数学建模 组合优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模 - 第一章 组合优化模型与计算复杂性
概念的一种表达形式 . 可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同
侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系 模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种 统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角 抽象，它反映现实中对象系统的主要特征，但它又高 度、考察因素和价值取向 . 于现实，因而具有同类问题的共性 .
16
第一章
组合优化模型与计算复杂性
2、按模型的解的特征分类 解析模型与数值模型 3、按模型所用的数学方法分类 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优
化模型等
4、按模型研究的实际范畴分类
人口模型、生态系统模型 、交通流模型、经济
模型、 基因模型等 5、按对实际问题了解的程度分类 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具
体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 . 这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度 概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .
13
§1 组合优化模型与算法 2、高度的精确性 数学方法的高度精确性表现在三个方面： 一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当 明确、清楚；二是逻辑推演和运算规则十分严密；三
s.t. x1 x4 x5 x6 x7 67 某商场根据客流量统计得出一周中每天所需要的
（线度）必须是偶数条 . 见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因 这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例 的第一篇论文 而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一
这是关于图论
笔画不存在 .
故七桥问题不可能有解 .
12
数学建模四大模型总结
数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于难问题。
l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。
工人完成工作的时间为。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
天然肠衣搭配问题的数学建模
天然肠衣搭配问题是一个组合优化问题，通常涉及到在满足一系列约束条件下，选择合适的肠衣以最大化某种目标函数。
下面我将提供一个简单的数学模型，以帮助您理解这个问题。
假设我们有n种不同的天然肠衣，每种肠衣都有不同的长度和特性。
我们的目标是选择一定数量的肠衣，使得它们的总长度最大，同时满足以下约束条件：
每种肠衣的数量不能超过其最大供应量。
选择的肠衣必须满足特定的品质要求。
选择的肠衣的总成本不超过预算限制。
数学模型如下：
目标函数：最大化所有选择的肠衣的总长度。
约束条件：
每种肠衣的数量不超过其最大供应量。
选择的肠衣必须满足品质要求。
选择的肠衣的总成本不超过预算限制。
我们可以用线性规划或整数规划等优化方法来解决这个问题。
这些方法可以帮助我们在满足约束条件下，找到最优的肠衣搭配方案，使得目标函数达到最大或最小值。
需要注意的是，天然肠衣搭配问题可能涉及到更多的因素和复杂的约束条件，需要根据具体情况进行适当的调整和扩展。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
组合约束优化模型
组合约束优化模型组合约束优化模型是一种常用的数学建模工具，用于解决在给定约束条件下，如何选择最佳的组合方案的问题。
这种模型可以应用于各种实际场景中，比如资源分配、生产计划、物流调度等等。
在组合约束优化模型中，首先需要明确问题的目标和约束条件。
目标是指我们希望通过优化模型来达到的最终效果，可以是最大化某个指标或者最小化某个成本。
约束条件则是对问题的限制，比如资源的限制、时间的限制等等。
接下来，我们需要定义决策变量。
决策变量是我们需要在模型中进行选择的变量，可以是某个产品的生产数量、某个资源的分配方案等等。
通过对决策变量的选择，我们可以得到不同的组合方案。
在确定了目标、约束条件和决策变量之后，我们可以建立数学模型。
数学模型是将实际问题转化为数学表达式的过程，通过对模型的求解，可以得到最佳的组合方案。
在建立数学模型时，我们需要考虑目标函数和约束条件的表达方式。
目标函数是我们希望优化的指标，在模型中通常表示为一个数学表达式，可以是某个变量的线性组合或者非线性函数。
约束条件则是限制决策变量的取值范围的条件，可以是等式约束或者不等式约束。
在建立数学模型时，我们还需要考虑问题的特点和限制。
比如，如果问题具有多个目标，我们可以使用多目标优化方法来求解；如果问题存在不确定性，我们可以使用鲁棒优化方法来求解。
在求解组合约束优化模型时，通常使用优化算法进行求解。
常用的优化算法包括线性规划、整数规划、动态规划、遗传算法等等。
这些算法可以根据问题的特点和要求进行选择，以获得最佳的求解效果。
在实际应用中，组合约束优化模型可以解决各种复杂的问题。
比如，在生产计划中，我们可以利用组合约束优化模型来确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本；在物流调度中，我们可以利用组合约束优化模型来确定最佳的运输路线，以最小化运输时间或者成本。
组合约束优化模型是一种强大的数学建模工具，可以帮助我们在给定约束条件下选择最佳的组合方案。
通过合理的模型设计和优化算法选择，我们可以解决各种实际问题，提高效率和效果。
数学建模中的模型优化与参数校准
数学建模中的模型优化与参数校准数学建模是解决实际问题的一个重要手段，通过对实际问题进行抽象和建模，可以利用数学方法求解问题并得到结果。
模型的优化和参数校准是数学建模过程中的两个重要的环节，本文将对这两个环节进行详细的探讨。
一、模型优化模型优化是指对已有的模型进行改进，使其更加适合于解决实际问题。
在实际应用中，我们往往会发现原有的模型存在一些缺陷，或者不能满足我们的需求，这时就需要对模型进行优化。
模型优化的方法很多，常用的方法包括参数调整、模型结构调整、数据采集等。
其中，参数调整是最常用的方法之一。
在建立模型时，我们往往需要确定一些参数，这些参数对模型的性能有着重要的影响。
如果模型的参数选择不合适，那么模型的预测结果可能会偏差较大。
因此，在实际应用中，我们需要对模型的参数进行调整，以获得更好的预测效果。
模型参数的调整通常有两种方法，一种是手动调节，另一种是自动调节。
手动调节的方式需要根据实际经验和知识对参数进行调整，这种方法虽然简单，但存在人为主观性较强的问题。
自动调节的方式则通过计算机算法自动调整模型参数，可以较好地解决人为主观性较强的问题，并且可以快速找到最优的参数组合，提高模型的预测精度。
另外，模型结构调整也是模型优化的一个重要方法。
模型的结构可以根据实际问题进行调整，例如，可以增加一些变量来改进模型的预测效果。
此外，数据采集也是模型优化的一个重要环节，通过增加更多的数据可以提高模型的预测精度，但同时也需要保证数据的质量和可靠性。
二、参数校准参数校准是指对模型中的参数进行调整，使得模型更加符合实际情况。
在实际应用中，我们往往需要将模型对实际问题进行预测，而模型中的参数是根据历史数据确定的，这些参数未必完全适用于实际问题。
因此，我们需要对模型中的参数进行校准，以获得更准确的预测结果。
参数校准通常需要依赖于实验数据，通过实验数据对模型中的参数进行调整，以获得更符合实际情况的模型。
参数校准的方法很多，常用的方法包括随机搜索、改进的遗传算法、模拟退火算法等。
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cij 表示从发点i 到收点 j 的单位产品运输费用；
xij 表示从发点i 分配给收点 j 的产品数量。
min
c
i, j
ij ij
x
m x ij a i , (i 1,2,...,m ) j 1 n s.t. x ij b j , ( j 1,2,...,n) i 1 x ij 0
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优化问题建模
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Scilab实现
用Scilab语言求解以上算例所示网络的最小费用流 Scilab语句：
clear tail=[1 1 2 2 3]; head=[2 3 3 4 4]; g=make_graph('g',1,4,tail,head); cost=[1 3 1 3 1]; max_cap=[2 1 2 4 2];
运筹学课件
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优化问题建模 求如图所示运输问题的最优解
网络分析
1
马建华
35
2
1
算例
8 6
-45 2 -20
3
9
9 9 12 13 7 14
50
3
-30 -30
9 16 5
4
40
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优化问题建模
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模型
min 8 x11 6 x12 9 x13 9 x14 9 x 21 12x 22 13x 23 7 x 24 14x31 9 x32 16x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 35 x x x x 50 22 23 24 21 x31 x32 x33 x34 40 x11 x 21 x31 45 s.t. x12 x 22 x32 20 x13 x 23 x33 30 x14 x 24 x34 30 x 0, i 1,2,3, j 1,2,3,4 ij
( s, t )
可行流：满足守恒方程的流，简称为 流 问 题 ： 求 一 个 可 行 流 x * ( xij* ) ， 使 得 v x x 达到最大值。
j * sj j * jt
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数学规划模型
max
( s , j ) A
x sj
x sj x it 0 ( i ,t ) A ( s , j )A s.t. x sj x it 0; i s, t ( i ,i ) A (i , j )A 0 x c ; (i, j ) A ij ij
(i, j ) A 的费用。 则流 x ( x ij ) 的费用为 wij xij
i, j
2,3 s 1,2
a 2,1 b
4,2
c 3,1 d
1,3
1,2
t
3,2
5,2
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问题： * * v 求一个可行流 x ( xij ) ，使其流值为得
，并且费用达到最小。
W ( e ) max W ( e )
e C ( e )
其中
C (e ) T e
为一个唯一的回路。
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算法步骤
第 1 步 开始把边按权的大小由小到大排列起来，即 a1 , a 2 ,..., a m ，i 0 ， j 1 。 第 2 步 若 | S | i n 1 ，则停。这时G[ S ] T 即为所求；否则， 转向第 3 步。 第 3 步 若 G [ S {a j }] 不构成回路， 则置 e a ，S S {ei 1 } ， i i 1 ， j j 1 ，转向第 2 步；否则，置 j j 1 ，转向第 2 步。 置
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组合优化问题
有限个可行方案中选择最优方案 最优解一定存在 可行方案的个数非常多，枚举法不可行，往往是 NP-hard问题
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组合优化问题
组合计数问题 最小费用最大流问题 最短路问题 网络设计问题 最优匹配问题 装箱问题 旅游售货员问题 车辆路径问题
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算例
求解下图所示有向网络中自点 1 到点 6 的最大流。 其中每条弧上的数表示其容量。
5 1 3
2 2 4 4
3 7
3 1 5
2 6
6
2
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迭代过程
5,2
1 2 2 4
3,2
7
3
1 5
2,2
6,2 6
3,2
4
2,2
-∞ 1
+1,3 2 3 2 1 4 4 +1,1
1 +2,1 3 7 1 5
2,2 6,2 6
2,2
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结果
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最小费用流问题
cij 给定有向网络 G ( N , A, C ,W ) ，其中
表示 弧 (i, j ) A 的 容 量 ，wij 表 示 单 位 流 通 过 弧
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结果
flag = 1. phi = ! 2. c = 11. 1. 1. 1. 2. !
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运输问题
运出地 (n个) 可 运 a2 出 量 a
3
运入地 (m个)
a1
b1
cij , i 1,2,..,n, j 1,2,...,m
b2
b3
b4
需 运 入 量
an
bm
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续
g('edge_cost')=cost; g('edge_max_cap')=max_cap; demd=[-3,0,0,3]; g('node_demand')=demd; [c,phi,flag] = min_lcost_flow2(g)
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算法步骤
第 1 步 (开始 )令x ( xij ) 是任意可行流，可能是零流，给 s 一个永久标号 ( , ) 。 第 2 步 (找增广路 ) (2.1) 如果所有标号都已经被检查，转到第 4 步。 i ，并做如下检查，对每 (2.2) 找一个标号但未检查的点 j 一个弧 (i , j ) ，如果 xij cij 且 未 j ( i , ( j )) 标号，则给 一个标号 ，其中 ( j ) min{ cij xij , (i )} ；对 每一个弧 且 未标号，则给 一个标号 ( i , ( j )) ，其中 ( j ) min{ x ji , (i )} 。 (2.3) 如果t 已被标号，转到第 3 步；否则，转到 (2.1)。
wij wij ui v j , i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
若所有的 wij 均非负，则计算结束，这时得到的 {xij } 和 {ui , v j } 分别为 原始规划和对偶规划的最优解；否则，转第 4 步。 第 4 步 (调整原始可行解) 令 wst min {wij | wij 0} i, j 即选择 xst 进入基。对应于网络中，即在支撑树上加入弧 (s, t ) ，从而得 到一个回路。并选择其流量 xst ，使这个回路上的流量通过加 或减 以达到去掉一条弧的目的，从而得到一个新的被改进的原始可行解 {xij } ，转第 2 步。
( j, i)
， 如 果 xij 0
j
j
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优化问题建模
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第 3 步 (增广)由点t 开始， 试用指示标号构造一个增 广路，指示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量 s 来增大流值。抹去 点以外的所有标号，转到第 2 步。 第 4 步 (构造最小割)这时现行流是最大的，若把所 T S ，所有未标号点的集合记为 有标号点的集合记为 ， 便得到最小容量割(S , T ) ，计算完成。
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优化问题建模
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优化问题建模
优化问题概述 数学规划模型 组合优化模型 优化算法介绍 评价方法
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优化问题建模
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优化问题建模
组合优化问题概述 网络优化设计 流量安排问题 路线选择问题
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组合优化问题概述
组合优化问题 常见的组合优化问题 组合优化问题建模步骤
单位运量的运输费用
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运输方案
确定每个运出地向个运入地运输货物的数量， 要求满足： 1、运出货物总量不得超过可运货物总量； 2、运入货物总量不得低于需运货物总量； 3、运输总费用最小
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线性规划模型
ai 表示发点i 可供应的产品数量(i 1, 2,..., m ) ； b j 表示收点 j 所需的产品数量( j 1, 2,..., n ) ；
2,3 a s
2
4,2
2
c 3,1 d
1,3
2
2,3 a t s
2
4,2
2
c
1,3
3
2,1 b
1,2 5,2