《纯弯曲时的正应力》教案
纯弯曲时的正应力
Ｄ=200
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
由
max
M W
32
D13 (1
0.64
)
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件
M z ydA M
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
N dA 0
1
A
M y zdA 0 2 M z ydA M 3
A
A
将应力表达式代入（1）式，得
N
A
dA
E
A
ydA
0
Sz ydA 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入(2)式，得
A z
dA
E
yzdA
2. 纯弯曲时的变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
3. 纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为面上无剪应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
4-2弯曲应力公开课教案课件
1.5 5400 0.12 0.18
x 0.375MPa 0.9MPa
-qL/2 应 力 之 比
x
max Mmax 2 A L 16.7 max Wz 3FS h
M
qL2/8
[ ] 7
7.8
[ ] 0.9
35
弯曲应力
q= 3.6kN/m
A
Q q L/2
L = 3m
求最大应力并校核强度
a
解：：确定计算简图如图b
2m
8m
2m
z 动静法:
图a
y
qd
A1a
g
qj
a g
PA
q=q j + q d
PB
615 10 628N / m 9.8
图b
q q j qd 1243 N / m
20
弯曲应力
PA
q=q j + q d
PB
图b
：由平衡方程求吊索动反力
qL PA PB 2 124312 7460N
M max Wz
max
F S S max z max bIz
3、三种应用：
、、校校核核强强度度：： max ； max
、设计截面尺寸：
Wz
M max
、设计载荷： Mmax Wz ; P f (Mmax )
32
弯曲应力
4、需要校核切应力的情况： 、梁的跨度较短，FS较大时，要校核切应力。 、薄腹板梁，剪力较大； 、铆接、焊接、胶合的组合截面梁，对焊缝、铆钉、 胶合面需要校核切应力； 、抗剪能力较差的各向异性材料（如木材）， 需要校核切应力。
M
qL2/8
[ ] 7
7.8
[ ] 0.9
教案-工程力学-弯曲正应力
重点与难点：
（ 1 ）区分平面弯曲、横力弯曲、纯弯曲和对称弯曲等概念的异同，并准确掌 握。
学时安排与分配：
此节总学时为 0.5 学时。
教 一．引例
学
基
本
பைடு நூலகம்
内
容
教学手段 设计与应用
引入：
以火车车轮轴上的内力与应力等 4 个问题作为引例，调动学生 学 生 熟 悉 的 火 车轮轴案例 学习兴趣。 提出问题： 提出问题： 前两个 问题 ①如何简化出火车车轮轴的力学模型? 中，多数学生 依据前面所学 ②如何计算火车车轮轴的内力? 内容可 以回 答。
幻灯演示 总结出纯弯曲 变形特征；得 到基本假设
（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面；仍垂直于 。 变形后梁的轴线。 （b）纵向纤维间无正应力。 结合变形立体图，学习中性层和中性轴的概念。
幻灯演示： 结合变形立体 图，学习中性 层、中性轴概 念。
概念 中性层
概念描述 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的 一层，称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解 释。 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的 各点的连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式 演示。 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得 到的。
××××大学
教 案
课 程 名 称 ： 工程力学 任 课 单 位 ： ××××学院 授 课 对 象 ： 20××年级 主 讲 教 员 ： ××× 授 课 时 间 ： 2014 年 ×季学期
××××大学 ××××学院
2014 年 09 月
材料力学_邓宗白_纯弯曲时的正应力
[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 smax 相等的空心轴，空心轴内外
径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
σ max
=
M W
π 32
D13
(1
−
0.64
)
=
7.9
×10−4
D1 = 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
-6-
《纯弯曲时的正应力》教案
连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
-1-
《纯弯曲时的正应力》教案
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
3． 直梁横截面上弯曲正应力公式 σ = My Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
σ = My Iz
4. 导出σ max 的表达式、抗弯截面模量 W 的定义及常用横截面 W 的表达式。
b
σ max
=
Mymax Iz
=M I z ymax
抗弯截面系数( Section Modulus)
z
y d
矩形截面
W = I z = bh3 12 = bh2
查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如 T 形钢)， ymax 有两个，对应 W 也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
-2-
《纯弯曲时的正应力》教案
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
实验七 纯弯曲梁的正应力实验[DOC]
![实验七 纯弯曲梁的正应力实验[DOC]](https://img.taocdn.com/s3/m/7a921bac03d276a20029bd64783e0912a2167c9f.png)
实验七纯弯曲梁的正应力实验[DOC]
实验目的：研究梁的中间点和两端点载荷作用下，现对象梁的变形和应力响应关系；测量梁的悬臂梁跨度；实现双轴载荷下梁的变形和应力的测量。
实验原理：该实验中的梁采用的是纯弯曲（非支承梁），根据应力方程和变形方程，可将变形和应力计算出来；悬臂梁跨径由始及终支点的水平位移量和圆半径决定。
实验仪器：梁材、载荷架、千分表、探头等测试器具。
实验步骤：
1. 将测试材料准备好，将梁安放到载荷架上，并调节支点的位置，使梁跨径恒定。
2. 调节载荷架，给两端点施加线性载荷，以产生纯弯的梁曲线。
3. 使用千分表和探头记录梁曲线的支点位置，从而计算梁跨径。
4. 根据应力方程和变形方程，计算梁中间点和两端点处的应力和变形量。
实验结果：
通过测量和计算，实验获得以下结果：
梁跨度：397 mm
中间点应力：234 MPa
两端点应力：110 MPa。
6 纯弯曲梁的正应力实验
实验六纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的1. 梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律；2. 验证纯弯曲梁的正应力计算公式；3. 测定泊松比μ；4. 掌握电测法的基本原理；二、实验设备1. 材料力学多功能实验台；2. 静态数字电阻应变仪一台；3. 矩形截面梁；4. 游标卡尺；三、实验原理1. 测定弯曲正应力本实验采用的是低碳钢制成的矩形截面试件，当力F 作用在辅助梁中央A 点时，通过辅助梁将压力F 分解为两个集中力2/F 并分别作用于主梁（试件）的B 、C 两点。
实验装置受力简图如下图所示。
根据内力分析，BC 段上剪力0=S F ，弯矩Fa M 21=，因此梁的BC 段发生纯弯曲。
在BC 段中任选一条横向线（通常选择BC 段的中间位置），在离中性层不同高度处取5个点，编号分别为①、②、③、④、⑤，在5个点的位置处沿着梁的轴线方向粘贴5个电阻应变片，如下图所示。
D C B a F/2F/2E a ⑥ ⑤ ①② ④ ③ hb根据单向受力假设，梁横截面上各点均处于单向应力状态，应用轴向拉伸时的胡克定律，即可通过测定的各点应变，计算出相应的实验应力。
采用增量法，各点的实测应力增量表达式为：i i E 实实εσ∆=∆式中：i 为测量点的编号，i ＝1、2、3、4、5；i 实ε∆ 为各点的实测应变平均增量；为各点的实测应力平均增量； 纯弯梁横截面上正应力的理论表达式为：z i i I y M ⋅=σ ; 增量表达式为： zi i I y M ⋅∆=∆σ 通过同一点实测应力的增量与理论应力增量计算结果比较，算出相对误差，即验证纯弯曲梁的正应力计算公式。
以截面高度为纵坐标，应力大小为横坐标，建立平面坐标系。
将5个不同测点通过计算得到的实测应力平均增量以及各测点的测量高度分别作为横坐标和纵坐标标画在坐标平面内，并连成曲线，即可与横截面上应力理论分布情况进行比较。
2. 测定泊松比在梁的下边缘纵向应变片⑤附近，沿着梁的宽度方向粘贴一片电阻应变片⑥（电阻应变片⑥也可贴在梁的上边缘），测出沿宽度方向的应变，利用公式εεν'=，确定泊松比。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
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《纯弯曲时的正应力》教案
南京航空航天大学刘荣梅
一、教学目标
1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。
2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。
3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。
4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。
二、教学重点和难点
1．纯弯曲和横力弯曲
（1）纯弯曲杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。
（2）横力弯曲杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。
2．中性层和中性轴
（1）中性层杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。
在教学中以立体图形的方
式加以解释。
（2）中性轴中性层和横截面的
交线，即横截面上正应力为零的各点
的连线，称为中性轴。
在教学中以立
体图形的方式演示。
（3）中性轴的位置纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。
强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
z
M y I σ=
m ax M W
σ=
3．直梁横截面上弯曲正应力公式
横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。
横截面上最大正应力
其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式：
（1） 矩形截面 2
6
bh W =
（2） 实心圆截面 3
32
d
W π=
（3） 空心圆截面 3
4
(1)
32
D
W πα
=
- （4） 型钢 查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢)，m ax y 有两个，对应W
也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
五、 解决方案及时间安排
（一）概述（10'）
1．以火车车轮轴上的应力计算及横截面设计的问题作为引例，调动学生学习兴趣，并介绍纯弯曲及横力弯曲的概念，从而引入纯弯曲时的应力分析。
2．以模型演示的方式，引导学生观察实验现象，自己总结出纯弯曲变形特征；并引出基本假设。
（二）推导纯弯曲时横截面上的正应力公式（25'）
1．利用变形几何关系推导出横截面上的应变。
2．由物理关系得到横截面上应力的分布规律。
3．利用静力平衡方程得到横截面上正应力计算公式，并由轴力N=0确
定中性轴的位置。
4．导出
σ的表达式、抗弯截面模量W的定义及常用横截面W的表达m ax
式。
5．例题讲解，在例题的讨论中回答引例提出的问题，达到首尾呼应的
目的。
（三）结论与讨论（15'）
1．首先回顾本堂课的内容，作小结；
2．提出四个讨论题
讨论1：给学生灌输正确的力学观念：弯曲正应力与材料弹性模量无关。
以后在做科学研究时，可以用便宜的材料代替贵的材料，所得到的弯曲正应力的结果可直接应用。
讨论2：从古代建筑中梁构件出发，博古引今，调动学生积极性，利用刚学习的知识去解决实际问题并考证前人总结的经验。
讨论3：叠梁问题，有一定的难度，启发学生积极思考，鼓励学生以小论文的方式展开讨论。
讨论4：承上启下，引出如何
计算横力弯曲时的正应力，为下堂
课的内容埋下伏笔。
六、教学内容。