5-第五章 弯曲应力.
第五章 弯曲应力
5.1 纯弯曲
一、纯弯曲和横力弯曲
1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。
特点：弯曲后的轴线为圆弧线。
2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。
特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。
F s
二、弯曲变形假设 1. 平面假设:
变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。
2. 纵向纤维间无正应力。
三、中性层和中性轴
1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。
2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
5.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
()ρ
θ
ρθ
ρθρεy
d d d y =
-＋＝
二、 物理关系
当应力小于比例极限，由胡克定律：
ρ
εσy E
E ＝＝
任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。
三、静力关系
横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。
该力系可简化为
⎰=
A
dA N σ， ⎰
=
A
y
dA z M
σ， ⎰
=
A
z dA y M σ
根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝⎰=
A
dA N σ 0＝⎰
=
A
y
dA z M
σ ⎰
=
A
z M dA y M ＝σ
由0＝⎰=A
dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。
由0==
⎰⎰
A
A
y dA zy
E
dA z M ρ
σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。
由M dA y E dA M A
A z ==⎰⎰ρ
σ2
y ＝可得⎰
A
dA
y M
E
2＝
ρ
令⎰=A
z I dA y 2--对z 轴的惯性矩
y I M
y
E
E z
＝
＝＝ρ
εσ 5.3 横力弯曲时的正应力
一、正应力近似计算公式
y I M
z
＝
σ （误差不大，满足工程所需精度）
二、惯性矩计算
1. ⎰
=
A
dA y 2Z I
若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12
I 3
Z bh =；
若横截面是直径为D 的圆形，64
I 4
Z D π=
2. 平行移轴公式
A 2ZC Z b I I +=
例题
1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。
试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
解：作梁的弯矩图，横截面C 上有最大弯矩，且
m kN ⋅=375M max
查型钢表，56a 号
工字钢的32342
W cm z =，465585I cm z =,mm 560h =，mm 21t =
所以梁的最大正应力为：MPa W M Z 16010
2342103756
3max max =⨯⨯==-σ 该截面a 点处的正应力为MPa I M Z
14810)212560(106558610375y 383max a =⨯-⨯⨯⨯==--σ 2.
一外伸梁由18号槽钢制成，尺寸和受力如图所示，求此梁的最大拉应力和最大压应力。
375kN∙m
F
a )
M 图 b)
z
c)
z
4kN
F 2=
18号槽钢
解：1. 由静力平衡方程求出支座反力为：10.5kN F ,2.5kN F RB RA == 2. 作弯矩图，最大弯矩在截面C ，且,m 2.5kN M C ⋅= 最大负弯矩在B 截面，且m -4kN M B ⋅=
3. 查表的18号槽钢,111cm I 4Z = 5.16cm ,y 1=,1.84cm y 2=
4. 对于截面B ，弯矩为负，
最大拉应力发生在上边缘各点，且66.3MPa I y M Z 2
B B
max ==
t σ 最大压应力发生在下边缘各点，且186MPa I y M Z
1
B B
cmax ==
σ 对于截面C,弯矩为正，
最大拉应力发生在截面下边缘各点116MPa I y M Z 1
C C
max ==
t σ 最大压应力发生在截面上边缘各点MPa 4.14I y M Z
2
C C
max c ==
σ 综上所述，梁的最大拉应力,116MPa max =t σ发生在C 截面的下边缘各点，
最大压应力,186MPa max =c σ发生在B 截面的下边缘各点。
5.4 横力弯曲时的剪应力
一、矩形截面梁
1. 切应力的方向及沿宽度方向的分布假设：
（1）横截面上各点处的切应力方向均平行于剪力Q F 。
（2）切应力沿截面的宽度方向呈均匀分布。
2. 切应力计算公式
b
I S F Z *Z Q =
τ
)y -4
h (2b S
22*
Z
= 切应力沿高度方向的分布规律：
)y -4
h (2I F b I S F 22
Z Q
Z *Z
Q ==τ
当02
=±
=τ时，h
y ，即横截面的上下边缘处，切应力等于零，当y=0时，切应力最大，即最大切应力发生在中性轴上，且
A F 2312
bh 8h F I 8h F Q
32Q Z
2Q m ax
=⨯
=
=τ 矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、圆形截面梁
A
F 34R 34F Q
2Q m ax ==
πτ
三、工字型截面梁
5.5 提高弯曲强度的措施
一、合理安排梁的受力情况 1. 合理调整支座。
F/L
F/L
2. 合理安排荷载。
M max =
二、选择合理的梁截面 1.合理选择截面形式。
2.根据材料选择截面。
对于铸铁类抗拉、抗压能力不同的材料，最好使用T 字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。
如下图：
3. 采用等强度梁
（1）必须满足正应力强度条件。
（
2）必须满足剪应力强度条件。
5.6 例题
1. 一截面为t b ⨯的钢条，长为l ,重为p ，放在刚性平面上。
若钢条A 端作用3/p 的拉力，未提起部分保持与平面密合。
求钢条脱开刚性平面的距离及钢条内的最大正应力。
2. 简支梁承受均布荷载如图所示，若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且mm D 401=，53/22=D d 。
（1）、试分别计算它们的最大正应力。
（2）、空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之几。
3. 当20号槽钢受弯曲变形时，测出A 、B 两点间长度的改变为mm l 31027-⨯=∆，材料的E=200GPa 。
试求梁截面上的弯矩M 。
4. 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。
许用拉应力a 40][MP t =σ,许用压力
a 160][MP c =σ。
（1）、试按正应力强度条件校核梁的强度。
（2）、若荷载不变，但将T 形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理并说明原因。
5. 跨度为l 的简支梁作用有均布荷载q ，抗弯截面系数为W ，材料弹性模量为E ，求梁的下边缘总伸长为多少。
6. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度m l 1=，若胶合面上的许用切应力为a 34.0][1MP =τ，木材的许用弯曲正应力为a 10][MP =σ，许用剪应力a 1][2MP =τ。
试求许可荷载P F 。
7． 梁由两根36a 工字钢铆接而成。
铆钉的间距为s=150mm,直径d=20mm,许用剪应力a 90][MP =τ。
梁截面上的剪力Q=40KN 。
试校核铆钉的剪切强度。
五章节弯曲应力
整理M 后(得x ) d M (x ) M (x ) F S (x )x d q (x )x d d 2 x 0
几何意义为：弯矩图d上Md某x(点x)处的F切S(线x)斜率等于该点处剪力的大小。
由上两式可以得到
d2M(x) q(x)
dx2
第四章 弯曲应力
常见荷载下FS，M图的一些特征
Mmax
Fab l
第四章 弯曲应力
例题5-4 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的
剪力图和弯矩图。
x
F
A
aC
b
B
FRA
l
FRB
，
解：1. 求约束力
b FRA l F
FRB
a l
F
(b) FS图
2. 列剪力方程和弯矩方程
此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意
横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪
l
l
第四章 弯曲应力
3. 作剪力图和弯矩图
FSxFl b0xa
FSxFl aaxl
(b)
MxFb x 0xa
l
M (x)Fa lx axl
l
(c)
如图b及图c。由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在
0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大，FS,max 集中荷载作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，Mmax
FSxM le 0xl M x Me x
l
0 x a Mx Me l x
l
a x l
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
如图可见，两支座之间
所有横截面上剪力相同，均
05弯曲应力ppt课件
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
35
20
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
IZ y2dA
A
WZ
IZ y max
空心矩形截面
圆截面 空心圆截面
矩形截面
d 4
IZ 64
d 3
WZ 32
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D 3
32
(1
4)
bh3 IZ 12
WZ
bh 2 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0 / 23
2)
目录
§5-2 正应力公式的推广 强度条件 例题6-1
E
E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
12
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系
3 静力关系 简化得到三个内力分量.
对横截面上的内力系，有:
FN
dA
A
M y
z dA
A
Mz
My
FN
M z
y
截面惯性矩
第五章 弯曲应力
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
05弯曲应力
例题5-1
q=60kN/m
A
1m
FAy
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBy
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
x 90kN
n
I y
I yi
i 1
n
I z
I zi
i 1
（2）平行移轴公式
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 y
x
dyAC
的坐标轴如图
xaxC
yb
yC
y
a
C
xC x
b
I x I xC b2 A SxCAyC 0
I x
y 2dA
A
(
A
yC
b)
2
dA
(
A
yC2
5.832 105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）
42
q = 60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
B
x
FBY
x 90kN
180
120
2. C 截面最大正应力
30 C 截面弯矩
K
z
M C 60kN m
y
C 截面惯性矩
IZ 5.832 105 m 4
bh3 12
) /(h0
材料力学第5章弯曲应力
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
弯曲应力
Q h1 d
3. 圆形截面梁横截面上的最大剪应力 a. 圆截面：最大剪应力发生在中性轴上各点处
m ax
4 Q 3 A Q A 4 3
最大剪应力是平均剪应力 平
的
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
m ax 2
Q A Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
的2倍。
第五章 弯曲应力
§5–1 纯弯曲
一、纯弯曲
A
a
P
P a
B
纯弯曲: 只有M 而无Q 的平面弯曲. 横力弯曲: 既有M 又有Q 的平面弯曲.
P (+) (-)
Q图
Pa (+)
-P
M图
横力弯曲（剪切弯曲）:横截面上同时有剪力和弯矩. 纯弯曲:如果横截面上剪力等于零，而弯矩为一常数，即只有正应力而无 剪应力.
QSz I zb
*
QSz I zb
*
式中：
Q —横截面上剪力
S z —需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分 A * 面积对
*
中性轴的静矩。
I z —整个横截面对中性轴的惯性矩。
b—需求剪应力处横截面宽度。
3Q 2bh
3
(h 4 y )
2 2
从上式可知，剪应力分布是沿 梁的高度按抛物线规律分布. 图 7-4 在
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已 知材料的容许拉应力为 4 0 M P a ,容许压应力 1 0 0 M P a 试校核梁的强度。
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
M c 1 0 K N .m
第五章 弯曲应力
28.8 106 Pa
28.8MPa
Z
cC
M
B
y 2
Iz
2.5103 N m 52 10-3m 7.6410-6 m4
17.0 106 Pa
17.0MPa
3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力
cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8810-3m 7.6410-6 m4
目录
第五章 弯曲应力\梁横截面上的正应力
5.2. 2 横力弯曲时横截面上的正应力
横力弯曲时梁横截面上不仅有正应力，而且有切应力。由于切 应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出 的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面 上的正应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比 值 l ＞5时，其误差甚小。因此，纯弯曲时横截面的正应力计算公
5.2.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
1. 横截面上正应力的计算公式
研究梁横截面上正应力的方法与 研究圆轴扭转时横截面上切应力所用 的方法相似，也须综合研究变形的几 何关系、应力与应变间的物理关系以 及静力平衡关系。
1) 变形的几何关系 取截面具有竖向对称轴（例如
矩形截面）的等直梁，在梁侧面画 上与轴线平行的纵向直线和与轴线 垂直的横向直线，如图a所示。然后 在梁的两端施加外力偶Me,使梁发生 纯弯曲（图b）。此时可观察到下列 现象：
上式是研究梁弯曲变形的基本公式。由该式可知，EIz越大，曲
率半径越大，梁弯曲变形越小。EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，
称为梁的弯曲刚度。
将上式代入式 σ E y ，得 My
材料力学 第五章 弯曲应力课件
力状态。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey
ydA
......(2)
N sdA
x A
Ey
A
dA
E
ESz
A
0
S z 0 z (中性)轴过形心
9
M
M
1
y
(sdA) z
A
Eyz
A
Ey2
dA
E
A
yzdA
EI yz
1
第五章
§5–1 引言
弯曲应力
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力FS 内力 剪应力t
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
120 y
z
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
60kNm
12
M1 Mmax
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
tmax
FS Af
; Af —腹板的面积。
t min t max