第五章弯曲应力
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第五章 弯曲应力
z1 A 2 1 2
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
工程力学2第五章 弯曲应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN
M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m
x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
第五章 弯曲应力
缩短。
2、平面假设：
梁弯曲变形后，其原来的横 截面仍保持为平面，只是相 邻横截面绕某一轴相对转了 一个小角度，且仍垂直于梁 变形后的轴线。
中性层：靠近底部的纵 向线伸长，靠近顶部的 纵向线缩短，根据变形 的连续性，中间必有一 层纵向线既不伸长也不 缩短。
中性轴：中性层与横截 面的交线 z 轴，横截面 z 就是绕中性轴转动的。
是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。 （3） 由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面梁，而且还适用
于其它一些截面梁，如：圆截面梁、工字形截面梁、T字形
截面梁，等等。
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横
截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如
y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。
（5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述 公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
的惯性矩Iz=5.33×106mm4。求跨中C截面上a、b、c点的弯
曲正应力。
F = 8kN A
D
0.6m
Fs / kN
解：首先作剪力图和弯矩图，由
( y)d d y
d
即： y
a
故 y
二、物理关系
Me 由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间 没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于
单向应力状态。并设 Et Ec E
当 p时
E E y
b
故 y
z o
y
说明：
推导过程简单总结：（三方面）
由变形几何关系得到
材料力学《第五章》弯曲应力
上海交通大学
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
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FS
目录
纯弯曲
§5-1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系 3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；
法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴过截面形心。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
为什么开孔？ 孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（三）理论分析：
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离；
点到中性轴的距离。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维的变化 设想梁是由无数
层纵向纤维组成
在正弯矩的作用下，
偏上的纤维 缩短， 偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性层
ΔL<0 ΔL>0 ΔL=0 既不伸长也不缩短 中性层 －－纤维长度不变
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面
bh3 IZ 12
IZ
D 4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0
一、变形几何关系
（一）实验观察现象：
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
施加一对正弯矩，观察变形
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
横向线 由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定。
第五章 弯曲应力
目录
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
伽利略Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
§5-1 纯弯曲
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系 FN、My、Mz
中性轴过 截面形心
坐标轴是主轴
1 M
EI Z
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
四、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 物理关系
y
E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
横力弯曲正应力公式
My
IZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My
IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
/ 2)
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
横截面不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力 弹性力学精确分析表明：
对于跨度L 与横截面高度h 之比L / h > > 5的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
误差<<2% 满足工程中所需要的精度。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
二、物理关系 胡克定理 E E y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性轴
中性轴上各点 σ=0
各横截面绕中性轴发生偏转。
中性轴的位置过截面形心
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
✓中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；
目录
纯弯曲
§5-1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系 3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；
法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴过截面形心。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
为什么开孔？ 孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（三）理论分析：
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离；
点到中性轴的距离。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维的变化 设想梁是由无数
层纵向纤维组成
在正弯矩的作用下，
偏上的纤维 缩短， 偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性层
ΔL<0 ΔL>0 ΔL=0 既不伸长也不缩短 中性层 －－纤维长度不变
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面
bh3 IZ 12
IZ
D 4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0
一、变形几何关系
（一）实验观察现象：
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
施加一对正弯矩，观察变形
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
横向线 由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定。
第五章 弯曲应力
目录
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
伽利略Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
§5-1 纯弯曲
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系 FN、My、Mz
中性轴过 截面形心
坐标轴是主轴
1 M
EI Z
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
四、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 物理关系
y
E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
横力弯曲正应力公式
My
IZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My
IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
/ 2)
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
横截面不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力 弹性力学精确分析表明：
对于跨度L 与横截面高度h 之比L / h > > 5的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
误差<<2% 满足工程中所需要的精度。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
二、物理关系 胡克定理 E E y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性轴
中性轴上各点 σ=0
各横截面绕中性轴发生偏转。
中性轴的位置过截面形心
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
✓中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；