2012启航数学三测试
2012年考研数学三真题与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()ft 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)2220d ()d x x y y +⎰ (B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛，则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N （0,1） (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
2012年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．设函数f(t)连续，则二次积分A． B． C． D． 正确答案：B4．已知级数条件收敛，则α的取值范围为( )．A．0＜α≤1／2B．1／2＜α≤1C．1＜α≤3／2D．3／2＜α＜2正确答案：D5．设其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A． B． C． D． 正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则P ｛X2＋Y2≤1｝＝( )．A．1／4B．1／2C．π／8D．π／4正确答案：D8．设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量服从的分布为( )．A．N(0，1)B．t(1)C．x2(1)D．F(1，1)正确答案：B填空题9．正确答案：10．正确答案：11．正确答案：12．由曲线y＝4／x和直线y＝x及y＝4x在第一象限中所围图形的面积为________．正确答案：如右图，阴影部分面积即为所求，由直线z：l将阴影分为两部分，则所求面积13．设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则｜BA*｜＝_________．正确答案：根据题意，设则由题知PA＝B，A为3阶矩阵，又｜A｜＝3，所以｜A*｜＝｜A｜2＝9．因此｜BA*｜=｜B｜｜A*｜＝｜PA｜｜A*｜＝｜P｜｜A｜｜A*｜＝－27．14．设A，B，C是随机事件，A，C互不相容，P(AB)＝1／2，P(C)＝1／2，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012考研数学三真题及答案
2012考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题是考研数学科目中的一道重要题目。
这道题目的出现考察了考生对于数学知识的掌握程度，也是对考生解决实际问题的能力的一种考察。
下面将对2012年考研数学三真题及答案进行详细的分析。
首先，让我们来看一下2012年考研数学三真题的具体内容。
这道题目是一个关于概率论和数理统计的问题。
题目要求考生根据给定的数据，计算出相关的概率和统计量。
通过这道题目，考生需要运用概率论和数理统计的知识，进行数据分析和计算。
接下来，我们来看一下这道题目的答案。
根据题目的要求，考生需要计算出一系列的概率和统计量。
通过对给定的数据进行分析，考生可以得出相应的答案。
在计算过程中，考生需要运用概率论和数理统计的相关公式和方法，进行数据的处理和计算。
在解答这道题目的过程中，考生需要注意以下几点。
首先，要仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
其次，要对给定的数据进行合理的处理和分析，找出相应的规律和关系。
然后，要运用概率论和数理统计的知识，进行计算和推导。
最后，要对计算结果进行合理的解释和说明，确保答案的准确性和可靠性。
通过解答这道题目，考生可以提高对概率论和数理统计的理解和应用能力。
同时，也可以加深对于实际问题的分析和解决能力。
这对于考生在考试中取得好成绩具有重要的意义。
除了解答这道题目，考生还可以通过其他方式来提高对概率论和数理统计的掌握程度。
可以通过阅读相关的教材和参考书籍，深入学习和理解概率论和数理统计的基本概念和方法。
可以通过做一些相关的习题和例题，加强对概率论和数理统计的实践操作能力。
可以参加一些相关的学习班和培训课程，提高对概率论和数理统计的学习效果。
总之，2012年考研数学三真题及答案是考生备考过程中的一道重要题目。
通过解答这道题目，考生可以提高对概率论和数理统计的理解和应用能力。
同时，也可以加深对于实际问题的分析和解决能力。
希望考生能够认真对待这道题目，做好相应的准备工作，取得好成绩。
2012考研数学三真题及答案解析
,
1 0
a 0 0 1
0
（Ⅰ）计算行列式 A ；
（Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
1 0 1
(21)已知
A
0 1
1 0
1 a
，二次型
f
x1,
x2 ,
x3
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a 1
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形.
(13)设 A 为 3 阶矩阵， A 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵。若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩 阵 B ,则 BA*
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1 , P(C) 1 ,则 P( AB | C)
2
3
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
0
2
0
0 0 1
(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
P X 2 Y 2 1 ( )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 8
(D) 4
(8)设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(1, 2 ) ( 0) 的简单随机样本，则统计量
4
2 2
2
（10）
dy dx
xe
(ln
x 1)
xe
1 e
【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
y f ( f (x)) 的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导
2012年考研数学三答案(完整版)
数三参考答案一、选择题二、填空题9、e； 10、4； 11、2dx dy -； 12、4ln 2； 13、27-； 14、34三、解答题 15、解：16、解：17、解：（I ）(,)=20+2xx C x y '，对x 积分得：()2(,)204xC x y xD y =++再对y 求导有，()(,)6yC x yD y y ''==+ 再对y 积分有，()262yD y y c =++所以22(,)20642x y C x y x y c =++++，又(0,0)10000C =，所以10000c = 所以22(,)2061000042xyC x y x y =++++（II ）x+y=50，把y=50-x 代入22(,)2061000042xyC x y x y =++++23()36115504x C x x =-+令23()361155004x C x x '⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，得x=24，y=50-24=26， 这时总成本最小C （24,26）=11118万元（III ）()24,26(,)32xC x y '=（万元/件） 经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。
18、证明：令()21lncos 112x xf x x x x+=+---，()212lnsin 11x x f x x xxx+'=+----()00f '= ()()()222221411cos 1111xx f x x xxx -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x xx x x x++≥+-<<-19、解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1 所以()212xxf x C e C e -=+把()212xxf x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()xf x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。
2012真题数三全
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==V V V V V V . 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L .故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--L 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L故选（A ）.(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰ (B) 2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰ (D) 22201d ()d y f x y x +⎰【答案】B【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰在本题中，这是把极坐标变换下的累次积分转换为直角坐标系的累次积分.2222202cos d ()d ()DI f r r r f x y dxdy πθθ==+⎰⎰⎰⎰，D 的极坐标表示：02πθ≤≤，2cos 2r θ≤≤，02πθ⇒≤≤，22cos r r θ≤，2r ≤现转换成D 的直角坐标表示，因222x x y ≤+，224x y +≤区域D 由221(1)x y =-+，224x y +=及0x =围成，因此2220d ()d I x f x y y =+⎰.故选（B ）.(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛，则 ( ) (A) 102α<≤(B) 112α<≤ (C) 312α<≤ (D)3 22α<< 【答案】D【考点】p 级数及其收敛性 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：p 级数11p n n ∞=∑：当1p >时收敛；当1p ≤时发散.在本题中，由11(1)n n α∞=-∑绝对收敛11121 n n nα∞∞-==⇔=∑收敛⇔112α->即32α>，1211()n n nαα-→∞:又21(1) n n n α∞-=-∑条件收敛，即21(1) n n n α∞-=-∑收敛，211n n α∞-=∑发散021α⇔<-≤，即12α≤< 综上，3 22α<<.故选（D ）.(5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=L在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选（C ）.(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤= ( )(A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π【答案】D【考点】常见二维随机变量的分布 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.方法一：由条件知(,)X Y 在区域{}(,)01,01D x y x y =<<<<上服从二维均匀分布，要计算相应概率只需利用面积之比，易求得{}2214P X Y π+≤=（14圆的面积除以正方形的面积） 故选D.方法二：由条件知(,)X Y 的联合概率密度1,01,01,(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其他 从而{}222222111(,)14D x y x y P X Y f x y dxdy dxdy S π+≤+≤+≤====⎰⎰⎰⎰.故选D.(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为 ( )(A) N （0,1） (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ） 【答案】B【考点】2χ分布；t 分布【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设随机变量(0,1)X N :，2()Y n χ:，且X 与Y独立，则随机变量T =所服从的分布称为自由度为n 的t 分布，记为()T t n :.在本题中，因为2(1,)i X N σ:，所以212(0,2)X X N σ-:(0,1)N :， 234(2,2)X X N σ+:(0,1)N :，22342(2)(1)2X X χσ+-:. 又1234,,,X X X X与2342(2)2X X σ+-也相互独立，于是(1)t :，即1234(1)|2|X X t X X -+-:. 故选B.二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=【答案】e【考点】两个重要极限 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：1lim(1)xx e x→∞+=或10lim(1)x x x e →+=在本题中，用求1∞型极限的方法.由于111(tan 1)cos sin tan 1cos sin (tan )(1tan 1)x x xx x xx x ----=+-，而44tan 11sin cos limlim()cos sin cos cos sin x x x x xx x x x xππ→→--==--因此1cos sin 4lim(tan )x xx I x e π-→== (10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==【答案】1e【考点】复合函数；复合函数求导 【难易度】★★★【详解】不必求出[()]f f x 的表达式.注意1()2f e ==，11()(ln )22x ef e x e =''==，121()(21)22x f x =''=-=于是由复合函数求导法得111[()]()()222x ex edyd f f x f fe dxdx e e ==''===⋅=(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =【答案】2dx dy -【考点】无穷小量的比较；全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）如果lim0βα=，就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=. （ii ）全微分存在的必要条件 如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必定存在，且函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分为z z dz x y x y ∂∂=+∂∂V V .在本题中，由于0x y →→=0011lim[(,)22]0lim (,)1x x y y f x y x y f x y →→→→⇒-+-=⇒=由连续性得(0,1)1f =.已知条件可改写成0x y →→=，由此可知(,)z f x y =在点(0,1)处可微，且()0,1d |2z dx dy =- (12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 【答案】4ln 2【考点】定积分的应用 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设()f x ，()g x 在[,]a b 连续，则由曲线()y f x =，()y g x =及直线x a =，()x b a b =<所围成的区域D 的面积为()()ba S f x g x dx =-⎰，其中曲线()y f x =，()y g x =([,])x ab ∈可以由有限个交点. 在本题中，曲线4y x=与y x =，4y x =分别交于点(2,2)，(1,4). 故所围成平面图形的面积为1201431(4)()4ln 224ln 222S x x dx x dx x =-+-=+-+=⎰⎰. (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
2012考研数学三真题及答案
2012考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题及答案一、选择题1、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。
因此选D。
2、答案：B解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,E,F,H表示的判断依据。
因此选B。
3、答案：C解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,H表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到D,E,F,G表示的判断依据。
因此选C。
4、答案：A解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,D表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到E,F,G,H表示的判断依据。
因此选A。
5、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。
因此选D。
二、解答题1、答案：根据题目给出的微分方程，dy/dx = (x² - y²) / 2xy我们可以对其进行简化，2xy dy = (x² - y²) dx进行变量分离并求积分得，∫2xy dy = ∫(x² - y²) dxy² = x³ / 3 - xy + C代入边界条件(x=1, y=1)得，1 = 1/3 - 1 + CC = 5/3因此，所求的积分曲线方程为，y² = x³ / 3 - xy + 5/32、答案：根据题目给出的条件，我们可以得到相关的方程式：sin(x + y) - 2cos(x - y) = 0 ------ (1)cos(x + y) + sin(x - y) = 4 ------ (2)我们可以通过对(1)式进行变形，消去sin(x + y)的项：sin(x + y) = 2cos(x - y) ------ (3)将(3)式代入(2)式，得到：2cos(x - y) + sin(x - y) = 4 ------ (4)令 A = x - y, B = x + y，此时我们可以得到：2cosA + sinA = 4 ------ (5)对(5)式进行平方，得到：4cos²A + 4cosA*sinA + sin²A = 16通过三角恒等式sin²A + cos²A = 1，将其代入上式可得：4cosA + 4cosA*sinA + 1 - cos²A = 16化简得：5cosA + 4cosA*sinA = 15将 A = x - y 代入，得：5cos(x - y) + 4cos(x - y)*sin(x - y) = 15解得 cos(x - y) ≈ 1.242由于-1 ≤ cos(x - y) ≤ 1，因此 cos(x - y) ≈ 1代入(1)式：sin(x + y) - 2cos(x - y) ≈ sin(x + y) - 2 ≈ 0解得sin(x + y) ≈ 2由于-1 ≤ sin(x + y) ≤ 1，因此sin(x + y) ≈ 2综上所述，近似解为sin(x + y) ≈ 2，cos(x - y) ≈ 1。
2012数学三真题+答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设函数)(t f 连续，则二次积分rdr r f d ⎰⎰2cos 2220)(θπθ=（ ）（A ）dy y x f y x dx x x x )(2242222022++⎰⎰-- （B ）dy y x f dx x xx )(2242222+⎰⎰--（C ）dy y x f y x dx x xx )(2242122222++⎰⎰--+ （D ）dy y x f dx x xx )(224212022+⎰⎰--+（4）已知级数∑∞=-11sin )1(i nn n α绝对收敛，∑∞=--12)1(i n nα条件收敛，则α范围为（ ）（A ）210≤<α （B ）121≤<α （C ）231≤<α （D ）223≤<α （5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间()0,1上的均匀分布，则{}221P X Y +≤（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）8π （D ）4π（8）设1234,,,X X X X 为来自总体()()21,0N σσ>的简单随机样本，则统计量12342X X XX -+-的分布（ ）（A ）()0,1N （B ）()1t （C ）()21χ （D ）()1,1F二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分. （9）()1cos sin 4lim tan x xx x π-→________。
2012年考研数学三真题与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =( )(A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛，则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N （0,1） (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
2012数学三试题及答案
2012数学三试题及答案2012年的数学三试题是一道经典的数学考题，分为多个小题。
以下是试题及答案的完整内容。
一、选择题（每小题3分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。
答案：f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 92. 若a + b = 5，a - b = 1，求a的值。
答案：将两式相加：2a = 6，因此 a = 3。
3. 若log2 x = 3，求x的值。
答案：根据对数的定义，log2 x = 3可以转化为2^3 = x，因此x = 8。
4. 若三角形ABC满足AB = BC，∠ABC = 110°，求∠ACB的度数。
答案：由三角形内角和定理可得，∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC= 180° - 110° - 35° = 35°。
二、填空题（每小题4分，共40分）1. 设正实数a和b满足a + b = 10，且ab的最小值为3，则a的值为____，b的值为____。
答案：由平均值不等式可得：(a + b)/2 ≥ √ab。
代入已知条件，10/2≥ √3，得5 ≥ √3。
由此可知，a和b的取值范围为(5 - √3, 5 + √3)。
因此，a的值为5 - √3，b的值为5 + √3。
2. 若函数f(x) = a(x - 1)^2 - 1在区间[0, 2]上单调递增，则a的取值范围为____。
答案：由题意可知，函数在区间[0, 2]上单调递增，即f'(x) > 0，其中f'(x)为f(x)的导数。
对f(x)进行求导得到f'(x) = 2a(x - 1)。
根据导数的定义，当x ∈ [0, 2]时，2a(x - 1) > 0，解得 0 < a < 1。
因此，a的取值范围为0 < a < 1。
三、解答题（共20分）1. 某商店购进了若干本图书，售价79元一本。
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2012启航考研暑期特训数学三“学习效能”
诊断测试
命题说明：
1）本套试题用于暑期课程开始之前的水平测试，用以检测春季基础阶段数学课程复习的效果。
2）试题命题风格与考察重点考研真题基本一致，难度与真题持平，重点内容重点考察。
3）本套试题由启航数学教研组命制。
一单项选择题（以下各道小题，每题仅有1个正确选项，请将答案写在答题纸上相应位置；每小题4分，满分32分）。
1）lim x→0=
A) 0 B) 1 C)2 D)不存在
2）设函数f(x)在x=0处可导，且f0=0,则lim x→0x2f x−2f(x3)
x3
=
A)-2f′(0) B)- f′(0) C) f′0D) 0
3)已知x2+e2y=4,则dy
dx
=
A) −X
e2y B) y
e y
C) x D)−x2
e2y
4)已知D为圆形区域：x2+y2≤x计算二重积分I=x2+y2dxdy=
D
A) 2
3B)4
5
C)4
9
D)3
7
5) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶非零矩阵.若A3=0，则A）E−A不可逆，E+A不可逆B）E−A不可逆，E+A可逆
2
C) E −A 可逆，E+A 可逆 D) E −A 可逆，E+A 不可逆 6）设A ，B 均为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列说法错误的是
A ）A 与
B 合同 B ） A = B
C ）rank(A)=rank(B) D) A 与B 有相同的特征值和特征向量 7）设F 1 x ,F 2(x)分别是随机变量X 1,X 2的分布函数，F x =aF 1(x)−bF 2 x ,要使F(x)是分布函数，则以下结果可能正确的是 A) a=3
5
, b=−2
5 B) a=−2
5 , b=3
5
C)a=2
3
, b=1
3
D) a=−2
3
,b =−2
3
8) 某射击运动员进行射击训练，每次射击若打中靶心则停止射击，若未打中靶心则继续射击。
已知各次射击的结果是相互独立的，且每次射击的概率是0.8，则该运动员平均射击次数为 A ）1 B ）1.25 C ）2 D ）5
二 填空题（请将以下各小题的答案写在答题纸上相应位置；每小题4分，满分24分）
9）设f x =lim t →0x(1+3t)x t
,则f ′ x =___
10)设函数f(x)= x 2+1, x ≤c
2
x
, x ≥c
在(−∞,+∞)内连续，则c=___ 11)设f(u,v)是二元可微函数，z=f(y x ,x y
),则x
∂z
∂x
−y ∂z
∂y
=____
12)幂级数 3n −(−1)n n 2
∞
n=1
x n 的收敛半径为____
13)若已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则 A −1+E =___
3
14)设随机变量X的概率密度为1
k(1+x2)
，随机变量Y=3X，则Y的概率密度为____
三）解答题（请将以下各道题目的解答过程及结果写在答题卡上相应位置；本部分满分94分）
15)求极限lim x→01+2sinx−(x+1)
xln(1+x)
16)计算不定积分
x
x
dx
17)根据a取值的不同，确定方程lnx=ax a>0实根的个数
18）设u=yf x
y +xg(y
x
),求x∂2u
∂x2
+y∂2u
∂x∂y
19)已知D区域为由：y=0,x=0,x=−2,y=2,以及x2+ y2=2y所围成的区域。
计算二重积分xdxdy
D
20)设A=121
23a+2
1a−2
,b=
1
3
,x=
x1
x2
x3
i)若齐次方程组Ax=0只有零解，求a的取值范围。
Ii）若线性方程组Ax=b无解，求a.
21）矩阵A为三阶实对称矩阵，A+E=3.已知向量α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T是线性方程组Ax=0的解. i)求矩阵A的特征值和特征向量
ii）求实对称矩阵A
4
22）已知随机变量X的概率密度为f X(x)=1
2
,−1<x<0
1
4
,0<x<2
0,其它
，令
Y=X2.
i) 求随机变量Y的概率密度f Y(y)
ii)求随机变量Y的期望E(Y)和方差D(Y)
23)设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=1,y<x,0<x<1
0,其它
i)求Y的边缘概率密度f Y(y)
ii)随机变量X,Y是否相互独立？请说明理由
5
2012启航暑期特训学习效能诊断测试答题卡（数学三）
姓名_______ 报考院校专业_________ __联系电话______________ 电子邮箱____ _________ 一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
9.________ 10.________ 11._________
12.________ 13.________14._________
三.解答题（本大题共6小题，满分94分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）
15、(本题10分)
6
16、(本题11分)
17、(本题10分)
18、(本题10分)
7
19、(本题11分)
20、(本题10分)
21、（本题11分）
8
22、（本题11分）
23、（本题10分）。