第五章+弯曲应力
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材料力学第五章 弯曲应力-正式
9
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
05章 弯曲应力
分别称为图形对于y轴和 轴 分别称为图形对于 轴和z轴 轴和 截面一次矩或静矩, 的截面一次矩或静矩,单位 m3或mm3.
S z = ∫ ydA = 0
A
注:通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 形心 图形对其静矩等于零. 图形对其静矩等于零. 说明: 轴通过截面形心 轴通过截面形心, 轴和 轴的位置确定了. 轴和x轴的位置确定了 说明:z轴通过截面形心,即z轴和 轴的位置确定了.
MC = 90×160×1×0.5 = 60kN m
1. C 截面上 点正应力 截面上K点正应力
bh3 0.12×0.183 IZ = = = 5.832×105 m4 12 12 180 3 60×10 ×( 30)×103 MC yK 2 σK = = = 61.7M Pa 5 IZ 5.832×10
σ max
M max = ≤ [σ ] W
18/58
5.3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
例题5-1: 例题 :
q=60kN/m
C 截面,单位 截面,单位mm 120 180
A
1m
B C
4/58
5.1 纯弯曲
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
梁变形后,其横截面仍保持平面, 梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直 于变形后梁的轴线, 于变形后梁的轴线,只是绕着梁上某一轴 转过一个角度.这一假设称平面假设 平面假设. 转过一个角度.这一假设称平面假设. 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压, 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压,即 梁的纵截面上无正应力作用. 梁的纵截面上无正应力作用.
S z = ∫ ydA = 0
A
注:通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 形心 图形对其静矩等于零. 图形对其静矩等于零. 说明: 轴通过截面形心 轴通过截面形心, 轴和 轴的位置确定了. 轴和x轴的位置确定了 说明:z轴通过截面形心,即z轴和 轴的位置确定了.
MC = 90×160×1×0.5 = 60kN m
1. C 截面上 点正应力 截面上K点正应力
bh3 0.12×0.183 IZ = = = 5.832×105 m4 12 12 180 3 60×10 ×( 30)×103 MC yK 2 σK = = = 61.7M Pa 5 IZ 5.832×10
σ max
M max = ≤ [σ ] W
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5.3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
例题5-1: 例题 :
q=60kN/m
C 截面,单位 截面,单位mm 120 180
A
1m
B C
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5.1 纯弯曲
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
梁变形后,其横截面仍保持平面, 梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直 于变形后梁的轴线, 于变形后梁的轴线,只是绕着梁上某一轴 转过一个角度.这一假设称平面假设 平面假设. 转过一个角度.这一假设称平面假设. 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压, 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压,即 梁的纵截面上无正应力作用. 梁的纵截面上无正应力作用.
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§5.3横力弯曲时的正应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲
横力弯曲的特点：
梁的横截面上不但有正应力还有切应力，
横截面不再保持为平面。
注意：
纯弯曲时的正应力计算公式 仍然适用于横力弯曲。
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
材料力学
§5.1 纯弯曲
材料力学
弯曲应力/纯弯曲 横力 F 弯曲 a F (+) (-)
FS 图
纯弯曲
F
一. 纯弯曲和横力弯曲： 横力
弯曲
纯弯曲：梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪
a L
力（
M 0 , Fs 0
）。
横力弯曲：梁弯曲变形
Fa
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（
M 图
材料力学
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
3.减小支座跨度或增加支座
F A L 0.125FL (+)
M 图
F BA 0.2L 0.6L 0.2L 0.025FL (+) 0.02FL
M 图
F BA 0.5L
9 512
B
0.5L
9 512
FL
FL
(+) 0.02FL
1 32 FL
(+)
M 图
h
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时的正应力
圆形截面：
实心：
d z
Iz
空心：
64
d
4
D d z
IZ
D (1 )
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§5.3横力弯曲时的正应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲
横力弯曲的特点：
梁的横截面上不但有正应力还有切应力，
横截面不再保持为平面。
注意：
纯弯曲时的正应力计算公式 仍然适用于横力弯曲。
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
材料力学
§5.1 纯弯曲
材料力学
弯曲应力/纯弯曲 横力 F 弯曲 a F (+) (-)
FS 图
纯弯曲
F
一. 纯弯曲和横力弯曲： 横力
弯曲
纯弯曲：梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪
a L
力（
M 0 , Fs 0
）。
横力弯曲：梁弯曲变形
Fa
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（
M 图
材料力学
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
3.减小支座跨度或增加支座
F A L 0.125FL (+)
M 图
F BA 0.2L 0.6L 0.2L 0.025FL (+) 0.02FL
M 图
F BA 0.5L
9 512
B
0.5L
9 512
FL
FL
(+) 0.02FL
1 32 FL
(+)
M 图
h
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时的正应力
圆形截面：
实心：
d z
Iz
空心：
64
d
4
D d z
IZ
D (1 )
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
第五章弯曲应力解析
•纵向纤维之间无挤压力假定一般不适用于剪切弯曲.
•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假 定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值 小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用. •平截面假定一般不适用于曲梁.
§5-2 纯弯曲时的正应力
同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、 物理关系和静力学关系三方面考虑.
M σdA
FS τdA
当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素， 切应力则是次要因素.
➢二、弯曲分类
梁AC、BD段的横截面上既有剪 A 力又有弯矩，称为剪切弯曲.
aP
C P
Pa
D
B
CD段梁的横截面上只有弯矩 而无剪力，称为纯弯曲.
+
A
C
D −B
此处仅研究纯弯曲时梁横截面 上正应力与弯矩的关系.
FN=0
M
FN
AdA
A
E
ydA
E
A
ydA
0
zM
Ox
y
σdA
y
因 E 0 故 ydA 0
A
由中值定理知
A ydA yC .A S z
—横截面图形对z 轴的静矩.
故 yC .A 0 yC 0 —横截面图形形心坐标.
即横截面形心在z轴上，故中性轴必通过横截面形心.
My=0
M
M y
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 惯性矩计算 §5-4 剪切弯曲时的正应力 §5-5 弯曲切应力 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 纯弯曲
➢一、梁弯曲时横截面上的应力分布
一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时 有弯矩和剪力两个内力.弯矩由分布于横截面上的 法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组 成，故横截面上同时存在正应力和切应力.
•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假 定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值 小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用. •平截面假定一般不适用于曲梁.
§5-2 纯弯曲时的正应力
同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、 物理关系和静力学关系三方面考虑.
M σdA
FS τdA
当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素， 切应力则是次要因素.
➢二、弯曲分类
梁AC、BD段的横截面上既有剪 A 力又有弯矩，称为剪切弯曲.
aP
C P
Pa
D
B
CD段梁的横截面上只有弯矩 而无剪力，称为纯弯曲.
+
A
C
D −B
此处仅研究纯弯曲时梁横截面 上正应力与弯矩的关系.
FN=0
M
FN
AdA
A
E
ydA
E
A
ydA
0
zM
Ox
y
σdA
y
因 E 0 故 ydA 0
A
由中值定理知
A ydA yC .A S z
—横截面图形对z 轴的静矩.
故 yC .A 0 yC 0 —横截面图形形心坐标.
即横截面形心在z轴上，故中性轴必通过横截面形心.
My=0
M
M y
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 惯性矩计算 §5-4 剪切弯曲时的正应力 §5-5 弯曲切应力 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 纯弯曲
➢一、梁弯曲时横截面上的应力分布
一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时 有弯矩和剪力两个内力.弯矩由分布于横截面上的 法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组 成，故横截面上同时存在正应力和切应力.
材料力学 第五章 弯曲应力课件
力状态。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey
ydA
......(2)
N sdA
x A
Ey
A
dA
E
ESz
A
0
S z 0 z (中性)轴过形心
9
M
M
1
y
(sdA) z
A
Eyz
A
Ey2
dA
E
A
yzdA
EI yz
1
第五章
§5–1 引言
弯曲应力
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力FS 内力 剪应力t
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
120 y
z
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
60kNm
12
M1 Mmax
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
tmax
FS Af
; Af —腹板的面积。
t min t max
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
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A
y
E
A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M iz yE dA M
A
y
E
1
y dA M A
2
E
Iz M
M E Iz
弯曲应力 (Stresses in Beams)
M EI Z
代入
1
——弯曲变形计算的基本公式
m
M
·只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力； dFN = dA 才能合成弯矩.
m FS m
·只有与正应力有关的法向内力元素
m m
FS
M
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
二、分析方法
从纯弯曲入手 推广 横力弯曲
Chapter5 Stresses in beams
弯曲应力 (Stresses in Beams)
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律 均匀分布
F A
T 线形分布 IP
M
FA
y
存在何种应力？ 应力如何分布？
FS
弯曲应力 (Stresses in Beams)
伽利略 Galilei
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ tmax
弯曲应力 (Stresses in Beams)
◆现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步
M
O
z x
伽利略时代钢铁没有出现 但他开辟了理论与实践
计算构件的新途径。
y
是“实验力学”的奠基 人
deformation geometric relationship physical relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 W (1 4 ) 32
z y
弯曲应力 (Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 ytmax 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
EI z 梁的抗弯刚度。
σE
y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
My σ Iz
·M为梁横截面上的弯矩；
·y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
·Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
★公式讨论：
（1）应用公式时，一般将 M以绝对值代入. 根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力 为拉应力( 为正号),凹入边的应力为压应力（ 为负号）. （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
M
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
弯曲应力 (Stresses in Beams)
三、物理关系
Hooke’s Law 所以 σ E
σ Eε
y
? ?
M
O
z
x
y
·应力分布规律：
的距离成正比.
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
待解决问题： 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
弯曲应力 (Stresses in Beams)
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
弯曲应力 (Stresses in Beams)
3.推论 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性层
横截面对称轴
·中性轴⊥横截面对称轴 ·梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动
了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
dx
dx
O
d
O
x O y b
z b 图（a）
y
O’
z b’ y
O’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( y )d
( y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
·应变分布规律：
max
M max 67.5kN m
I z 5.832 105 m 4
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
FBY
FS 90kN
x 90kN
67.5 103
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
104.17 106 Pa 104.17 MPa
弯曲应力 (Stresses in Beams)
推导弯曲正应力计算公式的方法总结
（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） 横力弯曲
（2）“实验—观察—假设” ：梁弯曲假设
（3） 外力 内力 应力法 变形几何关系 物理关系 静力学关系 应力合成内力
（4）三关系法 （5）数学方法 积分
弯曲应力 (Stresses in Beams)
弯曲应力 (Stresses in Beams)
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
M ( x) σ W
★公式的应用范围
1.在弹性范围内，小变形； 2.纯弯曲或具有切应力的梁 l / h 5； 3.平面弯曲； 4.直梁或小曲率梁
ρ 5h 。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
思考题1：观察建筑用预制板特征，并给出合理解释。
P
＊为什么开孔？
＊孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？
＊为什么加钢筋？ ＊施工中如何安放？
弯曲应力 (Stresses in Beams)
思考题2：解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
为降低重量，可在中性轴附近开孔。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
例：
A
FAY
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
B
1m
C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
4.已知E=200GPa， 求C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
FAy 90kN
FBy 90kN
M
2
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
h d
弯曲应力 (Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
一、横力弯曲 （工程中常见的平面弯曲）
1、横力弯曲特点：
＊梁的横截面上既有正应力又有切应力； ＊切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的
纵截面的挤压应力，平面假设和单向受力假设都不成立. 2、纯弯曲正应力公式推广 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面 高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于 横力弯曲近似成立。
仍与变形后的纵向弧线垂直.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
2.提出假设 （a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面
且垂直于变形后的梁轴线；
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设。
（b）单向受力假设：梁是由许多纵向纤维组成的，纵向纤维 不相互挤压，只受单向拉压.
M iz dM z yσdA M（3） A A
弯曲应力 (Stresses in Beams)
将应力表达式代入（1）式，得
FN E dA 0
A
y
E
A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy zE dA 0
2. C 截面上K点正应力
弯曲应力 (Stresses in Beams) q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
30
C 截面弯矩
z y
Cmax
M C 60kN m
FBYBiblioteka I Z 5.832 105 m4
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M
O
Mz
z
内力与外力相平衡可得
y
dA
x σdA
FN
σ dA 0 FN A dFN A
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσdA 0 （2）
y
E
A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M iz yE dA M
A
y
E
1
y dA M A
2
E
Iz M
M E Iz
弯曲应力 (Stresses in Beams)
M EI Z
代入
1
——弯曲变形计算的基本公式
m
M
·只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力； dFN = dA 才能合成弯矩.
m FS m
·只有与正应力有关的法向内力元素
m m
FS
M
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
二、分析方法
从纯弯曲入手 推广 横力弯曲
Chapter5 Stresses in beams
弯曲应力 (Stresses in Beams)
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律 均匀分布
F A
T 线形分布 IP
M
FA
y
存在何种应力？ 应力如何分布？
FS
弯曲应力 (Stresses in Beams)
伽利略 Galilei
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ tmax
弯曲应力 (Stresses in Beams)
◆现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步
M
O
z x
伽利略时代钢铁没有出现 但他开辟了理论与实践
计算构件的新途径。
y
是“实验力学”的奠基 人
deformation geometric relationship physical relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 W (1 4 ) 32
z y
弯曲应力 (Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 ytmax 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
EI z 梁的抗弯刚度。
σE
y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
My σ Iz
·M为梁横截面上的弯矩；
·y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
·Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
★公式讨论：
（1）应用公式时，一般将 M以绝对值代入. 根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力 为拉应力( 为正号),凹入边的应力为压应力（ 为负号）. （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
M
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
弯曲应力 (Stresses in Beams)
三、物理关系
Hooke’s Law 所以 σ E
σ Eε
y
? ?
M
O
z
x
y
·应力分布规律：
的距离成正比.
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
待解决问题： 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
弯曲应力 (Stresses in Beams)
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
弯曲应力 (Stresses in Beams)
3.推论 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性层
横截面对称轴
·中性轴⊥横截面对称轴 ·梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动
了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
dx
dx
O
d
O
x O y b
z b 图（a）
y
O’
z b’ y
O’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( y )d
( y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
·应变分布规律：
max
M max 67.5kN m
I z 5.832 105 m 4
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
FBY
FS 90kN
x 90kN
67.5 103
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
104.17 106 Pa 104.17 MPa
弯曲应力 (Stresses in Beams)
推导弯曲正应力计算公式的方法总结
（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） 横力弯曲
（2）“实验—观察—假设” ：梁弯曲假设
（3） 外力 内力 应力法 变形几何关系 物理关系 静力学关系 应力合成内力
（4）三关系法 （5）数学方法 积分
弯曲应力 (Stresses in Beams)
弯曲应力 (Stresses in Beams)
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
M ( x) σ W
★公式的应用范围
1.在弹性范围内，小变形； 2.纯弯曲或具有切应力的梁 l / h 5； 3.平面弯曲； 4.直梁或小曲率梁
ρ 5h 。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
思考题1：观察建筑用预制板特征，并给出合理解释。
P
＊为什么开孔？
＊孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？
＊为什么加钢筋？ ＊施工中如何安放？
弯曲应力 (Stresses in Beams)
思考题2：解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
为降低重量，可在中性轴附近开孔。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
例：
A
FAY
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
B
1m
C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
4.已知E=200GPa， 求C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
FAy 90kN
FBy 90kN
M
2
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
h d
弯曲应力 (Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
一、横力弯曲 （工程中常见的平面弯曲）
1、横力弯曲特点：
＊梁的横截面上既有正应力又有切应力； ＊切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的
纵截面的挤压应力，平面假设和单向受力假设都不成立. 2、纯弯曲正应力公式推广 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面 高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于 横力弯曲近似成立。
仍与变形后的纵向弧线垂直.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
2.提出假设 （a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面
且垂直于变形后的梁轴线；
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设。
（b）单向受力假设：梁是由许多纵向纤维组成的，纵向纤维 不相互挤压，只受单向拉压.
M iz dM z yσdA M（3） A A
弯曲应力 (Stresses in Beams)
将应力表达式代入（1）式，得
FN E dA 0
A
y
E
A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy zE dA 0
2. C 截面上K点正应力
弯曲应力 (Stresses in Beams) q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
30
C 截面弯矩
z y
Cmax
M C 60kN m
FBYBiblioteka I Z 5.832 105 m4
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M
O
Mz
z
内力与外力相平衡可得
y
dA
x σdA
FN
σ dA 0 FN A dFN A
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσdA 0 （2）