第五章弯曲应力知识讲解
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学第五章 弯曲应力-正式
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
工程力学5第五章弯曲应力 ppt课件
M
dM Iz
S
* z
dF ddx
dM dx = FS
FS
S
* z
Izd
S
* z
b( h 2
h1 2
)[ h1 2
1 2
(h 2
h1 2
)]
d
(
h1 2
y)[ y
1 2
(
h1 2
y)]
1 h2 [b(
h12
)
d ( h12
y2 )]
2 44
2PPT课件
z
280
PPT课件
60
y
4.13MPa 4.34MPa
38
例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁
中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单
元体上的应力，并写出应力的表达式。
q
1
A
l /4
2
4 h /4
3
B
l
l /4
h
z τmax
bτ
PPT课件
39
解：(1)求支座反力:
q
3 FA 4 ql
腹板
δ d
yz
FS——横截面上剪力。
y
翼缘
矩形截面的两个假定同样适用。
PPT课件
24
δ
h h1
y
δ
FN1
b
dF z
dx
dF FN 2 FN1
FN2
式中：FN1
dA M
A*
Iz
A*
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
第五章弯曲应力解析
•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假 定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值 小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用. •平截面假定一般不适用于曲梁.
§5-2 纯弯曲时的正应力
同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、 物理关系和静力学关系三方面考虑.
M σdA
FS τdA
当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素， 切应力则是次要因素.
➢二、弯曲分类
梁AC、BD段的横截面上既有剪 A 力又有弯矩，称为剪切弯曲.
aP
C P
Pa
D
B
CD段梁的横截面上只有弯矩 而无剪力，称为纯弯曲.
+
A
C
D −B
此处仅研究纯弯曲时梁横截面 上正应力与弯矩的关系.
FN=0
M
FN
AdA
A
E
ydA
E
A
ydA
0
zM
Ox
y
σdA
y
因 E 0 故 ydA 0
A
由中值定理知
A ydA yC .A S z
—横截面图形对z 轴的静矩.
故 yC .A 0 yC 0 —横截面图形形心坐标.
即横截面形心在z轴上，故中性轴必通过横截面形心.
My=0
M
M y
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 惯性矩计算 §5-4 剪切弯曲时的正应力 §5-5 弯曲切应力 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 纯弯曲
➢一、梁弯曲时横截面上的应力分布
一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时 有弯矩和剪力两个内力.弯矩由分布于横截面上的 法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组 成，故横截面上同时存在正应力和切应力.
弯曲应力CL专业知识
大正应力。
A
C 5kN
φ60
B
φ40
3kN E
400
1000
200
M
+
FRA=41/14(kN) FRB=71/14(kN)
-
X
M图
弯曲内力（横力弯曲时旳正应力）
解：1.C截面
max2.BMW右cc侧
1.17 106
603
32
55.3MPa
max
MB WB
0.9 106
603(1 ( 40)4 )
(+) (b)
C
z
形心
(-)
解：
Fb/2 作梁旳弯矩图（图c），最大副弯矩在
20
20
截面B上，最大正弯矩在截面C上，其值
y
分别为：
MB
Fb 2
,
MC Fb 4
弯曲内力（横力弯曲时旳正应力）
由横截面旳尺寸可见，中性轴到上下边沿旳距离分别为：
y2 86mm, y1 134mm
经分析可知，不论是对截面C还是对截面B而言，该梁旳强度
46.2MPa 60MPa
弯曲内力（横力弯曲时旳正应力）
M(kN.m) 2.5 B
C
4 y1
y1
x y2
80
2 0
120
20
y2
y1=52mm
C截面 B截面
Cl
MC y2 IZ
2.5103(120 20 52)103 763(102 )4
28.8MPa
30MPa
弯曲内力（横力弯曲时旳正应力） M(kN.m) 2.5
弯曲内力（纯弯曲）
第五章 弯 曲 应 力
§5.1 纯 弯 曲
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
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第五章弯曲应力第五章弯曲应力内容提要一、梁的正应力I、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
U、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
川、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为1 M xx El z式中：x为变形后中性层的曲率半径，M x为弯矩，El z为梁的弯曲刚度示梁弯曲变形的程度。
W、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为MyI(5-1) (5-1)式表(5-2)t ,max ，使t,max 和c,max 同时达到其许用应力c ,max正应力的大小与该点到中性轴 z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据 梁的变形情况判断是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为My max（5-3）max1 zW z 丄（5-4）y maxW z 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等， W z 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1）在线弹性范围内 p ，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2） 纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式 为近似公式，当梁的跨高比-5时，误差 2%。
hV 、梁的正应力强度条件拉、压强度相等的等截面梁式中， 为料的许用正应力。
当梁内t,max c,max ，且材料的tc时， t,maxt ?切、提高梁正应力强度的措施1） 设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
可使梁的最大正应力降低, 从而提高梁的承载能力。
2） 对于t c 的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使M maxmaxW z(5-5)强度条件应为c,max3）采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近 许用应力。
二、梁的切应力梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设， 再根据微段的平衡条件导出切应力公式。
横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规 律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
I 、矩形截面梁线部分微段的平衡条件，得F s S zX bj的横向线以下（或以上）的部分面积bJ y 对中性轴z 的静面矩，其值为[| \M dM xM"煬 初 x .d> 丄 y「yT h b假设切应力的方向平行于剪力F s ，其大小沿宽度 b 均匀分布（图b ）,由图a 中带阴影(5-6)式中，F s 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度,I zbh 3 12，S ；为横截面上距中性轴为y(a)maxs；y2，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化, h2处, y 0（中性轴处）时, max，其值为3 F s max2 bh3 Fs2 A(5-7)U、工字形截面梁1.腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段（图5-2b ）的平衡条件，得F s S X "dlT式中，F s 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，I z 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩, S ；为距中性轴z 为y 的横向线以下（或以上）的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩 1 1 h S ：丄b h-d - y 2，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布（图5-2，d ），222在腹板和翼缘交界处min ，在中性轴处max ，其值为式中，S z,max 为中性轴以下（或以上）的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min 时，S ：为 下（或上）翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。
型钢时l z ；S z,max 为型钢表中的l x ；S x腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约 95%~97%2. 翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度 均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得(5-8)maxdI(5-9)F s S xI z(5-10)式中，为翼缘的厚度，F s和I z的意义和(5-8)式相同，S：为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，S；h，0 --，可见i沿翼缘宽度2 2 2 2按线性规律变化(图5-2，d)。
3. 切应力流根据剪力F s的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设F s的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。
根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。
川、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力U对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为 (5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。
W 、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴 处，其方向与剪力F s 平行，其值为max(5-11)式中，A 4d2。
图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处, 其方向与剪力 F s 平行，其值为FzmaxmaxCC y(a)y(d)maxF s max2（5-12）A式中，A 2 R o 。
V 、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力 F max 所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即 max所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为式中，S z,max 为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积； b 为横截面在中性轴处的宽度,l z 为横截面对中性轴电惯性矩。
梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起 控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条 件。
三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心力沿形心主轴），或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行（横向力平行于形心主轴），荷 载和梁的挠曲线位于同一平面内（图5-5a ）或荷载的作用面和挠曲面平行（图5-5b ）。
梁产生 平面弯曲。
当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲（图5-5c ）U 、开口薄壁截面的弯曲中心 AmaxF Ss,max乙bl(5-13)I 、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对 称轴时，只要荷载作用在梁 的形心主惯性平面xy 内（横向1.弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力 （剪力）的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用 A 表示。
当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转 变形。
若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。
2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置图5-6a,b 中，弯心A 和形心C 重合；图5-6c 中，弯心A 位于对称轴z 上；图5-6d,e中，弯心A 位于两狭长矩形中心线的交点处。
3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料 的性能无关。
例5-1 一铸铁梁如图a 所示，已知材料拉伸时的强度极限为 b.t150MPa ，压缩时的强度极限为b .c 630MPa 。
试求梁的安全因数。
解：梁的弯矩图如图b 所示。
以横截面的下底边为参考轴，形心 C 的y 坐标y 1为b 2h 2e -------4l z1010160(c)y}(b ) 图5 6bA*Cy(c) (e)20C1图JJL40Z53.3146.7边缘，由于M BY 2M C Y 1，所以最大拉应发生B 截面的上边缘。
bjz150 106Pa 29.012 10 6 m 4 得 口 M B y 2 8 103 N m 146.7 10 3m式中，n t 为拉应力达到强度极限时的安全因数 最大压应力显然发生在 C 截面的上边缘,c,max得 旦630乌血29.012 10：亦 10.4M c y 2 12 103N m 146.7 10 3m式中，n c 为压应力达到强度极限时的安全因数由于n c >n t ，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为n n t3.7例5-2横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为 [t ]=30MPa ，许用压应力[c ]=90MPa ，试确定截面尺寸 值。
20 160 40 2 120 10 160y 1160 40 2 10 16053.3mmY 2 200 53.3 146.7mm横截面对形轴z 的惯性矩为3I z 型空53.320 2 160 12340 2 10 160120 53.3 2 10 1601229.012 106mmB 、C 截面上正应力的分布规律如图 c 所示，最大拉应力发生在B 的上边缘或C 截面的下t,maxM B y 2M C Y 2b,cI zy 2 10截面对中性轴 z 的惯性矩为C 截面的弯矩为解：设形心C 距截面下底边的距F 80kN离为y iA1m C 1mh ------ —4* -------y i2 2 6 8 162 28 1 2 16 2于是222 82图38Z 3I z8 3128 2 12216 2 181 4M max40kN 1m40kNt,maxM max T y140 310 N m589.3N m181 430 106 Pac,maxM maxT"y 2o340 10 N m181 422 31620.6N m90106Pa由于2，所以取 27mm 。
讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的, 即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。
c 90c,max 3， 一 i 30t ,max22 昱Z. * 83 可知，t,max 选达到危险状态，只需按拉应力强度条件确定即可223例5-3 一平顶凉台如图a 所示，其长度I 6m ，顶面荷载集度f 2000Pa ，由间距 s 1m 的木次梁AB 支持。
木梁的许用弯曲正应力10MPa ，木次梁为bxh 的矩形截面，且h 2b 。
试求：⑴在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置 x 值；（2）选择木 次梁的尺寸。
解：1.次梁的计算简图如图b 所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为 强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为q fs 2000Pa 1m 2000N m 2kN . m2. 求次梁用料最经济时，主梁位置x丄ql x 2 !qx 2 丄qx 28423.选择b 和h 当x 1.74m 时A次梁主梁主梁 / 次梁」1 I ] I 门J I 1门 AB h 丄2I — h(a)C q I x $ 8 (c)用叠加法作出次梁的弯矩图如c 所示，当M DM C 时，次梁用料最经济。