
【例 3】在数列{an}中，a1＝1，
当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝anSn－12.
(1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an＝Sn－Sn－1 (n≥2) 后，再同除 Sn－1·Sn 转化为S1n的等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪解析思维升华
【例 1】已知数列{an}是 3＋2
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 先写出通项，然后对分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解．
基础知识
题型分类
思想方法
∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1. (2)∵bn＝2nS＋n 1＝2n－112n＋1
＝122n1－1－2n1＋1，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪解析思维升华

最新-2021年高考数学文科一轮复习课件：第2章函数、导数及其应用22 精品

图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用
式法
基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. [提醒] ①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
答案：2
4．已知函数 f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数 a 的值是________．
解析：f(x)＝x|2x－a|＝x－2xx－2xa－，ax，>a2x≤，a2
(a>0)，作出函数图
象(图略)可得该函数的递减区间是a4，a2，所以a4a2≤ ≥24，，
8. 答案：8
解法二：函数 f(x)＝－x＋1x的导数为 f′(x)＝－1－x12，
易知 f′(x)<0，可得 f(x)在－2，－13上单调递减，所以 f(x)max＝2－12＝32.故选 A. 答案：A
悟·技法
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)求函数最值(五种常用方法)

第二章 §2.7 指数与指数函数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂：m n a＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )12.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a ·2b ＝2ab .(×)(3)指数函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(√)(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .(×)2．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x ＋b 都是指数函数，则a ＋b 等于()A ．不确定B ．0C ．1D ．2答案C解析由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.3．已知关于x 的不等式－4≥3－2x ，则该不等式的解集为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－4,1]答案A 解析不等式－4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ，由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)3(－4)3＋120.254＝________.答案5解析3(－4)3＋120.254＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：－2×2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×(2＋π)02；(2)23×331.5×612.解(1)原式＝128116⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×236427-⎛⎫⎪⎝⎭－2＝14232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2×23334⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2＋916＝94－2×916－2＋916＝94－98－2＋916＝－516.(2)原式＝11132623233(23)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133362623-+++=⨯⨯＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.12(－3)4＝3－3B ．2115113366221()(3)9(0,0)3a a b a b a a b ⎛⎫-÷=->> ⎪⎝⎭C.39＝33D ．已知x 2＋x －2＝2，则x ＋x －1＝2答案BC解析对于A ，12(－3)4＝1234＝143123=3＝33≠3－3，所以A 错误；对于B ，2115211115113366326236221()(3)93a b a b a b a b +-+⎛⎫-÷=-⋅ ⎪⎝⎭＝－9a (a >0，b >0)，所以B 正确；对于C ，391163=9=3＝33，所以C 正确；对于D ，因为(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝4，所以x ＋x －1＝±2，所以D 错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式3a ＝6b ，则下列可能成立的关系式为()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则01，则3a <3b <2b ·3b ＝6b ，故选项D 错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b 的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b0.4，c，则()A．c<b<a B．a<b<cC ．c <a <bD ．b <c <a 答案D解析a ＝1.30.6>1.30＝1，b 0.4，c ，因为指数函数y 是减函数，所以＝1，所以b <c <1，所以b <c <a .命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p ：a x <1(a >1)，q ：2x ＋1－x <2，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析∵a x <1，当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴p ：{x |x <0}．对于不等式2x ＋1<x ＋2，作出函数y ＝2x ＋1与y ＝x ＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x ＋1<x ＋2的解集为{x |－1<x <0}，∴q ：{x |－1<x <0}．又∵{x |－1<x <0}⊆{x |x <0}，∴p 是q 的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f (x )＝8x ＋a ·2xa ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2]，都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝1a ·2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即1a ·12x ＋2x xx 0，即1a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知a ＝－1，所以f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，设y ＝12x ＋2x ，则y ＝t ＋1t ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.所以实数m 的取值范围是174，＋思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )为减函数答案ABC解析因为e x >0，所以e x ＋1>0，所以函数f (x )的定义域为R ，故A 正确；f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由e x >0⇒e x ＋1>1⇒0<1e x ＋1<1⇒－2<－2e x ＋1<0⇒－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确；因为f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故C 正确；因为函数y ＝e x ＋1是增函数，所以y ＝e x ＋1>1，所以函数y ＝2e x ＋1是减函数，所以函数y ＝－2e x ＋1是增函数，故f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1是增函数，故D 不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案32或12解析当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f (2)－f (1)＝a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)；当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝12.课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A ．若a >0，则4334·a a ＝a B ．若m 8＝2，则m ＝±82C ．若a ＋a －1＝3，则1122a a-+＝±5D.4(2－π)4＝2－π答案B解析对于A ，根据分数指数幂的运算法则，可得443325334412a a aa +⋅==，当a ＝1时，2512a ＝a ；当a ≠1时，2512a≠a ，故A 错误；对于B ，m 8＝2，故m ＝±82，故B 正确；对于C ，a ＋a －1＝3，则21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝3＋2＝5，因为a >0，所以1122a a -+＝5，故C 错误；对于D ，4(2－π)4＝|2－π|＝π－2，故D 错误．2．已知函数f (x )＝a x －a (a >1)，则函数f (x )的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析y ＝a x (a >1)是增函数，经过点(0,1)，因为a >1，所以函数f (x )的图象需由函数y ＝a x (a >1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f (x )＝a x －a 的图象如图所示．故函数f (x )的图象不经过第二象限．3．已知a ＝31.2，b ＝1.20，c 0.9，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <c <bB ．c 0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a >c >b .4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上是增函数，而函数f (x )＝2x (x－a )在区间(0,1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·潍坊模拟)“关于x 的方程a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解”的一个必要不充分条件是()A ．a ≤12B ．a >1C ．a ≤12或a ≥1D ．a <12或a ≥1答案C解析a (2|x |＋1)＝2|x |，因为2|x |＋1>0，所以a ＝2|x |2|x |＋1＝1－12|x |＋1，因为2|x |≥20＝1，所以2|x |＋1≥2,0<12|x |＋1≤12，12≤1－12|x |＋1<1，要使a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解，则a <12或a ≥1，由于a <12或a ≥1不能推出a ≤12，故A 不成立；由于a <12或a ≥1不能推出a >1，故B 不成立；由于a <12或a ≥1⇒a ≤12或a ≥1，且a ≤12或a ≥1不能推出a <12或a ≥1，故C 正确；D 为充要条件，不符合要求．6．(2024·辽源模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ＋1，若f (a 2)＋f (a －2)>2，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案C解析令g (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，且g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，且是增函数，因为f (x )＝g (x )＋1，f (a 2)＋f (a －2)>2，则g (a 2)＋g (a －2)>0，即g (a 2)>－g (a －2)，又因为g (x )是奇函数，所以g (a 2)>g (2－a )，又因为g (x )是增函数，所以a 2>2－a ，解得a <－2或a >1，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a 2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0答案CD解析画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错误，C 正确；由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错误，D 正确．8．已知函数f (x )＝m －e x 1＋e x是定义域为R 的奇函数，则下列说法正确的是()A ．m ＝12B ．函数f (x )在R 上的最大值为12C ．函数f (x )是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根答案AC 解析因为函数f (x )＝m －e x 1＋e x 是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝m －e 01＋e 0＝0，解得m ＝12，此时f (x )＝12－e x 1＋e x，则f (－x )＝12－e －x 1＋e －x ＝12－11＋e x＝12－1＋e x －e x 1＋e x＝12－1＋e x 1＋e x ＝e x 1＋e x －12＝－f (x )，符合题意，故A 正确；又f (x )＝12－e x 1＋e x ＝12－e x ＋1－11＋ex ＝11＋e x －12，因为e x >0，所以e x ＋1>1，则0<11＋ex <1，所以－12<f (x )<12，即f (x )－12，B 错误；因为y ＝e x 是增函数，y ＝e x >0，且y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋e x －12是减函数，故C 正确；因为f (x )是减函数，所以y ＝f (x )与y ＝n 最多有1个交点，故f (x )－n ＝0最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根，故D 错误．三、填空题9．013623290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝________.答案81解析原式＝13131326322112(23)2⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f (x )＝________.①f (x ＋1)＝f (x )f (1)；②f ′(x )<0.答案e －x (答案不唯一)解析∵f (x ＋1)＝f (x )f (1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f ′(x )<0，∴f (x )是减函数，∴f (x )＝e －x 满足要求．11．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值3，则a 的值为________．答案1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )(x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，1，解得a ＝1.12．(2024·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案－23，解析∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时，函数取得最小值－43，∴y ∈－43，0，又∵m ≠0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.四、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max －2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.14．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －2x b ＋2x是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，求实数k 的取值范围．解(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －1b ＋1＝0，所以a ＝1，又因为f (－x )＝－f (x )，所以a －12x b ＋12x ＝－a －2x b ＋2x ，将a ＝1代入，整理得2x －1b ·2x ＋1＝2x －1b ＋2x，当x ≠0时，有b ·2x ＋1＝b ＋2x ，即(b －1)(2x －1)＝0，又因为当x ≠0时，有2x －1≠0，所以b －1＝0，所以b ＝1.经检验符合题意，所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，函数f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－(1＋2x )＋21＋2x ＝－1＋21＋2x ，因为y ＝1＋2x 为增函数，且1＋2x >0，则函数f (x )是减函数．(3)因为存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为f (k ＋t 2)<f (2t 2－4t )，又因为函数f (x )是减函数，所以k ＋t 2>2t 2－4t ，所以k >t 2－4t ，令g (t )＝t 2－4t ＝(t －2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k >g (t )min ，又因为g (t )min ＝g (2)＝－4，所以k >－4，即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．15．(2023·深圳模拟)已知αa ＝(cos α)sin α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)cos α，则()A ．b >c >aB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c 答案A 解析已知α0<cos α<sin α<1，因为y ＝(cos α)x 在(0,1)上单调递减，故c ＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a ；因为幂函数y ＝x cos α在(0,1)上单调递增，故c ＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b ，故b >c >a .16．(2023·徐州模拟)正实数m ，n 满足e 1－2m ＋2－2m ＝e n －1＋n ，则n m ＋1n的最小值为________．答案5 2解析由e1－2m＋2－2m＝e n－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝e n－1＋(n－1)，令f(x)＝e x＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此nm＋1n＝nm＋2m＋n2n＝nm＋mn＋12≥2nm·mn＋12＝52，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝23时取等号，所以当m＝n＝23时，nm＋1n取得最小值52.。

高一数学第二章完全讲义

第二章函数二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f是不同的，前者为变数，后者为常数函数的三要素：对应法则f 、定义域A、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数二、区间的概念及求定义域的方法1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定义名称符号数轴表示{x|a ≤x ≤b}闭区间[a ，b]{x|a<x<b}开区间(a ，b){x|a ≤x<b}左闭右开区间[a ，b]{x|a<x ≤b}左开右闭区间 (a ，b)这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 三、映射设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）求平方B B①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； ④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；课题：2.2函数的表示法讲解新课：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.函数值域的表示方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 2．二次函数比区间上的值域(最值)：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当ab x 2-=时，其最大值a b ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论4．换元法例．求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数例．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解课题：2.3 函数的单调性讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.间而言的.些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3．函数单调性的证明例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性证明：设21x x <则)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(22221222121>++=++xx x x x x x ,∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断） ∴3)(x x f =在R 上是增函数. 4．复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 课题：2.4 反函数讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=2、探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同课题：2.5 指数函数1、定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. 2、性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为03、常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）.注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.分指数1.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 指数函数1．指数函数的定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x 2，y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，y=x 10，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101的图象.课题 2.6对数函数新课讲解对数的定义定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数1642=⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞对数的性质积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±对数换底公式及推论1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===对数函数1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x ay =的图象关于直线x y =对称xa y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质3．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表课题2.6 幂函数新课讲解定义：一般地，我们把形如a=y x的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。

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所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)，
而 3＋log23>4，
所以 f(3＋log23)＝
1
3 log 2 3
＝18×13＝214.
2
＝ 1 (1)log2 3
82
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题型二
对数函数的图像和性质
【例 2】 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图
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题型一
对数式的运算
【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
2－x)2 等于
(D)
9
5
10
4
A.4 B.4 C. 3
D.3Leabharlann (2) 已知函数 f(x) ＝
log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0，
则
f(log312)的值是
A.5 B.3 C.－1
像大致是
()
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(2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)
上的偶函数，且在(－∞，0]上是增
函数，设 a＝f(log47)，b＝f(log1 3)， 2
c＝f(0.2－0.6)，则 a，b，c 的大小关
系是
()
A．c<a0 且 a≠1)，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，
记作 b＝logaN ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ；②logaMN＝ logaM－logaN ；
2－x)2 等于
( ) (1)由 x＝log43，得 4x＝3，
9
5
10
4
A.4 B.4 C. 3
D.3
即 2x＝ 3，2－x＝ 33，
(2) 已知函 log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0， f(log312)的值是
数则
f(x) ＝所以(2x－2－x)2＝(233)2＝43. f(f(1)) ＋
n ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)；④ logam Mn＝ mlogaM .
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对数式的运算
【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
D.3
(2) 已知函数 f(x) ＝
log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0，
则
f(log312)的值是
A.5 B.3 C.－1
f(f(1)) ＋
() D.72
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所以
f(log312)＝3
log
3
1 2
＋1
3 ＝ log3 2 ＋1＝2＋1＝3.
所以 f(f(1))＋f(log312) ＝2＋3＝5.
f(f(1)) ＋
( A) D.72
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所以
f(log312)＝3
log
3
1 2
＋1
3 ＝ log3 2 ＋1＝2＋1＝3.
所以 f(f(1))＋f(log312) ＝2＋3＝5.
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对数式的运算
【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
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【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
2－x)2 等于
()
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A.4 B.4 C. 3
D.3
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(1)利用对数的定义将 x＝log43 化成 4x＝3；
(2) 已知函数
log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0，
则
f(log312)的值是
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2－x)2 等于
(D)
9
5
10
4
A.4 B.4 C. 3
D.3
在对数运算中，要熟练掌握对
(2) 已知函数 f(x) ＝数式的定义，灵活使用对数的
log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0，
运算性质、换底公式和对数恒则 f(f(1)) ＋
等式对式子进行恒等变形，多
A.5 B.3 C.－1
f(x) ＝ (2)利用分段函数的意义先求
f(f(1)) ＋
() D.72
f(1)，再求 f(f(1))；
f(log3
1 2
)
可
利
用
对数
恒
等
式
进
行计算．
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对数式的运算
【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
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f(log312)的值是
( A ) 个对数式要尽量化成同底的
A.5 B.3
C.－1 D.72
形式．
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝12x，x≥4，
1
fx＋1，x<4，
值为___2_4____．
则 f(2＋log23)的
解析因为 2＋log23<4，
2－x)2 等于
()
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A.4 B.4 C. 3
D.3
思维启迪解析答案思维升华
(2) 已知函数 f(x) ＝
log2x，x>0， 3－x＋1，x≤0，
则
f(log312)的值是
A.5 B.3 C.－1
f(f(1)) ＋
() D.72
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
c＝f(0.2－0.6)，则 a，b，c 的大小关
系是
()
A．c<a<b
B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<b<c
基础知识
题型分类
(2)因为 f(1)＝log21＝0，
( ) 所以 f(f(1))＝f(0)＝2.
A.5 B.3
C.－1 D.72
因为 log312<0，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
对数式的运算
【例 1】 (1)若 x＝log43，则(2x－
2－x)2 等于
()
9
5
10
4
A.4 B.4 C. 3
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
对数函数的图像和性质
【例 2】 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图
像大致是
()
思维启迪解析答案思维升华
(1)结合函数的定义域、单调
性、特殊点可判断函数图像；
(2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)
上的偶函数，且在(－∞，0]上是增
函数，设 a＝f(log47)，b＝f(log1 3)， 2