工程力学(单辉祖)_第11章_弯曲应力
《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
〔2〕弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如下图简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作 用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
y
对dx 段进展平衡分析，有
x Y0即为
x dx
Q (x)q(x)dxQ (x)dQ (x)0
q(x)dxdQ (x) q(x)
Q(x)+d Q(x) 剪力与分布载荷间的关系为
M(x)
A
Q(x) dx M(x)+d M(x)
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
〔1〕剪力Q。 绕争论对象顺时针转为正剪力；反之为负。
〔1〕计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与 坐标系相全都。
〔2〕计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计 算简便为原则。
工程力学课后习题答案单辉祖著
工程力学课后习题答案单辉祖著工程力学课后习题答案（单辉祖著）在学习工程力学这门课程时，课后习题的练习与答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
单辉祖所著的《工程力学》一书，以其严谨的逻辑和丰富的内容，成为众多学子学习工程力学的重要教材。
下面，我们将为您详细呈现这本教材的课后习题答案。
首先，让我们来谈谈第一章的习题。
在这部分中，主要涉及到静力学的基本概念和受力分析。
例如，有一道题是关于一个简单的支架结构，要求画出其受力图。
对于这道题，我们需要明确各个构件之间的连接方式，判断是固定铰支座、活动铰支座还是其他约束类型，然后根据力的平衡条件，准确地画出每个构件所受到的力。
答案中，我们清晰地标注了各个力的大小、方向和作用点，并且通过合理的布局，使受力图易于理解。
第二章的习题重点围绕平面汇交力系和平面力偶系展开。
其中，有一道计算题要求计算多个力在某一点的合力。
在解答这道题时，我们首先将每个力分解为水平和垂直方向的分力，然后分别计算水平和垂直方向上的合力，最后通过勾股定理求出总的合力大小和方向。
答案的给出过程中，每一步的计算都有详细的说明，让学习者能够清晰地看到解题的思路和方法。
第三章的内容是平面任意力系。
这一章的习题难度有所增加，涉及到力系的简化、平衡方程的应用等。
比如，有一道题是求解一个复杂结构在给定载荷下的支座反力。
解题时，我们先对力系进行简化，找到主矢和主矩，然后根据平衡方程列出方程组，通过求解方程组得到支座反力的大小和方向。
答案中不仅给出了最终的结果，还展示了求解方程组的具体步骤和计算过程，方便学习者对照检查自己的解题过程。
第四章是空间力系。
这部分的习题对于空间想象力和数学运算能力有一定的要求。
例如，有一道题要求计算空间力在坐标轴上的投影以及对某点的矩。
在解答时，我们需要运用空间直角坐标系的知识，通过三角函数等方法求出投影的大小，再根据矩的定义计算出对某点的矩。
答案中会详细说明投影和矩的计算过程，并且配以适当的图示，帮助学习者更好地理解空间力系的概念。
教案-工程力学-弯曲正应力
重点与难点：
（ 1 ）区分平面弯曲、横力弯曲、纯弯曲和对称弯曲等概念的异同，并准确掌 握。
学时安排与分配：
此节总学时为 0.5 学时。
教 一．引例
学
基
本
பைடு நூலகம்
内
容
教学手段 设计与应用
引入：
以火车车轮轴上的内力与应力等 4 个问题作为引例，调动学生 学 生 熟 悉 的 火 车轮轴案例 学习兴趣。 提出问题： 提出问题： 前两个 问题 ①如何简化出火车车轮轴的力学模型? 中，多数学生 依据前面所学 ②如何计算火车车轮轴的内力? 内容可 以回 答。
幻灯演示 总结出纯弯曲 变形特征；得 到基本假设
（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面；仍垂直于 。 变形后梁的轴线。 （b）纵向纤维间无正应力。 结合变形立体图，学习中性层和中性轴的概念。
幻灯演示： 结合变形立体 图，学习中性 层、中性轴概 念。
概念 中性层
概念描述 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的 一层，称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解 释。 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的 各点的连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式 演示。 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得 到的。
××××大学
教 案
课 程 名 称 ： 工程力学 任 课 单 位 ： ××××学院 授 课 对 象 ： 20××年级 主 讲 教 员 ： ××× 授 课 时 间 ： 2014 年 ×季学期
××××大学 ××××学院
2014 年 09 月
工程力学第十一章弯曲应力课件
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
工程力学课后答案_单祖辉主编
2-2解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2) 列平衡方程：12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3解：(1) 取整体ABCD 为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：(2) 由力三角形得215151.1222D A D AD A F F FF F F BC AB AC F F F F F =====∴===2-4解：(1) 研究AB ，受力分析并画受力图：(2) 画封闭的力三角形：相似关系：B A F F FCDE cde CD CE ED∆≈∆∴== 几何尺寸：F AC F BCC F 2F 1xyFF DF ADACBF F AF DFF BF A dceA B45o FF BF ACD Eα12010 252010.4 245arctan 18.4B A o oCE F F kNCDED F F kN CDCECD α=⨯=⨯==⨯=⨯==-=2-6解：(1) 取DE 为研究对象，DE 为二力杆；F D = F E(2) 取ABC 为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形：'15166.7 23A D E F F F F N ===⨯= 2-7解：（1）取铰链B 为研究对象，AB 、BC 均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；12BC F F =(2) 取铰链C 为研究对象，BC 、CD 均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；223cos302o CB F F F ==由前二式可得：EDF EF D F F A F ’D BD A FF ’DF A 34 3 B F 1 F BCF ABF BCF AB F 1 45o CF 2F CBF CDF 2F CB F CD12122213 2260.61 1.634BC CB F F F F F F F or F F ==∴===2-9 解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB 、AB 、AD 均为二力杆，画受力图，得到一个空间汇交力系；(2) 列平衡方程：0 cos 45 cos 4500 cos 6000 sin 60sin 45sin 450o o x AC AB o yAD o o o zAD AC AB F F F F F F FF F F =⨯-⨯==-==--=∑∑∑解得：62 1.2 0.735 4AD AC AB AD F F kN F F F kN ===== AB 、AC 杆受拉，AD 杆受压。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
《工程力学》课程教学大纲
《工程力学》课程教学大纲课程名称：工程力学课程类别：专业基础课教学学时: 72课程学分: 4学分开课专业: 工程管理开课学期: 第2学期参考教材:1. 《工程力学》，高等教育出版社，2004年1月（主编：单辉祖，谢传锋）2. 《工程力学》，黄河水利出版社，2009年7月（主编：孟凡深）一、课程性质《工程力学》课程是工程管理专业的一门专业基础必修课。
本课程是一门理论性、系统性较强的专业基础课必修课，是后续其它各门力学课程和相关专业课程的基础，同时在许多工程技术领域中有着广泛的直接应用。
二、课程目标（一）知识目标使学生具备工程力学的基础知识，掌握正确的受力分析和力系的破坏平衡条件。
对工程结构中杆件的强度问题具有明确的概念和一定的计算能力。
初步掌握杆件体系的分析方法，初步了解常用结构形式的受力性能。
掌握各种结构在荷载作用下维持平衡的条件以及承载能力的计算方法。
（二）职业技能目标掌握本专业必备的基础理论知识，具有本专业相关领域工作的岗位能力和专业技能，适应建筑工程生产一线的技术、管理等职业岗位群要求的技术及管理人才。
（三）素质养成目标培养适应社会主义现代化建设需要的德、智、体、美全面发展的高端应用型人才。
三、教学内容及学时分配章节教学内容学时第一章绪论 1第二章静力学基本知识 4第三章平面汇交力系 3第四章平面一般力系的简化8第五章一般力系的平衡10第六章材料力学基本知识 2第七章轴向拉伸与压缩10第八章剪切和挤压 2第九章扭转 2第十章截面的几何性质 2第十一章梁的弯曲14第十二章梁的变形 4第十三章应力状态和强度理论 4第十四章组合变形 4第十五章压杆稳定 2合计72四、教学内容要点第一章绪论教学学时数：1一、教学目的及要求通过本章的学习，要求学生了解工程力学的研究对象和任务，了解国内外力学发展史及概况，并对其发展与展望作简单介绍，激发学生学习兴趣。
二、教学重点与难点（一）教学重点：1、工程力学课程的性质、任务和要求。
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A
n
ydA AyC
n
[L]3
－截面对z轴的静矩
S
i 1
zi
S y zdA AzC
A
i 1
Ai yCi
Sy
Az
i 1
n
i Ci
惯性矩
I z A y 2dA
Iz Iz i
I y z dA
2 A
[L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
n
i 1
Iy
I
i 1
解：1. 弯矩计算 2. 形心位置计算
Sz
M B Fl 6000 N m
由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
19
A
A1 yC 1 A2 yC 2 yC A1 A2
bd
d db d b 2 2
本章主要内容
对称弯曲正应力
对称弯曲切应力
弯曲强度计算与合理强度设计 双对称截面梁非对称弯曲 弯拉（压）组合应力与强度
5
§11.2 对称弯曲正应力
弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式
例题
6
弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
7
试验现象 横线为直线，仍与纵线正交
纵线变为弧线，靠顶部纵线缩短,
D=1400mm的带轮上，钢带的弹性模量E=200GPa。试求： 钢带内的最大弯曲正应力 max 与钢带承受的弯矩 M
解：1. 问题分析
已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力 应力～变形关系：
E
y
max E
ymax
内力～变形关系：
M EI z 1
M
3
弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力
弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的 弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的
对称弯曲
对称截面梁，外力作用在该对称面内，梁的变形对称于纵 向对称面－对称弯曲
4
变形形式与本章内容
变形形式
基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲
组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合 弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
I p d 4 Iz 2 64
Ip 2I z
d 4 2 d 3 Wz 64 d 32
17
平行轴定理
平行轴定理
建立 I z 与 I z0 的关系
I z A y 2dA
I z A y0 a dA
2
2 I z A y0 dA 2a A y0 dA Aa2
30
§11.5 梁的强度条件
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件 例题
31
梁危险点处的应力状态
实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
33
梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 14 章中的强度理论）
y
(a)
dA 0 A
(b)
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
EI － 截面弯曲刚度
z
(d)(a)
My max max Iz
2
I z I z1 I z 2 8.84106 m4
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) c,max B 64.5 MPa Iz
t,max
20
例 3-2 已知：宽 b = 6mm，厚 d = 2mm的钢带环绕在直径
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
18
I z I z0 Aa2
同理得：
I y I y0 Ab2
例 题
例 3-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
MS z (w ) F Iz
S z (w ) dM ( y) bI z dx
( y)
FS S z (w ) I zb
h 1 h b h2 2 S z (w ) b y y y 2 2 2 2 4
假设 (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
1 dF F 0, 'bdx ( y)bdx dF ( y) b dx
x
F dA M w Iz
w
y*dA
MS z (w ) Iz
24
Sz(w)－面积 w 对中性轴 z 的静矩
( y) 1 dF b dx
公式仍足够精确
26
薄壁截面梁的弯曲切应力
工字形薄壁梁 假设 : // 腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布
FS S z (w ) ( y) I zd
( y)
FS 2 b( h0 h2 ) d ( h2 4 y2 ) 8 I zd
max (0)
h min ( ) 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210-6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210-6 m4
12 2
29
例 题
例 4-1 FS = 15 kN, Iz = 8.8410-6 m4, b =
120 mm, d 20 mm, yC = 45 mm。试求:
max ；腹板与翼缘交接处切应力 a
解： Sz ,max d (d b yC ) (d b yC )
2
Sz ,max
靠底部纵线伸长 纵线伸长区，梁宽度减小；纵线缩 短区，梁宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力－单向受力假设 8
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面的交线－中性轴
对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面。 因此，中性轴垂直于横截面纵向对称轴
bh3 Iz 12
3FS 4 y 2 ( y) 1 2 2bh h
max 3
FS 2A
25
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 切应变非均布 截面翘曲
当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 仍保持线性分布
当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯
d (d b ymax 7.66 MPa I zd b bd d yC 8.40 10-5 m3 2 FS S z ,a a 7.13 MPa I zd
9.03 105 m3
My ( y) Iz
Iz Wz －抗弯截面系数 ymax
M max Wz
11
总 结
假设 平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面
( y)
y
( y) E ( y)
dA 0 ydA M A A
结论
中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z 1.66 105 m4 Wz 1.85 104 m3
13
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 max 与
E bd 3 1.141 N m M 12
d
3. 弯矩计算
M EI z 1
EI z
22
§11.4 对称弯曲切应力
矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的弯曲切应力
弯曲正应力与弯曲切应力比较
例题
23
矩形截面梁的弯曲切应力
弯曲切应力公式 狭窄矩形截面梁 (h>b)
当腹板厚度 d 远小于翼缘宽度b时，最大与最小切应力的差值 很小。因此，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布的27
盒形薄壁梁
假设 : // 腹板侧边,
并沿腹板厚度均布
FS Sz (w ) I z 2d
( y)
w
FS 2 ( y) b( h0 h2 ) 2d ( h2 4 y2 ) 16 I zd
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m