工程力学2第五章 弯曲应力
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第五章 弯曲内力与弯曲应力
21
五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。 Fs=Fs(x）————剪力方程 M=M(x) ————弯矩方程 q
Fs ( x) qx
A L B
(0 x l ) (0 x l )
x
1 2 M ( x) qx 2
注意：不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 M(+) M(+) M(–) M(–)
15
三、注意的问题 1、在截开面上设正的内力方向。 2、在截开前不能将外力平移或简化。
四、简易法求内力： Fs=∑Fi（一侧） ， M=∑mi。（一侧）。 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
16
[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 qL
2
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例
工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：F源自F F FFF
3
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
4
5
二、弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：
6
F1
BY CY B CY
0.5a
FCY 3F FBY 2 F
（2）简易法求内力 1--1截面取左侧考虑：
Fs1 FBY 2F M1 FBY 0.3a Fa (2F ) 0.3a Fa 0.4Fa
2--2截面取右侧考虑： Fs 2 F
M 2 F 0.5a 0.5Fa
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第11章弯曲应力精品PPT课件
2. 应力计算
M M e 2.0 0 km N s
max
M Wz
10.18MPa
3. 变形计算
1 M
EI z 16m 6
EI z
M
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13
§2 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩 简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
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14
静矩与惯性矩
静矩
Sz
ydA
Iz Ay2dA IzAy0a2dA
Iz A y 0 2 d A 2 a A y 0 d A A 2a
Iz0 Ay02dA Ay0dA0
Iz Iz0 Aa2
同理得： IyIy0Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
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17
例题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力
抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
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11
例题
例 1-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
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2
§1 对称弯曲正应力
引言 弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式 例题
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3
引言
弯曲应力 弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
材料力学第五章 弯曲应力-正式
9
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
工程力学：弯曲应力
Q 的4 A3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴
上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若以
S
* z
m
a
x
表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴
的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
m axQ m aI xz S b z *m ax 79
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
2
max
3Q 2bh
3Q 2A
最大剪应力是平均剪应力 平
Q A
的 1.5倍。
2. 工字型截面梁的剪应力 主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。
可按照矩形截面梁的剪应力公式计算：
Q
S
* z
I zd
式中：d —腹板宽度
S
* z
—图中因阴影部分面积对中性轴之
静矩。
图 7-5
IQ zdb 2(h 42h 4 12)d 2(h 4 12y2)
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直 线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线， 仍保持平行;上、下部分的纵向线分 别缩短和伸长 。
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
《材料力学》教学课件—第5章 弯曲应力
M C 901 601 0.5 60kN m
x 90kN
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 105 m4
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
K
MC IZ
yK
60 103
(180 2
30)
103
5.832 105
61.73MPa
23
2. C 截面最大正应力
q=60kN/m
Wz
bh2 Wz = 6
1 2 hh2 63
h3 9
M max
[ ]
11.25 103 10 106
1125106 m3
h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 mm b 2 h 144 mm
3
40
y2=139 y1=61
例5-3 外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已知材料的许用应力
IZ
• 纯弯曲或细长梁的横力弯曲 • 横截面惯性积 IYZ=0 • 弹性变形阶段
19
梁理论发展进程
Galileo Galilei 1564-1642
近代科学之父
20
梁理论发展进程
Jacob Bernoulli 1654-1705
Galileo Galilei 1564-1642
E. Mariotte 1620-1684
A
1m
FAY
C
l = 3m
Fs 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
30
K
z
y
C 截面弯矩
M C 60kN m
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max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN
M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m
x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
52 z1 z
I z 7.6410 m
-6
4
yc 52mm
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 5210-3 t ,max 7.6410-6 27.2 106 Pa 27.2MPa t
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
28
目录
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs ) 2、切应力沿截面宽度均匀分布
29
切应力互等定理：
知识点补充
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
2
E
1
Iz M
变形几何关系
物理关系 静力学关系
Ee
M EI Z 1
e
y
M E Iz
E
1
y
为梁弯曲变形后的曲率；此 公式为求弯曲变形关键公式
正应力公式
为曲率半径，
My IZ
10
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
t ,max t
c,max c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180
例题5-1
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
FBY
FS 90kN
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 - 60 1 0.5 60kN m
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
IZ Wz y max
圆截面
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
IZ Wz
d
4
64
bh IZ 12
3
3
IZ
D
3
4
64
(1 - 4 )
b0 h0 bh 3 IZ 12 12
3
d
32
bh Wz 6
2
3 3 b h bh D 0 0 4 W ( ) /(h0 / 2) Wz (1 - ) z 12 12 32
m m
FS M
？
m
4
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
a
b
m´ n´
a´
b´ m´
m x n
a´ b´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平 面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，只是绕截面内某一 轴线偏转了一个角度。
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
M
-
ql 2 / 8 67.5kN m
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 10-5 m 4 12 12 90kN 180 60 103 ( - 30) 10 -3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 -5
§5-2 纯弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度 不变－－中性层 中间层与横截面的 交线－－中性轴
中性轴
中性层
横截面对称轴
中性轴⊥横截面对称轴
目录
一、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
ql 2 / 8 67.5kN m
x
104.17 106 Pa 104.17 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180 120
4. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
FBY
C 截面惯性矩
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。材料力学不 加说明一般默认为细长梁。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My 公式适用范围 IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 103 8810-3 t ,max 7.6410-6 28.8 106 Pa 28.8MPa t
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
b y A x n n1 dx P m m1
M
-
x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 10 -3 2 5.832 10 -5
ql 2 / 8 67.5kN m
x
60 103
92.55 106 Pa 92.55MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120
x
FN1 * 1dA
A
* F
dFS’
A
B1 B FN2
N1
My1 M * dA y1dA * A I Iz A z M * Sz Iz M dM * FN 2 * 2dA Sz A Iz
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
'
30
31
(2)分析方法(Analysis method) 讨论部分梁的平衡
m n
F1
F2 m
n
q(x)
m
M τ’ A m B n M+dM y
x
n dx
m’
z
m
y
dx
n x
B
z y A1 x
h
o
A1 B1 A
B1
A m’ B
FN1
m’ FN2
y
A
b m
n
dx
32
y
m
n
z
m’
x A1 z
bh I z y dA y bdy ; A -h / 2 12
2 h/2 2
3
y
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R - y dy
2 2 2 2 A -R
R
R
4
4
D
4
64
3. 全梁最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
最大弯矩
z y
M max 67.5kN m
截面惯性矩
I z 5.832 10-5 m 4
FBY
FS 90kN
M
-
max
x 90kN
M max ymax IZ 67.5 103 180 10 -3 2 5.832 10 -5