一元二次方程导学案
2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案
第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)初三数学备课组备课时间：上课时间：课型：任课班级：主备人：导学案：一元二次方程研究目标：1.理解方程是数学模型，能够将实际问题转化为一元二次方程；2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
研究重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
研究过程：活动一：知识链接（5分钟）1.下列方程中是一元二次方程的是：1) 2x+3x=9，(2) (x+1)(x-1)=0，(3) 2y^2=0，(4) 2x+3/x-1=0。
5) 3m=2，(6) 2x^2+3y-5=0.2.把方程(2y-1)(2y+1)=1 化为一般形式为：ax^2+bx+c=0；其二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c。
3.若(m-3)x^n-2+3nx+3=0 是关于x的一元二次方程，则m=？n=？4.下面哪些数是方程x^2-x-6=0 的根？-4，-3，-2，-1，1，2，3，4.活动二：自主交流探究新知（25分钟）1.自学教材P17-19，回答以下问题：1) 一元二次方程的定义：只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2) 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax^2+bx+c=0，其中a≠0，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
注意：方程ax^2+bx+c=0 只有当a≠0 时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0 时就是一元一次方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
活动五：拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）2.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
1.当a不等于0时，关于x的方程a(x^2+x)=3x^2-(x+1)是一元二次方程。
2.一元二次方程的解是方程中使等号左右两边值相等的未知数的值。
一元二次方程(导学案)
21.1一元二次方程(1)学习目标：1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般式，确定各项系数;2.灵活应用一元二次方程的概念解决有关问题;3.理解一元二次方程的解的概念，并能解决相关问题 .学习重点：一元二次方程的相关概念及应用．学习难点：一元二次方程的相关概念及应用．【回顾旧知】问题：什么是一元一次方程？练习：1.下列方程是一元一次方程的有 .(填序号)(1)123-=+x x ； (2) x y x 25-=+； (3)0542=--x x ； (4)123=+x ； (5)()为常数m mx 02=+； (6)322=+y x . 2.若()031=++m x m 是一元一次方程,则m= .【探究新知】一．一元二次方程的定义和一般形式定义： . 一般形式： .【注】：例1：判断下列方程是不是一元二次方程，如果不是，请说明理由.（1）12-=x ； （2）01=+xy ； （3）3212=+x x ； （4）()1232-=+x x x x ； （5）()21x x x =+； （6）()为常数m x mx 012=++.【注意】： .练习：1.若关于x 的方程2232x x mx =+是一元二次方程，则m .2.若关于x 的方程()04222=-+--x x m m 是一元二次方程，则m = .例2：把方程()()12323=-+y y 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.练习: 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项.（1）()0122=--x x ； （2）()()()1313322-+=+x x x变式训练：已知一元二次方程()()01142=++-+c x b x 化成一般形式为02342=++x x ， 若a,b,c 是直角三角形的三边长，试求a 的值.二．一元二次方程的解（根）定义: . 例3: 若关于x 的一元二次方程()045222=-+++m x x m 有一个根为0=x ，求m 的值.练习：1.方程01242=-+x x 的根为 ( )A. -2B. 2或 -6C. 6D. -2或62.若()0≠=c c x 是关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的根，则=+b c . 例4：若m 是方程012=-+x x 的根，(1)=--m m 222 ;(2)=-m m 1 ; (3)求2017223++m m 的值.练习：已知a 是方程0120182=+-x x 的一个根，求12018201722++-a a a 的值.【总结归纳】本节课主要学习了哪些内容？你有什么收获？还有哪些困惑？【当堂检测】1．已知方程：①;0322=-x ②;1112=-x ③;0131212=+-y y ④;022=++c y ay ⑤;5)3)(1(2+=-+x x x ⑥.02=-x x 其中是一元二次方程的有 （只需填序号）．2．若方程2243x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .3．方程x x 212=-化成一般形式为 ， 二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 ；4．已知关于x 的方程01322=+-kx x 有一个根为2，则k 的值是 ．5．若a 是方程0152=+-x x 的一个根，求221aa +的值.。
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 导学案 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
21.2 降次——解一元二次方程(1) 导学案
21.2 降次——解一元二次方程（第1课时）学习目标1. 能根据平方根的意义解形如x 2=p 及ax 2+p=0的一元二次方程2. 能运用开平方法解形如(mx +n)2=P 的方程3.体会“降次”、“整体”的数学思想教学过程一、情境引入问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1：本题的等量关系是什么？思考2：设正方体的棱长为xdm ，请列出方程并化简.思考3：你能求出方程的解？理由是什么？思考4：问题答案是什么？二、探索新知1.下列各数是否有平方根，如果有请求出该数的平方根？1， 9， 3， 0， -42.你能根据平方根的意义求出下列方程的解？思考：方程x 2=P （P 为常数）的解有几种情况利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法.三、课堂练习x 2=1 x 2=9 x 2=3 x 2=0 x 2=−4四、变式练习思考：上面解方程过程中体现了那些思想方法？归纳：直接开平方法有几个关键步骤？五、拓展练习六、课堂小结通过本节课学习你收获那些知识？体会到什么思想方法？你还有那些体验？七、课后作业见精准作业单 (1) x 2=7；(2) x 2+2009=0.变式1：2x 2=1 (2x)2=1 变式2：变式3：(x −1)2=9 变式4：(2x −1)2=9 变式5：3(2x −1)2=9 1. 若x 2-2xy +y 2=4，则x -y 的值为( ) 2. A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不能确定 2．若实数a ，b 满足(a 2＋b 2－3)2＝25，则a 2＋b 2的值为( ) 3．A ．8 B ．8或－2 C ．－2 D ．283．若代数式2x 2＋3与2x 2－4的值互为相反数，则x = .。
一元二次方程导学案
第23章一元二次方程的概念导学案【教学目标】了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念； 应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．【重难点】1． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【学法指导】小组交流，合作探究，班级展示。
【学习过程】一、学案自学：我一定能行！复习引入1.自学课本，用笔在书上记下疑惑摘要。
2.自我检测（要求：独立思考，尝试解决，记下疑惑，生成问题）学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈， 那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x 尺， 那么， 这个门的宽为_______ 尺， 根据题意， 得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、质疑探究，合作交流学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3） 都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x） （ 5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、拓展延伸，超越自我例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 ≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．四、自悟自得，反思提升本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．五、附：【当堂检测题】六、课后反思【当堂检测题】一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5 x =0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？。
九年级数学导学案-一元二次方程
九年级数学导学案——一元二次方程§2.1.1一元二次方程(一) 导学案【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。
3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
【学习重难点】重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。
【知识链接】1.什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？【问题导学】自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1.情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少？解：设____________________, 列方程得：_________________你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？2.阅读课本P32，思考下列问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？3.课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=0【合作探究】1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为__________m ，宽为___________m ，根据题意，可得方程_____________。
化成一般形式得_______________。
2）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
一元二次方程导学案
《《一元二次方程》（1）》导学案
导学案序号：课型：总课时：分课时：主备人：审核人：
《《一元二次方程》（2）》导学案
导学案序号：课型：总课时：分课时：主备人：审核人：
《《用直接开平方法解一元二次方程》》导学案导学案序号：课型：总课时：分课时：主备人：审核人：
《《用配方法解一元二次方程》》导学案
导学案序号：课型：总课时：分课时：主备人：审核人：
的方法，叫做配方法。
，把化为来解。
、方程二次项系数不是时，可让方程的，将方程的二次项系数化
、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
；
《《用公式法解一元二次方程》》导学案
导学案序号：课型：总课时：分课时：主备人：审核人：。
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（1课时） 一元二次方程学习目标：理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
难点：准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：一、自学课本18页走问题1和问题2二、探究新知1、根据题意列出方程：（1）、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ （2）、一块面积是150cm 2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述两个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义三、展示反馈：1、判断下列方程是否为一元二次方程。
（6）ax 2＋bx ＋c ＝02、（1）、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
（2）、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
例题 : 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x巩固练习:教材第19页练习 四、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 五、达标测评：A 组1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( )(3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-xx ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4B 组：1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
六、拓展提高:1、已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。
问 （1）当k 为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当k 为何值时，方程为一元一次方程？七、小结与作业（2课时） 一元二次方程的解法学习目标：初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；难点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
导学流程：自主教材20页：试一试 解下列方程，并说明你所用的方法 （1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得 x =____ ______________＝0，必有 x －1＝0，或______＝0, 得x 1＝___，x 2＝_____.精讲点拨：(1)这种方法叫做直接开平方法. (2)这种方法叫做因式分解法. 合作交流（1） 方程x 2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2） 方程x 2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 课堂练习 反馈调控1.试用两种方法解方程x 2－900＝0.(1)直接开平方法 (2) 因式分解法2.解下列方程：直接开平方法（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.解（1）移项，得x 2＝2. (2) 移项，得_________. 直接开平方，得2±=x . 方程两边都除以16，得______ 所以原方程的解是 直接开平方，得x ＝___.21－=x ，22=x . 所以原方程的解是 x 1＝___，x 2＝___. 3.解下列方程：因式分解法（1）3x 2＋2x =0； （2）x 2＝3x .解（1）方程左边分解因式，得________ （2）原方程即_________=0. 方程左边分解因式，得________＝0. 方程左边分解因式，得_________＝0. 所以 ______，或_________ 所以 ______，或_________ 原方的解是x 1＝___，x 2＝______ 原方程的解是x 1＝___，x 2＝______总结归纳：用直接开平方法解一元二次方程步骤是：（1）（2）；用因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）（2）；巩固提高解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.分析：两个方程都可以转化为（）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，（2）原方程可以变形为________________________，有________________________.所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________.课堂小结今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？达标测评(A组)1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）x2－2x＝0；（5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.(7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.(B组)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？3、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。
小结与作业：（3课时）一元二次方程的解法学习目标：初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法和因式分解法解形如（）2＝a (a≥0)；难点：整体意识在解方程主中的培养和应用导学流程：用直接开平方法解一元二次方程步骤是：（1）（2）；用因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）（2）；试一试解下列方程，并说明你所用的方法（1）x2＝10；（2）x2－25＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ______________＝0，例题1：解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.分析：两个方程都可以转化为（）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：本题还有其他解法吗？例题2：解下列方程：十字相乘法分解因式（1）x2－2x- 15 ＝0；（2）x2-7x+12＝0；总结归纳：1、整体意识在解方程主中的应用2、十字相乘法分解因式的要点达标测评一、解下列方程：1、（x-2）2－9＝02、（x＋2）2－16＝03、（1-3x）2＝14、（2x＋3）2－25＝05、（x-1）2－18＝06、（x-3）2－12＝0二、解下列方程：（1）2x+2x-3=0 (2) 2x-5x+6=0 （3）2x+2x-8=0 (4) 2x-5x-14=0 （5）2x-5x-6=0 （6）2x+8x-9=0小结与作业：（3课时）配方法学习目标：掌握用配方法解一元二次方程； 重点：配方的过程。
自主学习自学教科书例4，完成填空。
精讲点拨上面，我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；（3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；从这些练习中你发现了配常数有什么特点?(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 合作交流用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0.解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋__2＝7＋___， 即 （______）2＝____. 所以 x －3＝____.原方程的解是 x 1＝_____，x 2＝_____. （2）移项，得x 2＋3x ＝－1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（ ）2＝－1＋____， 即 _____________________ 所以 ___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________ 总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？ （1）把常数项 移到等号右边 ；（2） 两边都加上一次项系数的一半的平方；（3） 左边配成完全平方后，用直接开平方法解方程 。
深入探究用配方法解下列方程：（1）032=2x3+x-121x（2）042=--x这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同组讨论如何解决这个问题？课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？达标测评（A）用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3）2x2-x=6（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).（5）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2.拓展提高已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？（4课时）公式法学习目标：会用公式法解简单系数的一元二次方程；重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 难点：推导求根公式的过程。
导学流程：用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 用配方法解方程3x 2-6x-8=0;推导公式用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0.移项，得 x 2＋abx ＝________， 配方，得 x 2＋ab x ＋______＝______－ac ,即 (____________) 2＝___________因为 a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得 _____________________________.所以 x ＝_______________________ 即 x ＝_________________________由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式：精讲点拨的值，直接求得方程的解，合作交流b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？ 展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。