第5章弯曲应力正应力
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材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
弯曲正应力
dA
y
z
y
x
A
y 2 dA M
已知
A
y 2 dA I z
横截面对 z 轴的惯性矩
得到：
M EI z
1
Ey 代入： E
(b)
得到：
My Iz
弯曲正应力计算公式
横截面上的最大正应力Leabharlann max令： 得：
M ymax Iz
M
max
抗弯截面系数
Iz Wz ymax
尚有两个问题?
1、
?
2、中性层的位置？
三、静力关系
F
Ey
A
x
0
dA 0
A
dA
E
M
A
ydA 0
得： 而
A
A
ydA 0
z
ydA S z A y
是横截面对 z 轴的静矩
M
y
z
y
dA
x
y 0
中性轴 z 通过横截面的形心
中性轴必为形心轴
M
E
y
0
z
已知:
a 50mm
2a A
a
F C
140MPa
求: F力的最大许可值 解: 作出梁的弯矩图 梁的危险截面为B截面 B截面的弯矩为:
B
M
Fa
M B M max Fa
梁的危险截面为B截面 M B M max Fa B截面的尺寸如图
30 203 14 203 12 Iz 10 12 12 1.07 108 m 4
第五章 弯曲应力
z1 A 2 1 2
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
第五章 弯曲应力
缩短。
2、平面假设：
梁弯曲变形后，其原来的横 截面仍保持为平面，只是相 邻横截面绕某一轴相对转了 一个小角度，且仍垂直于梁 变形后的轴线。
中性层：靠近底部的纵 向线伸长，靠近顶部的 纵向线缩短，根据变形 的连续性，中间必有一 层纵向线既不伸长也不 缩短。
中性轴：中性层与横截 面的交线 z 轴，横截面 z 就是绕中性轴转动的。
是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。 （3） 由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面梁，而且还适用
于其它一些截面梁，如：圆截面梁、工字形截面梁、T字形
截面梁，等等。
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横
截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如
y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。
（5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述 公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
的惯性矩Iz=5.33×106mm4。求跨中C截面上a、b、c点的弯
曲正应力。
F = 8kN A
D
0.6m
Fs / kN
解：首先作剪力图和弯矩图，由
( y)d d y
d
即： y
a
故 y
二、物理关系
Me 由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间 没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于
单向应力状态。并设 Et Ec E
当 p时
E E y
b
故 y
z o
y
说明：
推导过程简单总结：（三方面）
由变形几何关系得到
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32
（5）结论 轮轴满足强度条件
例 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN, 起重量 F2 50kN,跨度 l 9.5m,材料的许用应力
140MPa, 试选择工字钢的型号。
分析
（1）简化为力学模型
（2）确定危险截面
（3）截面为关于中性轴对称
（4）应力计算公式
横力弯曲时的横截面
横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
横力弯曲正应力
纯弯曲正应力公式 My
IZ
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力， 误差<<2%
满足工程中所需要的精度。
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
托架开孔合理吗？
理论分析
y
z
两直线间的距离
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
yC
Sz A
281614 810 (14 5) 28 26 810
4
13cm
14
（2）计算截面对形心主轴的惯性矩
Iz
1 16 283 12
16 28 (14 13)2
1 8103 18 10 (19 13)2 12
26200cm4
8y
16
单位：cm
28 z
yC
z'
（4）正应力校核
Myc Iz
c
四个强度条件表达式
弯曲正应力强度计算的三个方面
1 强度校核
t,max
Myt Iz
t
c,max
Байду номын сангаас
Myc Iz
c
2 设计截面
w ≥Mmax
z
[σ]
3 确定许可载荷 Mmax ≤w z [σ ]
例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。
d1 160mm d2 130mm,a 0.267m,b 0.16m,F 62.5kN,
max
M max Wz
（5）计算 M max
（6）计算 W，z 选择工字钢型号
（1）计算简图
F=F1+F2
FF F FL/4
M
（4）强度计算
max
M max Wz
（5）选择工字钢型号
（2）绘弯矩图 （3）危险截面
F1 6.7kN, F2 50kN,
l 9.5m, 140MPa
M
max
20 1203 12
20120 282
7.64106 m4
例 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面
的内外径之比 d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加
D
一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
A
B
L=4m
1 塑性材料， 对称截面； 2 已知图形对中性轴的主惯性矩 3 作弯矩图，确定危险截面； 4 确定危险点，进行强度校核
5 作弯矩图，确定危险截面
6 确定危险点，进行强度校核
t,max t , c,max c
（1）求截面形心
80
52
20
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
120
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
20
y
Iz
80 203 12
80 20 422
x
弯曲正应力强度条件
危险点： 距离中性轴最远处； 分别发生最大拉应力与最大压应力；
1 塑性材料 抗拉压强度相等
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
M maxymax Iz
σmax σ
b 对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
3 全梁上最大正应力
4 已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1 截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
q=60KN/m
2 求支反力
180
A
1m C
FAY
3m
120
30
K
z
B
FAy 90kN FBy 90kN
d1 160mm
a 0.267m F =62.5kN
d2 130mm b 0.16m
60MPa.
M
Fb Fa
B截面：
Fb
max
MB WzB
Fa
d13
62.5 26732
0.163
32
41.5MPa
C截面： max
MC WzC
Fb
d23
62.5160 32
0.133
46.4MPa
FBY
3 C 截面上K点正应力
MC 901 6010.5 60kN m
K
MC yK IZ
60103 60103 5.832 105
61.7MPa
（压应力）
y
4 C 截面上最大正应力
Cmax
MC ymax IZ
60103 90103 5.832 105
92.55MPa
q=60KN/m
材料力学
交通与车辆工程学院 李丽君
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
IP
M
?
FA
FS
?
y
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高梁强度的措施
物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
E
E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
弯曲正应力的分布规律
静力学关系
dA FN 0
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
由直线
曲线
由直线
直线
相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。
平面假设
变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
纵向纤维之间有无相互作用力
假设：纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
观察纵向纤维的变化 在正弯矩的作用下， 凹入一侧纤维缩短；凸出一侧纤维伸长。
M y z dA 0
A
M z y dA M
坐标轴是主轴
A
1 M 中性层的曲率计算公式
EIZ
EIz
抗弯刚度
弯曲正应力计算公式
变形几何关系
y
物理关系 静力学关系
E E y
1 M
EIZ
正应力公式
My
IZ
弯曲正应力计算公式 My
IZ
横截面上最大弯曲正应力
max
Mym a x Iz
横力弯曲最大正应力
max
Mymax Iz
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力公式 My
IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲;
2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用
q=60KN/m
A
B
1m C
3m
180
120
30
K
z
1 C 截面上K点正应力
y
2 C 截面上最大正应力
Mmax 1.2105 N.m，试校核其强度。
8 4
28 14
16 单位：cm
分析： 1、塑性材料， 非对称截面；
[ ] [ ] 70MPa
2、寻找形心 确定形心主轴位置；
3、确定中性轴位置；
4、计算图形对中性轴的主惯性矩 5、确定危险点，进行强度校核
6、公式
max
My Iz
（1）确定中性轴的位置
上压下拉
M
M
或者
危险截面只有一个。
危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,max
Myc Iz
c
强度条件表达式
上拉下压
② 脆性材料梁的危险截面与危险点 M
危险截面有两个： 每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；
各危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,max
M I z / ymax
Wz
Iz ym a x
——截面的抗弯截面系数；。
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步 伽利略时代钢铁没有出现
但他开辟了理论与实践 计算构件的新途径。
是“实验力学”的奠基 人
[ ]
d 0.8 D