弯曲正应力
弯曲杆件正应力计算公式课件
曲杆件的性能。
基于能量方法的正应力计算
01
基于能量方法的正应力计算的扩展
能量方法是分析结构的一种有效方法。通过能量方法，可以更准确地计
算正应力分布。
02
考虑材料弹性的影响
在能量方法中，可以考虑材料的弹性性质，从而更准确地计算应力分布
。
03
基于能量方法的复杂结构分析
对于复杂的结构，基于能量方法可以更有效地进行正应力计算和分析。
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
数值模拟和实验研究
未来研究可以通过数值模拟和实 验研究来进一步验证和改进弯曲 杆件正应力计算公式的准确性和 适用范围。同时，也可以通过这 些方法来研究复杂加载条件下的 正应力分布和结构响应。
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
3. 变形前各横截面为平面，变形后仍为 平面。
2. 忽略材料加工硬化和蠕变等影响。
弯曲的基本假设 1. 杆件为理想弹性体，无初应力存在。
弯曲的应变与应力
应变
杆件在弯矩作用下，任意截面上 的点沿着与轴线垂直的方向移动 ，导致截面发生翘曲变形。
应力
由于截面翘曲变形，导致截面上 各点存在应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
梁的弯曲正应力实验报告
一、实验目的1. 通过实验，了解梁在弯曲状态下的应力分布规律；2. 验证梁的弯曲正应力计算公式的准确性；3. 掌握应变电测法的基本原理和操作方法；4. 培养学生严谨的实验态度和科学的研究方法。
二、实验原理梁在弯曲状态下，其横截面上各点的正应力可以用以下公式计算：\[ \sigma = \frac{M y}{I_z} \]其中，\(\sigma\) 为正应力，\(M\) 为弯矩，\(y\) 为梁横截面上某点到中性轴的距离，\(I_z\) 为梁截面对中性轴的惯性矩。
实验中，通过测量梁横截面上不同位置的应变，根据虎克定律，可计算出相应位置的应力。
实验装置主要包括梁、应变片、静态数字电阻应变仪等。
三、实验仪器与设备1. 梁材料：矩形截面试件，尺寸为 \(b \times h\)；2. 应变片：电阻应变片，用于测量梁横截面上的应变；3. 静态数字电阻应变仪：用于测量应变片输出的电阻变化，从而计算出应变；4. 加载装置：用于对梁施加弯矩；5. 游标卡尺：用于测量梁的尺寸；6. 计算器：用于计算实验数据。
四、实验步骤1. 准备实验装置，包括梁、应变片、应变仪等；2. 将应变片粘贴在梁的预定位置，确保应变片与梁表面紧密贴合；3. 接通应变仪电源，调整应变仪的量程和灵敏度；4. 使用游标卡尺测量梁的尺寸，记录数据；5. 在梁上施加预定的弯矩，确保梁处于弯曲状态；6. 使用应变仪测量梁横截面上不同位置的应变，记录数据；7. 根据实验数据和应变片的位置，计算出梁横截面上不同位置的应力；8. 比较实验测得的应力与理论计算值，分析误差原因。
五、实验结果与分析1. 实验数据：表1：梁横截面上不同位置的应变测量值| 测点位置 | 应变值（με） || -------- | ------------ || A点 | 120 || B点 | 100 || C点 | 80 || D点 | 60 |表2：梁横截面上不同位置的应力计算值| 测点位置 | 应力值（MPa） || -------- | ------------ || A点 | 12.00 || B点 | 10.00 || C点 | 8.00 || D点 | 6.00 |2. 结果分析：通过实验数据与理论计算值的比较，可以看出，在梁的弯曲状态下，应力在梁横截面上呈线性分布。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
材料力学第五章 弯曲应力
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
§2-1 弯曲正应力、剪应力、剪力流、剪切中心
可求剪力流： 可求剪力流：
再由
q =τ ⋅ δ
q=
Qy
πδ
( −cosϕ) 1
Zb
Qy = Q
y
dϕ
y
dA
B
o、 c
ϕ
r
z
z
δ
2. 求截面弯曲中心
因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上，既 因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上， ，只需求 Zb
1）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中 ）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲； 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 由两个相交矩形组成的截面的弯曲中心
2）对于具有对称轴的截面 ） 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点， 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点，既为 弯曲中心
τmax
以宽翼缘工字形截面为例： 以宽翼缘工字形截面为例： 腹板按二次抛物线分布最大值在 中性轴处， 中性轴处，翼板上的剪应力分布 情况较复杂，因为此时d=b，b较 情况较复杂，因为此时 ， 较 相对来说剪应力很小， 大，相对来说剪应力很小，一般 不考虑。 不考虑。
h u
y2
z
b
根据剪应力互等定理， 根据剪应力互等定理，除 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 还有与翼缘长边平行的剪应力 分量。 分量。 让我们取顶面翼缘右边部 分的应力来讨论： 分的应力来讨论： 腹板剪应力
一般情况： 一般情况： 、 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转） ｑ，根据静力等效条件 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转）
最大弯曲正应力公式_概述及解释说明
最大弯曲正应力公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在深入探讨最大弯曲正应力公式，对其进行概述和解释说明。
最大弯曲正应力公式是在工程领域中广泛使用的一种计算方法，用于评估材料在受到弯曲载荷作用时的应变情况。
通过该公式，可以确定材料能够承受的最大弯曲载荷，并从而进行结构设计和材料选型。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对最大弯曲正应力公式的介绍和分析：2. 最大弯曲正应力公式概述：首先，将简要介绍什么是弯曲应力和弯曲变形，并进一步阐明最大弯曲正应力的定义。
此外，我们还将重点介绍公式的推导过程及其中所做的重要假设。
3. 解释说明最大弯曲正应力公式的要点：接下来，在这一部分中，我们将阐明如何选择合适的安全系数和强度理论来使用该公式。
同时，我们还会详细解释正应力公式中各个参数的意义，并探讨其在实际工程中的应用和局限性。
4. 其他相关正应力公式讨论与比较：在本节中，我们将对其他相关的正应力公式进行讨论，并与最大弯曲正应力公式进行比较。
具体而言，我们将分析改进型公式和经验公式的优缺点，以及水平方向与垂直方向弯曲主应力的计算方法差异，并对各个公式的适用性和误差进行评估。
5. 结论：文章的最后一部分将对最大弯曲正应力公式进行总结，回顾其解释和适用性。
同时，我们还将讨论目前存在的问题，并提出未来研究方向的建议。
1.3 目的通过本文的撰写和阐述，旨在帮助读者全面了解最大弯曲正应力公式及其相关概念。
在工程实践中正确理解和运用该公式可以有效地预测材料在受到弯曲载荷作用时的行为，为设计安全可靠、经济高效的工程结构提供参考依据。
同时，通过对其他相关公式的比较和分析，读者也能够在实际工程中根据具体情况选择最合适的计算方法。
2. 最大弯曲正应力公式概述2.1 弯曲应力和弯曲变形简介在工程领域中，当物体受到外力作用时，会发生弯曲应力和弯曲变形。
弯曲应力是由于作用在物体上的外部载荷引起的，在物体断面上产生张力和压缩应力。
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（4）中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
Oz
y
t,max
Myt,max Iz
Iz
M / yt,max
M Wzt
c,max
Myc,max Iz
Iz
M / yc,max
M Wzc
(5) 型钢截面：参见型钢表
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。
O z
dA dA
y
z y
1 M
EI z E y
My
Iz
max
My m a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
b
⑴ 矩形截面
h
Iz
bh3 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
z
y
b3h I y 12
Wy
Iy b/2
b2h 6
65586104
21 560
148 MPa
a
166
12.5
21 560
z
max 160 MPa
a
166
560 21
a
ya ymax
max
2 560
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max
对于等直梁： M max
d
⑵ 圆形截面
z y
πd 4 I z I y 64
Wz
Wy
Iz d /2
Iy d /2
πd 3 32
D d
⑶ 空心圆截面
O y
I z
Iy
π 64
D4 d4
πD 4 1 4
z
64
d/D
Wz
Iz D/2
πD 3 32
1 4
Wy
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
Fb/4
M
m
ax
Fb 4
M
m
ax
Fb 2
发生在截面C 发生在截面B
Fb/2
120
180 40 134 86
Fb/4
C 形心 z
考虑截面B ：
20 y 20
t,max
M B y2 Iz
F / 2 2103 86 5493103
30 MPa
F 19.2 kN
c,max
Wz
对于拉压强度不同的等直梁：
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
[
c]
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对
中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉
应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试
求梁的许可荷载[F ] 。
120
180 40 134 86
F
q=F/b
A
b C bB
b
D
C 形心 z
FA
FB
解：1、梁的支反力为
F FA 4
20 y 20
7 FB 4 F
据此作出梁的弯矩图如下
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
Fb/2
180 40 134 86
120 C
形心 z 20 y 20
mn aa bb mn
平面假设
mn aa
bb mn
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且 与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于 纵对称轴的某一轴转动。
mn aa bb mn
纵向线与横向线垂直 →无剪应变 → = 0；
正应力沿横截面宽度方向均匀分布。
受压区
中性层 受拉区
中性轴 受拉区
}
C
O1 dx O2
§4-4 梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件
纵对称面
对称轴
F1
F2 B
梁变形后轴线
所在平面与外力所
在平面相重合,称为
FB 平面弯曲。
A FA
梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
纯弯曲
FS 0 M 常量
F
FF
F Fa
x
M
x
横力弯曲
FS 0 M M (x)
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
M B y1 Iz
F
/ 2 2103 134 5493104
90 MPa
F 73.8 kN
Fb/2
120
180 40 134 86
Fb/4
C 形心 z
考虑截面C：
20 y 20
t,max
MC y1 Iz
F
/
4 2103 134 5493104
30
MPa
F 24.6 kN
M
解：1、作弯矩图
Fl M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
I z 65586 cm4 Wz 2342 cm3
3、求正应力
max
M max Wz
375106 2342103
160 MPa
12.5 z
a
M maxya Iz
375106 560 21 2
mn aa
bb mn
y
E E y
——中性层的曲率半径
O
dA dA
z y
y
E y
FN
dA0
A
z
E
A
y
d
A
0
Sz 0 中性轴 z是形心轴。
M z
y
A
d
A
E
y2 d A EI z
A
1 Mz
EI z
弯曲刚度
纯弯量的中性轴是一根圆曲线。
平面假设和纵向线之间无挤压的假设 实际上都不再成立。
将纯弯曲理论推广到横力弯曲
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。
试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
12.5
F
A
FA
5m
C
10m
B
z
FB
a
166
375 kN.m 21 560