第五章 弯曲应力1
第五章习题答案
5-1 把直径1d mm =的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。
设200E GPa =解：钢丝绕在直径为D 的卷筒上后产生弯曲变形，其中性层的曲率半径为22D d Dρ+=≈（因D d >>） 该钢丝中产生的最大应力为39maxmax/211020010100/22y d d E E E Pa MPa D D σρ-⨯====⨯⨯=5.4 矩形截面悬臂梁如图所示。
已知4l m =，23b h =，10/q kN m =，[]10MPa σ=，试确定此梁横截面的尺寸。
解：作梁的弯矩图如图所示。
梁的最大弯矩发生在固定端截面上。
22max 111048022M ql kN m ==⨯⨯=⋅ 由强度条件，有max maxmax 26[]z M M W bhσσ==≤ 将23b h =代入上式，得0.416416h m mm ≥=== 22773b h mm =≥ 5.5 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[]160MPa σ=，试求许可载荷F 。
解：（1）求支座反力。
选整个梁为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有0yF =∑，0A B F F F F ++-=()0AM=∑F ，6240B F F F ⨯-⨯+⨯=解得：13A F F =，13B F F =-M O212qlM O（2）作梁的弯矩图如图所示。
由图可知该梁的最大弯矩为max 23C M M F ==查表得No.20a 工字钢的抗弯截面系数为3237z W cm =，由强度条件，有max max 2/3[]z zM F W W σσ==≤ 解得663[]3237101601056.922z W F kN σ-⨯⨯⨯⨯≤==所以许可载荷56.9F kN =。
5.8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。
材料为45钢，380s MPa σ=，取安全因数1.5n =。
试校核压板的强度。
解：由受力分析可知最大弯矩发生在m m -截面处，且其值为3max 10.0215.4100.02308M P N m =⨯=⨯⨯=⋅m m -截面的抗弯截面系数z W 为333max11302030121212156810zz I W mm y ⨯⨯-⨯⨯=== 压板的最大应力为max max 9308197156810z M MPa W σ-===⨯ 而许用应力为380[]2531.5sMPa nσσ===截面m-m因最大应力小于许用应力，所以压板的强度足够。
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学习题册答案-第5章 弯曲应力
第 五 章 弯 曲 应 力一、是非判断题1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。
（ × ）2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。
梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。
（ √ ）3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力maxσ不一定出现在maxM的截面上。
（ × ）4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。
（ √ ）5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。
（ × ）6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。
（ × ）7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。
（ √ ）二、填空题1、应用公式y I Mz=σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。
2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。
3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力=S FbhF23 。
4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为226161bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 Hbh BH 66132- 。
x三、选择题1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。
2、如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。
则当F增大时，破坏的情况是（ C ）。
A 同时破坏；B （a）梁先坏；C （b）梁先坏3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。
若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ）A B C DA BDx四、计算题1、长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知m h 18.0=，m b 12.0=，m y 06.0=，m a 2=，kN F 1=，求C 截面上K 点的正应力。
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
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Q
+
Qmax 1.5 5400 – x max 1.5 A 0.12 0.18 qL 0.375MPa 0.9MPa [ ] 2
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Q h
4
例 T 字形截面的铸铁梁受力如图， 铸铁的[t]=30MPa，[c]=60 MPa，
2bh F2 10KN 3
F3 I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F F1 , F2 , F3 min 3.75KN
思
考:
§5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面
一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
1
2 z
180 30
120 y
M1 y 1 2 Iz 60 60 105 61.7MPa 5.832
Wz I z / y max I z / 0.09 6.48 104 m 3
M1 Mmax
（2）此截面上的最大正应力；
1max
M1 60 104 92.6MPa Wz 6.48
（3）全梁的最大正应力；12来自120180 30
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
(4)求1—1截面的曲率半径。
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M1 Mmax
§5–3
梁横截面上的剪应力
矩形截面梁
画危面应力分布图，找危险点
A 2 t
MC y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
A3t
MB y1 4 52 27.2MPa 8 Iz 76310
A1 G
A4c
y1
y2
MB y2 4 88 46.2MPa 8 Iz 76310
性轴处。
M Q
带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。 M Q
* Qmax S z max b Iz
2、正应力和剪应力强度条件：
max
M max Wz
max
Wz 5 4.57Wz1
max 2.3 m (= Q A ) f
工字形截面与框形截面类似。
选用合理的截面形状
在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数W愈大，则梁 的承载能力就愈高材料远离中性轴的截面（如圆环形、 工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面 高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不
需要考虑弯曲剪应力的情况
(1)短梁，载荷靠近 支座，剪力较大.
（2）工字型截面梁， 腹板上切应力较大.
（3）焊接梁的焊缝 ，铆接梁的铆接面或 胶结梁的胶接面.
已知
Q=F
Mmax Fl
max
M max 6Fl 2 WZ bh
F1 3.75KN
y = 0
处切应力最大
其截面形心位于C点，y1=52mm，
y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核 此梁的强度。并说明T字梁怎样放 置更合理？ A1 G y1 解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
MC 2.5kNm 下拉、上压 ( )
y2
A2
M B 4kNm （上拉、下压）
qL 2
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
qL 3600 3 5400N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
求最大应力并校核强度
max
qL 2
M max 6 M max 6 4050 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [ ]
D 3 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
max 2 m
当
D12
4
2 2a1 时, a1
2 D1
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
2
3 1
max 1.5 m
2a1
z
a1
当
D12
4
2 2 2a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
max
3F 2bh
2bh F2 10KN 3
( y)
QSZ 胶 bIZ
*
SZ
*
h b yc 25 104 mm3 3
F3
I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F1 3.75KN
铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核剪应力。
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
例 矩形(bh=0.12m0.18m）截
A B 面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪 应力之比,并校核梁的强度。 解：画内力图求危面内力 x
指出:矩形木梁的合理高宽比为
h h 2 时, 强 度 最 大 ; 3 时, 刚 度 最 大 。 b b
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
M 强度：正应力： Wz
剪应力：
* QSz bIz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z
Wz1
D 3
Bending
Stresses
第五章
弯曲应力
§5–1 引言
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 弯矩M 正应力 剪应力
简化为外伸梁如图：
AC BD
dA
E
A
y dA
2
M
M z (dA) y
A
Ey2
A
dA
E
A
y 2dA
EI z
M
EIz
杆的抗弯刚度。
1
M EI z
Ey
My IZ
（四）最大正应力：
My IZ
凹入一侧的受压应力
凸出的一侧受拉应力
max
My max M Iz Wz
Physics relation
Ey
E
Ey
3. 静力学关系
statics relation
S z 0 Z (中性)轴过形心
M
M
z
y
(dA) z
A
Eyz
A
dA
E
A
yzdA
EI yz
EI z
0
(dA) y
A
Ey2
A
开始发生纯弯曲变形， 注意观察纵向线和横向 线的变形情况. 3、变形后，纵向线弯 曲成为弧线，横向线仍 保持为直线，且垂直与 弯曲了的弧线
a A
P
P
B
a
纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变形 称为纯弯曲。如AB段。 x
Q
x M
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 （一）变形几何规律：
{
Q M
横力弯曲 CD
{
M
Q图
纯弯曲
M图
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
1、变形前在矩形梁表面
画相互垂直的纵向线和 横向线，mm和nn为横 截面，间距为dx.
2、在M的作用下，梁
B截面处M值为负,所以中性轴以上受拉,以下受压.
C截面处M值为正,所以中性轴以上受压,以下受拉.
例2 受均布载荷作用的简支梁如
图所示，试求：
（1）1——1截面上1、2两点的 正应力； 180 30 （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
1
2 z
120 y
（4）已知E=200GPa，求1—1
方向：与横截面上剪
力方向相同； 大小：沿截面宽度均 匀分布，沿高度h分布 为抛物线。 最大剪应力为平均剪 应力的1.5倍。
max
3Q 1.5 2A
min max
铅垂剪应力主 要腹板承受
（95~97%）
max
Q Af
max min
; Af —腹板的面积。
截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
M1 Mmax
x 1
60kNm
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
（1）1——1截面上1、2两点的正应力；
bh3 120 1803 Iz 1012 5.832 10 5 m 4 12 12
1.梁的纯弯曲实验 a b M a b c c 横向线(a b、c d）变形 d M