南京工业大学 工程力学弯曲应力习题答案
材料力学 第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力一、选择题1.平面弯曲梁的横截面上，最大正应力出现在（ D ）A．中性轴； B．左边缘； C．右边缘； D．离中性轴最远处。
2. 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。
则当F增大时，破坏的情况是（ C ）。
A 同时破坏；B （a）梁先坏；C （b）梁先坏二、计算题（共28分，每题14分）MPa100][=τ，试选择工字钢的型号。
16.2kNm8kNm。
解：内力图如上所示，剪力、弯矩最大截面为危险截面。
[]σσ≤=ZWMmaxmax[]363max25.10110160102.16cmMWZ=⨯⨯=≥σ选用14号工字钢，并用其计算剪应力。
此时，cm bcm S I Z Z 5.5,12*== Z Z bI S Q *max max=τ []MPa MPa 100331012105.51022233max =≤=⨯⨯⨯⨯=--ττ 说明14号工字钢剪应力强调满足强度要求，故选用14号工字钢。
2.梁AB 为10号工字钢，W z =49cm 3，已知梁下表面C 处横截面上的正应力σc =60MPa 。
试求载荷F 的值。
（14分）解 C 处的弯矩为 F M C 1.0= （3分） 由zC C W M =σ得 z C C W M ⋅=σ （5分） 即 66104910601.0-⨯⨯⨯=F （3分）得 4.29=F kN （1分）3.一矩形截面外伸木梁，截面尺寸及荷载如图示。
q=1.3 kN/m 。
已知需用弯曲正应力[]10MPa σ=，许用切应力2MPa τ=（1）求二支座支反力（2）画出对应的剪力图与弯矩图。
（3）试校核梁的正应力和切应力强度。
（15分）解：（1）max max 1.61 3.912.29 1.02A B F KN F KN Q KN M KN m ====⋅；；（2） 对应的剪力图和弯矩图如下：（3）[]6max 2z M 1.02106σ7.08MPa W 60120σ⨯⨯===<⨯ []3max 3Q 3 2.2910τ0.477MPa 2A 212060τ⨯⨯===<⨯⨯ 故梁的正应力和切应力均满足强度要求。
弯曲应力习题—答案
弯曲应力习题—答案1 简支梁承受均布载荷如图所示。
若分别采用截面面积相同的实心和空心圆截面，且D 1=40mm ，5322=D d ，试分别计算它们的最大正应力。
并问空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了百分之几？解 因空心与实心圆截面面积相等，所以()22222144d D D -=ππ2222222222215453⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=D D D d D D 将D 1=40mm 代入上式，得502=D mm ，302=d mm均布载荷作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁的跨度中间截面上m 1kN m N 821028232max ⋅=⋅⨯⨯==ql M最大正应力发生在梁跨度中点处截面的上下边缘 实心截面梁的最大应力()159MPa Pa 04.01032323331max max max=⨯===ππσD M W M空心截面梁的最大应力()93.6MPa Pa 53105.010********42232max max =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='ππσD d D M W M 最大正应力的比较 空心截面比实心截面梁的最大正应力减少了%1.411596.93159max max max =-='-σσσ2 试计算图所示矩形截面简支梁的1-1截面上a 点和b 点的正应力和剪应力。
解 应用平衡条件求出支座反力0=∑B M ，10002000⨯=⨯P R A64.3=A R kN1－1截面内力Q =R A =3.64kN ，m kN 64.31⋅=⨯=A R Ma 点的正应力和剪应力6.03MPa Pa 15.010*******)4075(1064.333331=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==--z a I My σ0.379MPa Pa 107515.01075121105575401064.333393=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---*b I QS Z Z a τb 点的正应力和剪应力12.9MPa Pa 15.0075.0611064.323=⨯⨯⨯==W M b σ0=b τ3 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。
弯曲应力典型习题解析
[ q ] = 15.68 kN / m 。
讨论：本题中根据题意，没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。在实际工程设计时，工字钢
3
等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力。 3 材料相同，宽度相等，厚度 h 1/ h 2 = 1 / 2 的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示，梁上
承受均布载荷 q。(1) 若两板简单叠放在一起，且忽略接触面上的摩擦力，试计算此时两板 内最大正应力；(2) 若两板胶合在一起不能相互滑动，则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少？
q
h1 h2 A l
Ｂ
b
题3图 解题分析：两板叠放在一起，在均布载荷 q 作用下，两梁一起变形，在任一截面上，两者弯 曲时接触面的曲率相等。小变形情况下，近似认为两者中性层的曲率相等。根据该条件，可 计算出各梁分别承担的弯矩。然后再分别计算两梁的最大应力。两板胶合在一起时，按一个 梁计算。 解：1、计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为 ρ 1 和 ρ 2 ，两梁承担的弯矩分别为 M 1 和 M 2 ，截面惯性矩分别为 I 1 和 I 2 。则由前面分析知 ρ 1 = ρ 2 。
2
得 d = 227 mm 。 6 截面为 40 mm×5 mm 的矩形截面直杆，受轴向拉力 F = 12kN 作用，现将杆件一侧开一
切口，如图 a 所示。已知材料的许用应力 [σ ] = 100 MPa ， (1) 计算切口许可的最大深度，并 画出切口处截面的应力分布图。(2) 如在杆的另一侧切出同样的切口，正应力有何变化？
讨论：从计算结果可以看出，杆的两侧有切口虽然截面面积减少，但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小， 可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。 这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因。 7 图示直径为 d 的均质圆杆 AB 承受自重，B 端为铰链支撑，A 端靠在光滑的铅垂墙上。试
第9章弯曲应力与弯曲变形习题解答
第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。
解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a) (b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
设q = 60kN/m ，F = 100kN 。
试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。
（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。
解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力MPa 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzMPa 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。
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第 五 章 弯 曲 应 力一、是非判断题1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。
（×）2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。
梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。
（√）3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力maxσ不一定出现在maxM的截面上。
（ × ）4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。
5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。
（ × ）6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。
（ × ）7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。
（ √ ）二、填空题1、应用公式y I Mz=σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。
2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。
3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为226161bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 Hbh BH 66132- 。
）2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F 。
则当F 增大时，破坏的情况是 （ C ）。
A 同时破坏 ；B （a ）梁先坏 ；C （b ）梁先坏3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。
若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ）x四、计算题1、长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知m h 18.0=，m b 12.0=，m y 06.0=，m a 2=，kN F 1=，求C 截面上K 点的正应力。
解：MPa I y M Z C K1.21218.012.006.0210133=⨯⨯⨯⨯==σ2、⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。
理论力学 第四章_07.8.28_
第四章 弯曲应力4-1 试求图示各梁中指定横截面上的剪力和弯矩。
解：（a ）m kN M kN F m kN M F s s ⋅−=−=⋅−==12 ,5 ,2 ,02211 （b ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅=−=⋅==6 ,3 ,6 ,22211 （c ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−==⋅==6 ,4 ,4 ,42211 （d ） ,5 ,67.111m kN M kN F s ⋅==（e ）e e s e e s M M aMF M M a M F −=−=−=−=2211 ,4 ,4 ,4, e s M M F −==33 ,0 （f ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−=−=⋅−==25.15 ,81.11 ,25.15 ,5.122211 （g ）m kN M F m kN M kN F s s ⋅−==⋅−==40 ,0 ,45 ,302211（h ）34 ,0 ,1211 ,4302220101aq M F a q M a q F s s ====4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：（a）（b）（c）（g）（d）（e）（f）4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
解：有中间铰的梁的内力图画法与普通梁无异，关键是求出约束反力。
4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。
试作梁的弯矩图和载荷图。
已知梁上没有集中力偶作用。
解：（a ）A 、B 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于该截面剪力的突变值。
CD 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
（b ）A 、C 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于相应截面上剪力的突变值。
AC 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
工程力学第2版-周松鹤、徐烈烜-习题解答-弯曲应力
t = 1.5 cm
h yC = - t 2
yA = - 16 cm = - yD M1·A y sA = Iz = - 14.44 MPa sD = 14.44 MPa
yB = - 14.5 cm = - yC M1·B y sB = Iz = - 13.09 MPa sC = 13.09 MPa
弯曲应力
习题解答
C FC 1.5l
1 1
h 4 D
P80 43-1 反力 指定截面 F
l 1.5l
z y
B
FD
b
mD = 0 Fy = 0
FC = 10 kN
M1 = FC×1.5 = 15 kN· m bh3 Iz = = 8×10-5 m4 12 yB = 10 cm yA = - 5 cm M1·A y sA = Iz = - 9.375 MPa M1·B y sB = Iz = 18.75 MPa
1.625 kN
1.239 m
2.289 kN 1.016 kN· m
Wz S│max = 2.289 kN F bh3 = 864 cm4 Iz = 12 * Szmax = 108 cm3 b = 6 cm
│FS│max·zmax S
*
M图
0.998 kN· m
tmax =
Iz· b
= 0.48 MPa
3 9 │ M max h≥ [s ]
= 41.6 cm
取 h = 42 cm 2 b = h = 28 cm 3
P82 44-1 指定截面 F
C FC 1.5l
1 1
h 4 D
A
l 1.5l
z y
B
FD
b
弯曲应力
第5章 弯 曲 应 力 习题(1) 如图5.18所示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F ，试问： ① 吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？② 吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？(2) 如图5.19所示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F ，在梁的截面C —C 处下边缘上，用标距s =20mm 的应变仪量得纵向伸长s ∆=0.008mm 。
已知梁的跨长l =1.5m ，a =1m ，弹性模量E =210GPa 。
试求F 力的大小。
图5.18 习题(1)图图5.19 习题(2)图(3) 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图5.20所示。
已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[]σ=170MPa 。
试求梁的许可荷载[F ]。
图5.20 习题(3)图(4) 简支梁的荷载情况及尺寸如图5.21所示，试求梁的下边缘的总伸长。
图5.21 习题(4)图(5) 一简支木梁受力如图5.22所示，荷载F =5kN ，距离a =0.7m ，材料的许用弯曲正应力[]σ=10MPa ，横截面为bh =3的矩形。
试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。
图5.22 习题(5)图(6) 如图5.23所示，一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F =5kN ， 1.5a =m ，[]σ=10MPa 。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比bh ，以及梁所需木料的最小直径d 。
图5.23 习题(6)图(7) 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如图5.24所示。
木料的许用弯曲正应力[]σ=10MPa 。
现需在梁的截面C 上中性轴处钻一直径为d 的圆孔，试问在保证梁强度的条件下，圆孔的最大直径d (不考虑圆孔处应力集中的影响)可达多大？图5.24 习题(7)图(8) 当荷载F 直接作用在跨长为l =6m 的简支梁AB 之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。
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3、 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为mm 。
求：梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力。
解：1. 计算梁的1－1截面上的弯矩：
3
1m 110N 1m+600N/m 1m 1300N m 2M ⎛⎫
=-⨯⨯⨯⨯=-⋅ ⎪⎝
⎭
2. 确定梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力： A 点：
()
33
6
3
-3-315010m 1300N m 2010m
210P a M P a ()
10010m 15010m
12
z A z M y I σ--⎛⎫⨯⋅⨯-⨯ ⎪⎝⎭==⨯=⨯⨯⨯＝2.54 2.54拉应力
B 点：
()
)1.62MPa(Pa 1062.112
0.15m 0.1m m 04.020.150m m N 130063
压应力=⨯=⨯⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⋅==z z B I y M σ
4、 圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。
图中尺寸单位为mm 。
已知F P ＝10kN ，q ＝5kN/m ，许用应力[]σ＝140 MPa ，试校核梁的强度。
习题7－4图
习题7－8图
解：画弯矩图如图所示：
()()[]36max1max 3
-31
32306510N m
113810Pa=1138MPa<π14010m ...M W σσ⨯⨯⋅==⨯⨯实＝ ()()
[]36
max2max 4
32
-3
322010N m 100310Pa=1003MPa<100π14010m 1140..M
W σσ⨯⨯⋅=
=⨯⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
空＝ 所以，梁的强度是安全的。
5、 悬臂梁AB 受力如图所示，其中F P ＝10 kN ，M ＝70 kN ·m ，a ＝3 m 。
梁横截面的形状及尺寸均示于图中(单位为mm)，C 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩I z ＝1.02×108 mm 4，拉伸许用应力[]＋
σ＝40 MPa ， 压缩许用应力[]－
σ＝120 MPa 。
试校核梁的强度是否
安全。
解：画弯矩图如图所示：
M (kN.m)
习题7－9图
C 截面 33+6max
8124
3010N m 96.410m 283510Pa=2835MPa 1.021010m ..σ
--⨯⋅⨯⨯==⨯⨯⨯ 336max
8124
3010N m 153.610m 451710Pa=4517MPa 1.021010m
σ--⨯⋅⨯⨯==⨯⨯⨯..－ D 截面
[]33+6max
8124
4010N m 153.610m 602410Pa=6024MPa>1.021010m
σ
σ--⨯⋅⨯⨯==⨯⨯⨯..
336max
8124
4010N m 96.410m 37810Pa=378MPa 1.021010m
..σ
--⨯⋅⨯⨯==⨯⨯⨯－ 所以，梁的强度不安全。
M (kN.m)
6、试求图示T 形截面铸铁梁的最大拉应力和最大压应力。
试题答案：
解：最大压应力在截面B 下边缘 33
max
5
251014210137 MPa 2.5910B y M y I s
---创?===´
最大拉应力在截面D 下边缘 33max
5
14.1101421077.3 MPa 2.5910D y M y I s
-+
-创?===´
7、当力F 直接作用在梁AB 中点时，梁内的最大正应力超过许用应力30%。
当配置了辅助梁CD 后，强度满足要求，已知梁长 6 m l =，试求此辅助梁的跨度a 。
试题答案：
解：分别作无辅助梁和有辅助梁 的弯矩图
m a x
(130%)[M W
s s ==+]
, 4 1.34 1.3Fl Fl W s []=
=创所以 1.385 m 1.3
l
a l =-=
45
m 10
59.2-⨯I =z
7－2 图示之AB 为简支梁，当载荷F P 直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30％。
为减小AB 梁内的最大正应力，在AB 梁配置一辅助梁CD ，CD 也可以看作是简支梁。
试求辅助梁的长度a 。
解： 1．没有辅助梁时
[][]max
max P 4130,.M W
F l
W
σσσ=
≤=
[]()[]max
max P 322,M W
F l
a W
σσσ=
≤-= ()[]()P P 32241301303231384m
...F l F l a W W
a a σ-==⨯⨯-==。