第5章 弯曲应力
材料力学第五章 弯曲应力分析

B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解: FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2)正方形
a3 W 187.5
6
3)矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压,只受单向拉压. (c)同一层纤维的变形相同。 (d)不同层纤维的变形不相同。
推论:必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图(a)
O
O
zb
O yx b
y
图(b)
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁,火车的轮轴,楼房的横梁,阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念:主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线,且都在梁的纵向对称平面内(通过或平行形心主轴且过弯曲中心)。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类:1、按杆的形状分——直杆的弯曲;曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲;短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲;无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲;斜弯曲;弹性弯曲;塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲;横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化(一)、简化的原则:便于计算,且符合实际要求。
(二)、梁的简化:以梁的轴线代替梁本身。
(三)、荷载的简化:1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶(分布力偶)——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
(四)、支座的简化:1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
(五)、梁的三种基本形式:1、悬臂梁:2、简支梁:3、外伸梁:(L 称为梁的跨长) (六)、静定梁与超静定梁静定梁:由静力学方程可求出支反力,如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁:由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定(截面法):[举例]已知:如图,F ,a ,l 。
求:距A 端x 处截面上内力。
解:①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力:剪力和弯矩1. 弯矩:M ;构件受弯时,横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章

y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面: 对空心圆截面: I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式: 弯曲正应力一般公式: σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
?
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么? 剪应力和正应力的分布规律是什么?
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉(压)组合 弯拉( 对称弯曲(平面弯曲): 对称弯曲(平面弯曲): 外力作用在纵向对称面内, 外力作用在纵向对称面内,梁轴线变形 后为一平面曲线,也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线,也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力

M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意!C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2:求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解:1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y(yc)
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力

第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下,梁受外力而弯曲时,其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成,剪力由切向内力元τdA组成,故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时,正应力是决定梁是否破坏的主要因素,剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩,称为剪切弯曲(横力弯曲)。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力,称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线,且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动,仍为直线,但二者不再平行;仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线,且EF 变短,GH 变长;•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化;•横截面上部分沿厚度方向变宽,下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面,如果在变形之前是平面,在变形后仍为平面,只是绕截面的某一轴线转过了一个角度,且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉,中间一层纤维既不受拉也不受压,这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用,故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
材料力学第五章-弯曲应力知识分享

材料力学第五章-弯曲应力注:由于本书没有标准答案,这些都是我和同学一起做的答案,其中可能会存在一些错误,仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ,试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝,弹性模量为E ,现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d /D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受的外力也相同,则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同,正应力变化规律相同。
处的正应力相同,线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲,试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示,已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力,并指明其位置。
解:(1)m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在:固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁,受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN /m ,跨长l =3,截面高度=h 24cm ,宽度=b 8cm 。
材料力学第五章 弯曲应力

F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式,可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ,代入上式得 由公式(4-2), dx
* 式中 S z
A1
y1dA ,是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理,
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上,与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ,可得
综上所述,对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁(l>5h),在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 (5-2)仍然适用。
例5-1
图5-10(a)所示悬臂梁,受集中力F与集中力
偶Me作用,其中F=5kN,Me=7.5kN· m,试求梁上B点左邻 面1-1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明,一般情况下,梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力, 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩,如图5-1(a)所示。 因此,在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ(见图 5-1(b))。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学第5章弯曲应力

4)
最大切应力: max
k
FS A
矩形:k =3/2 工字形:k =1 圆形:k =4/3
5)
切应力强度条件: max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结:
1)应力公式:
正应力: My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力:
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时,M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时,FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40,MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结: • 应力应变沿高度线性变化,中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1)横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时,基本假设不成立,但
My 满足精度要求,可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变: (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2)物理方程: E Ey /
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因空心与实心圆截面面积相等,所以:
4
D12
4
( D22
d22 )
则:
D 12
D22
d22
D22
3 5
D2
2
4 5
D2
2
图示简支梁的的约束反力为: RA
RB
ql 2
=2KN,其弯矩图如图所示,最大弯矩
为
M max
ql 2 8
1KN.m
对实心截面梁: max1
28
第五章 弯曲应力
班级
姓名
学号
2a
2a
2a
1
2
3
8.设计钢梁时,宜采用中性轴为( A )的截面;设计铸铁梁时,宜采用中性轴为
( B )的截面。
(A)对称轴;
(B)偏于受拉边的非对称轴;
(C)偏于受压边的非对称轴; (D)对称或非对称轴。
9.梁的四种截面形状如图所示,其截面面积相同。若从强度方面考虑,则截面形状
上的最大正应力,则( B )。
(A) ( max )1 ( max ) 2 ( max )3 ;(B) ( max )1 ( max )3 ( max )2 ;
(C) ( max )1 ( max ) 2 ( max )3 ;(D) ( max )1 ( max ) 2 ( max )3 。
M max Wz1
M max D13
1106 32 403
159.15MPa
32
对空心截面梁:
max 2
M max Wz 2
D23 32
M max
1
d2 D2
4
32 106
503
1
3
4
5
)
/
(D
/
2)
11.圆截面梁,当横截面直径增大一倍时,该梁的抗弯能力增大几倍?
W d3 32
增大 8 倍
29
第五章 弯曲应力
班级
姓名
学号
5.1 将厚度 h 3mm 钢板围卷在半径 R=1.2m 的圆柱面上,试求钢板内产生的最大 弯曲正应力。设钢板材料的弹性模量 E=210GPa,屈服极限 s 280MPa ,为避免
(A)梁的轴线;(B)截面对称轴;(C)中性轴;( D )截面形心
5.对于纯弯曲梁,可由平面假设直接导出( B )。
(A) 1
M
;(B)
y
;(C)梁产生平面弯曲;(D)中性轴通过形心
EI z
6.如图所示,两根 b h 矩形截面的木梁叠合在一起,两端受力偶矩 M o 作用,则该
叠合梁的抗弯截面模量 W 为( A )。
32
第五章 弯曲应力
班级
姓名
学号
解:20 号槽钢的截面几何性质查型钢表可得
yc 19.5mm, Iz 144 104 mm4
由胡克定律和弯曲正应力公式得
E El / l My / Iz
可得
M Iz El ly
M
144 104 1012 200 109 27 106 50 (19.5 5) 106
93.64MPa
空心圆截面梁比实心圆截面梁最大正应力减少了
max1 max 2 159.15 93.64 41.16%
max1
159.15
31
第五章 弯曲应力
班级
姓名
学号
5.4 受均布载荷作用的简支梁如图所示,计算(1)Ⅰ-Ⅰ截面 A-A 线上 1、2 两点处
的正应力;(2)此截面的最大正应力;(3)全梁的最大正应力。
N���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������