投资组合优化的数学模型

投资组合优化的数学模型
一、引言
投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。

在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。

本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。

二、投资组合优化模型
投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。

下面将分别进行介绍。

1.均值-方差模型
均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。

其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。

具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。

均值-方差模型的数学表达式如下：
$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:
w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$
其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。

该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。

但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考
虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实
际应用中有着一定的局限性。

2.风险价值模型
风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。

与传统的风险度
量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。

VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合
的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的
是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。

风险价值模型的数学表达式如下：
$$\begin{aligned} \min VaR_p(w) &= -w^{T}\mu+z_p\sigma_p \\ s.t.\: w^{T}\mu\geq r_p,\: |w_i|\leq c,\: \sum\limits_{i=1}^nw_i=1,\:
w_i \geq 0\end{aligned}$$
其中，$w$为资产权重向量，$\mu$为资产收益率的均值向量，$\sigma$为资产收益率的标准差向量，$z_p$表示在p置信水平下
的标准正态分布的分位数，$r_p$为期望收益率的下限，$c$为资产权重的绝对值上限。

该模型可根据投资者的风险偏好，来制定不同的置信水平，从而确定不同的投资组合。

三、投资组合优化实例
下面，我们以一个包含两个资产的投资组合为例，来说明均值-方差模型和风险价值模型的具体应用。

假设资产$A$的预期收益率为$8\%$，标准差为$15\%$，资产$B$的预期收益率为$12\%$，标准差为$25\%$。

进一步假设两资产之间的相关系数为$0.6$。

1.均值-方差模型
根据均值-方差模型，我们可以通过计算投资组合的期望收益和方差，来优化资产权重的配置。

假设我们要求投资组合的预期收益为$10\%$，则均值-方差模型的优化问题可表示为：
$$\begin{aligned} \min\:
\frac{1}{2}\begin{bmatrix}w_A&w_B\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_A^2&\rho\sigma_A\sigma_B \\
\rho\sigma_A\sigma_B&\sigma_B^2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}w_A \\ w_B \end{bmatrix} \\
s.t.\:\begin{bmatrix}w_A&w_B\end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_A \\
r_B \end{bmatrix} =10\%, \:\begin{bmatrix}w_A&w_B\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} =1, \:w_i\geq 0\end{aligned}$$
该优化问题可通过MATLAB等工具进行求解。

在此不再赘述。

2.风险价值模型
根据风险价值模型，我们可以通过设置置信水平，来确定投资
组合的最大可能损失。

假设我们的置信水平为$95\%$，期望收益为$10\%$，则风险价
值模型的优化问题可表示为：
$$\begin{aligned} \min\: -w_A\times 8\%-w_B\times
12\%+z_{0.95}\times \sqrt{w_A^2\times 0.15^2+2\times 0.6\times
0.15\times 0.25\times w_Aw_B+w_B^2\times 0.25^2} \\ s.t.\:
w_A+w_B=1,\: 0.1\leq w_A,w_B\leq 1\end{aligned}$$
同样，该优化问题也可通过MATLAB等工具进行求解。

四、总结
投资组合优化是投资领域的一个重要问题，通过合理地分配不
同资产的权重，可以达到最优化的投资效果。

本文对投资组合优
化的数学模型进行了分析和探讨，包括均值-方差模型和风险价值
模型。

不同的模型在考虑的因素和方法上有所不同，投资者可以
根据实际情况进行选择，以达到最优化的资产配置。