常微分方程边值问题与不动点定论文

目录引言 (1)1预备知识 (2)定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解） (2)引理1.1.1 (2)定义1.2（凸集的概念) (3)定义1.3锥的定义 (3)定义1.4（全连续算子的概念） (3)1.5 （常微分边值问题的定义） (4)定义1.6混合单调算子得定义） (4)2 常微分方程边值问题正解得存在性 (5)2.1 奇异Sturm-Liouville常微分边值问题的正解存在在 (5)子 (8)2.2 一类二阶边值问题的存在性 (9)3一类混合单调算子应用 (11)3.1一类混合单调算子的存在唯一性?........................ 错误!未定义书签。

3.2 求常微分边值问题的例题 (13)结束语 (15)参考文献 (15)致 (16)常微分方程边值问题与不动点定（数学与统计学院 11级数学与应用数学2班）指导教师：攀峰引言从历史上看在有了微积分这个概念以后，紧接着出现了常微分方程。

发展初期是属于“求通解”得时代，当人们从初期的热潮中结束要从维尔证明了卡帝方程中是一定不会存在一般性的初等解的时候开始的，并且柯西紧接着又提出了初值问题，常微分方程开始从重视“求通解”转向重视“求定解”的历史时代。

大学我们都学习了常微分方程这门学科，如果要研究它的定解问题，我们首先就会知道是常微分方程的初值问题。

然而，在科学技术、生产实际问题中，我们还是提出了另一类定解问题-边值问题。

对于常微分方程边值问题，伟大的科学家最早在解决二阶线性微分方程时，提出了分离变量法。

[]1.在牛顿时期，科学家们已经提出过常微分的边值问题，牛顿也对常微分边值问题进行过研究，并且在1666年10月牛顿已经在这个领域取得了很大的成就，但是由于种种原因当时并没有整理成论文，所以没有及时出版。

但在1687年他终于把在常微分方程上研究的成果发表了，虽然不是在数学著作中，却是他的一本力学著作中（《自然哲学的数学原理》）。

在微积分刚创立时期，雅克.伯努利来自瑞士的科学家提出了远著文明的问题-悬链线问题，紧着的地二年著名数学家莱布尼兹就给出了正确的解答，通过对绳子上个点受力分析，建立了以下方程这个方程满足的定解条件是y（a）=α；y(b)=β.这是一个典型的常微分方程的边值问题。

从这开始，常微分边值问题已经是科学家研究微分方程是不可或缺的工具，我就简单列举几个例子：（比如种族的生态系统；梁的非线性震动）等。

对于怎么研究它，从上世纪七十年代开始，科学家们已经经常用非线性泛函分析学中许多方法来研究，其中著名的有不动点定理等。

在非线性泛函分析的推动下，和人们实际生活中的问题推动下，常微分方程的边值问题得到了突飞猛进的发展因为常微分边值问题与实际生活联系太过紧密，至今它还是非常值得我们研究的。

本文主要首先介绍常微分的边值问题的定义，以及利用几类不动点定理求常微分边值是否存在且唯一。

以及常微分边值问题在实际生活中的几个应用。

1预备知识定义1.1（奇异Sturm-Liouville 边值问题的正解）如果函数u 满足边值问题（1,1,1）011(()'())'()(,)0,01()(0)lim ()'()0,(1)lim ()'()0,t t p t u t g t F t u t p t u p t u t u p t u t λαβγϑ→→⎧+=⎪⎪-+=⎪⎨⎪⎪+-=⎪⎩p p （1,1,1） 并且),),1,0(()(')(1+∈R C t u t p 在[]1,0上u ≤0并且[])),1,0((),1,0(1+∈+R C R C u I ,我们这是就称函数u 上边值问题（1,1,1）的正解推广文献（5）中的引理：引理1.1.1在实Banach 空间E 中找他的一个锥，锥是K ，E 中的一个有界开集是Ω，T:K K →Ω⋂-是一个全连续算子。

如果有：（1）10≤u π且对所有的0φΩ∂⋂∈K x 时有ux Tx ≠，（2）0inf φTx K x Ω∂⋂∈则肯定有i(K K T ,,Ω⋂)=0定义1.2（凸集的概念)给出两个常值r 和a ，并且a 与r 的关系是r ＞a,并且都大于0的，L ＞0的，如果两个连续的非负凸的泛函数[)∞+，：和0βα。

我们定义一个凸集 {}{}{}a x L x r x P x a L P L x r x P x L P L x r x P x L P ≥≤∈=≤≤∈=∈=-)(,)(,)(),;,,,(,)(,)(),,,(,)(,)(),,,(γβαγβγεβαβγαβαβγαπππ定义1.3锥的定义Banach 空间E ，并且E 里面有一个非空的闭集，如果P 可以（1）P 中的两个元素x 与y ，一个c ≥0，d ≥0.一定满足c 乘以x+d 乘以y 是属于P 的。

（2）如果x 属于P,x 不等于e ，那么p x ∈--就叫做E 中的一个锥是P定义1.4（全连续算子的概念）假若函数u(t)满足下面的一些条件 （1）[]0)1(',0)0()3(,10,0)('),(,()('')2(),1,0(1,0)()1(2===+⋂∈u u t t u t u t f t u C C t u ππ那么，u （t)是边值问题（2.1.1)与（2.1.2）的一个解，假如函数u （t ）不紧是解，但t 大于0小于1时，u （t ）也是大于0的，那么u （t ）还是一个正解；如果有如下的推理))r ,(b ,;r ,(3x b x )b ,;r ,(2x ,,;1x 3x 2x 1x T dx b r x ,)()2(),,;,;,(x ,0)(),;,;,()1(1122221122--22L P L P L P L r P T L P b Tx H b L d p b x b L d p x H ，；），；和，）（，；），（并且有，，最少有三个不动点则）（）和，；，；，（在任何对一切的βαγβαγγβαβααγβαγγβαγγβα-----⋃∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈∈∈≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈φφφφ).r ,(x ;)(,)()3(1111L P L Tx r Tx H ，；对所有的βαβα-∈ππ 那么),;,(),;,(:2222L r P L r P T βαβα--→是一个全连续算子1.5 （常微分边值问题的定义）给定边界条件求解常微分的解得问题，也就是说，如果常微分方程为Y （x,y,y ',...y )(n ）=0,在区间I 上的点1α,2α,…,K α及值y （i α），y ’（i α），…，)1(-n y （i α）（这里面的i 是从1到k 的并且k 是大于一的），并且这里给定了一些条件，然后让我们求方程在I 这个区间上面满足这些条件的解得问题，这些条件就是我们说的边界条件，这些满足条件的i α以及相对应的y （i α），y ’（i α）…，1-n y （i α）叫做这个常微分方程的边值或者是边界值。

并且当k=2时并且1α、2α是这个区间I 的两端点时，这里就是两点边值问题了。

定义1.6混合单调算子得定义）假如A(x ，y ）在x 上不是递减的，在y 上不是递增的，这里我们假设是E D D A E D →⨯⊂:,,假如我们用式子表示上面关系为（如果x1≤x2）和y2≤y1，那么A(x2,y2)≥A(x1，y1），这时这里面的A 就是混合单调算子[]6得含义，假如D x ∈*并且**),(*x x x A =我们就说A 得不动点为*x ，同样，假如（*,*y x ）D D ⨯⊂并且有***),(x y x A =还有反过来***),(y x y A =我们就说),(**y x 是A 的不动点对。

推广：引理一 我们给出一个拓扑线性空间，命令它是E ，从E 中给定一个锥，它是P ，那么E 的半序 就由P 导入我们给出A:E P P h h →⨯,如果两个实数a 与b ，其中a 小于b 大于等于0的，给定的θφh .那么我们就能得出两个等价条件，它们分别是：(1)有一个实值函数)(),,(1)(),,(t f v u t w t g v u t w φφ和这里的u 与v 是属于n P ，),(b a l ∈∀，这些条件能够让),(),,())(,)((v u A v u t w v t g u t f A ≥（2）在于（1）相同的条件时，也存在一个实值函数),,(1)(1),,(1)(1v u t t f v u t t tg ηηππ--和，能够让[]),,(),,(1)(,)((v u A v u t t u t g u t f A η+≥当然我们知道这里面的f 与g 都是),0(),(∞→b a 的。

2 常微分方程边值问题正解得存在性各种各样的非线性常微分方程问题越来越引起人们的注意，论文借助各种不动点定理证明三类非线性微分方程的边值问题正解的存在且唯一性。

2.1 奇异常微分边值问题的正解存在在考虑如下形式的奇异Liouville Sturm -微分方程边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-=+→→+,0)(')(lim )1(,0)(')(lim )0(,10,0),()())'(')(()(110t u t p u t u t p u t u t F t g t u t p t p t t ϑγβαλππ（1.1.1） 的正解存在性，这里面[][)[)+∞→+∞⨯≥=+,0,01,0:,0,,,,0,0F ϑγβαλαϑαγβγφφ上是一定连续的，并且在当t=0或t=1处是奇异的。

在各种应用科学中，以及我们的实际生活中都会出现边值问题（1.1.1）的，所以（1.1.1）的正解存在性非常重要的（参考[]117-）。

本节中假设F （t ）没有任何单调性，考虑最一般的常微分方程以及它满足最一般的边值条件，更简单的是在这里我们允许在t=0或t=1时p （t ）与g （t ）是奇异的。

假设：（H1）存在两个值a 与b 并且a 与b 都是大于0小与1的使得当+∞+∞∈⎰ππ101)(0)),,0(),1,0((t p dt C p 时+∞⎰ππdt t p b a )(0， （H2）[)+∞+∞∈⎰ππdt t g t p t t G C t g )()(),(0),,0)1,0(()(10并且[][)[)),0,,01,0(),(+∞+∞⨯∈C u t F引理2.1.1 如果我们假设的两个条件（H1）（H2）一定成立，那么T 就是全连续算子是在K 到K 上的证明：第一步：根据Lebesgue 控制收敛定理的相关容，我们能够得到 )))(,()()()),0((()))(,()()())1,((()()'(01ds s u s F s g s p s B ds s u s F s g s p s B t Tu t t ⎰⎰+-+=αβλργγϑλρα 第二步：如果[][)),01,0(),(+∞⨯∈C u t F 并且[]1,0)(C t g ∈则就能说明T:K →K 是一个紧算子。