第五章 梁的应力
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
第五章 受弯构件——梁
§5-1 梁的类型和应用
一、梁：实腹式受弯构件，承受横向荷载。
梁的截面内力：弯矩和剪力。 二、梁的类型 （1）型钢梁：热轧型钢梁、冷弯薄壁型钢梁 （2）组合梁: 实腹式梁 格构式梁——又称为桁架
三、梁格类型
梁格：由纵横交错的主梁和次梁组成的平面承重
体系。 梁格按主次梁的排列方式分为三种类型： （1）单向梁格（简式梁格）：只有主梁，适用于柱 距较小的情况。 （2）双向梁格（普通式梁格）：有主梁和一个方向 的次梁，次梁支撑在主梁上。是最常用的梁格类型。 （3）复式梁格（复杂梁格）：在主梁间设纵向次梁， 纵向次梁间再设横向次梁的梁格。梁格构造复杂，传 力层次多，只在必要时才采用。
取最大弹塑性弯矩 Mx max =γx Me ， （1.0≤γx＜γF）
则梁的弹塑性工作弯矩
Mx≤Mx max=γxMe=γxWnx fy
即
Mx/(γxWnx) ≤ fy
梁的抗弯强度计算公式：
（1）单向弯曲时
Mx/(γxWnx)≤f
(2)双向弯曲时
Mx/(γxWnx)+My/(γyWny)≤f
式中γx、γy----截面塑性发展系数。 按142(董218)页表5－1取用。
对翼缘局部稳定不利，应取γx=1.0。
二、梁的抗剪强度
根据《材料力学》的剪力流理论，以截面的
最大剪应力不超过剪切屈服点为设计准则。
梁的抗剪强度计算公式：
截面中性轴处
Hale Waihona Puke τ＝VSx / (Ixtw) ≤ fv
三、梁的腹板局部压应力强度
梁在承受固定集中荷载处无加劲肋， 或承受移动 集中荷载（如轮压）作用时， 腹板边缘在压力作用点处压应力最大， 向两边逐渐减小。
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
工程力学5
B
l Fl
| M |max Fl 1.2 F N m
查附录型钢表3，
x
4 3
Wz 185cm 1.85 10 m
3
M
由： 得： 故：
M max Wz
1.2F (1.85 104 ) (170 106 )
[ F ]max
185 170 26.2kN 1.2
* N2 * N1
* * 得 dFS＝FN F 2 N1
其中 dFS＝ bdx
* FN 2 dA Ay
* FN 1
M dM y1dA Ay Iz M dM y1dA Ay Iz
Ay
* FN 2
M dM Sz Iz
M F Sz Iz
* N1
dFS
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横 截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如 y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。 （5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述
公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
§5-2
横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面
q
一.横力弯曲时梁的正应力及其强度条件
q b
M ( x)
z h
l
y
b
Fs ( x)
由于τ的存在，横截面发生翘曲（§5-3）。平面假设不成立， 且还有沿y的挤压正应力。 由弹性力学结果表明，当l/h≥5时，用（5-2）式计算跨中截面的 最大正应力，其误差≤1.07%。所以工程中仍用纯弯曲时的正应 力公式，计算横力弯曲时的正应力。但要注意，横力弯曲时， 弯矩是x的函数，所以
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是空心圆轴。试求轴内的 最大正应力。
解：(1)由弯矩图判断危险截面 RA=2.93kN; RB=5.07kN 向上
危险截面可能在C、B截面
1.17kNm
(2)计算抗弯截面模量
实心圆轴Wz ： 空心圆轴Wz’：
Wz
D3
32
63 32
21.2 cm3
Wz
D 32
3
1
d D
4
900 15.6 106
1.17kNm
57.7 MPa
轴的最大正应力发生在B截面处，其值为57.7MPa。
最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。
例5-3简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得
其应变=6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，
y
d
yd d y
d
(1)
式(1)表明线应变ε与它到中性层的距离 y 成正比。
yd d y
d
(1)
说明：式 (1) 由平面假设和几何条件推得，与梁的材 料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此 式均适用。
（二）物理关系：
E
y
M
E y
(2)
在中性轴上：y =0， =0。
63 32
1
43 60
4
15.6
cm 3
(3)计算最大正应力
5KN
3KN
A
C φ60
B φ43
400 RA
M +
1000 300
RB 0.90kNm
-
C截面的最大正应力：
max
C
MC Wz
1.17 103 21.2 106
55.2 MPa
B截面的最大正应力：
max
B
MB Wz
6.48 104m3
1max
M1 Wz
60 107 6.48
92.6MPa
max
Mmax Wz
67.5 107 6.48
104.2MPa
A
5kN C φ60
[例5-2]如图所示圆轴，
B
3kN φ43
在A、B两处的轴承可简化 为铰支座，轴的外伸部分
400 RA
M +
1000 300 RB
1
EIz M1
200 5.832 10 60
194.4m
30
180
20 180 30
120
求应力
1
z
2
y
Iz
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105m4
1
M1 y1 Iz
60 60 5.832
105
61.7MPa
2
M1 y2 Iz
60 70 105 5.832
72MPa
Wz
bh2 6
纵线（aa、bb）：变为曲线， 凹侧缩短，凸侧伸长。
压缩区
纵向对称面
中性层
拉伸区
中性轴
平面假设：(plane assumption) ：梁的横截面在弯曲变 形后仍然保持平面，且与变形后的梁轴线垂直， 只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
中性层(neutral surface) ：中间既不伸长亦不缩短的 一层纤维。
材料力学
第五章 梁的应力
§5–1 概述 §5–2 梁在平面弯曲时横截面上的正应力 §5–3 梁的正应力强度条件 §5–4 弯曲切应力 §5–5 梁的切应力强度校核 §5–6 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心 §5–7 提高弯曲强度的措施
§5-1 概述
F
F
A
C
D
a l-2a a
F Fs +
F
+
M Fa
z x
y
(三)静力学关系：
M
σ E y (2) ρ
zM x
y
x
Aσ
dA
A
E ρ
y dA
E ρ
A y dA
E ρ
Sz
0
则Sz 0 z轴 (中性轴)过形心
z O
y
x
dA
z
y
M y
A (dA)z
A
Eyz dA
ρ
E ρ
E
yzdA
A
ρ I yz
y轴为对称轴
0
M z
(σdA) y
A
拉应力（t ）
★ 适用条件：①平面假设；②单向受力假设； ③服从虎克定 律； ④拉伸与压缩时的弹性模量相等。
★ 只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内，公式 (3)、(4) 就可适用。
（四）最大正应力：
Wz
Iz ymax
max
Mmax ymax Iz
Mmax Wz
抗弯截面模量（section modulus in bending）
y
Wz
Iz ymax
bh3 12 bh2 h2 6
Wz
Iz ymaxΒιβλιοθήκη D4 64 D3D2
32
Wz
Iz ymax
D3 (1 4 )
32
Ch z b
D
d
DdDd
D
梁的横截面不对称于 z 轴(中性轴)：
max
M y1 Iz
M
max
max
M y2 Iz
二、 横力弯曲时的正应力
max
y2 y1 z y
Ey 2 dA E
Aρ
ρ
y2dA EI z M
A
ρ
1 M （3） EIz－梁的抗弯刚度
ρ EI z
1/ρ为梁弯曲变形的中性层的曲率
E y (2)
z
My (4)
M
1 M (3)
Iz
x EIz
符号：拉为正，压为负。
y
压应力（c ）
通常用M、y的绝对值来计算 正应力的大小，再由弯曲变形 判定是拉应力还是压应力。
平面弯曲的分类：
B
纯弯曲(pure bending) (CD段)：
Fs=0，M=const≠0
横力弯曲（transverse bending） (AC、DB段) ： Fs、M同时存在。
§5-2 平面弯曲时横截面上的正应力
一、纯弯曲时横截面上的正应力
mn
aa
bb
mn
M
mn
aa
bb
mn
横 线 （ mm 、 nn ） ： 仍 为 直 线，发生了相对转动，仍与 M 变形之后的梁轴线垂直。
横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。
对于跨高比 l/h>5 梁，剪力Fs的影响很小，可推广使用 纯弯曲梁的正应力公式。
[例5-1] 受均布载荷作用的简支梁如图，试求：
（1）1-1截面上1、2两点的正应力；
（2）1-1截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。
1
q=60 kN/m
120
30
180
20 180 30
1
z
A
1
1m
B
2
2m
y
解：画M图：
12
qlx qx2
M
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
120
ql2/ 8
Mmax ql2 / 8 67.5kNm
1
q=60 kN/m
A
1
1m
B 2m
12
M
(kNm)
60
M1
67.5
120
Mmax
求曲率半径
中性轴(neutral axis) ：中性层与梁横截面的交线，垂 直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）
（一）变形几何关系
纵向对称面
M
z 中性轴 O
中性层
x
OO
b by
dx
曲率半径
M
O 曲率 中心
d
M
y
O b
O b
曲率 K 1 d
y 对称轴
dx
bb dx OO OO d
bb