数学建模中的优化问题与规划模型
数学建模中的优化模型ppt课件
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• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
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研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
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常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
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2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学中的数学建模与优化问题
数学中的数学建模与优化问题数学建模和优化是数学领域中的两个重要概念，它们在解决实际问题中起着关键作用。
本文将探讨数学建模和优化的定义、原理及其在实际中的应用。
一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来描述和分析问题。
数学建模的核心是找到问题的本质，抽象出关键因素，并建立合适的数学模型。
通过建模，我们可以利用数学工具和方法来解决问题，预测未来的趋势，制定决策。
在数学建模中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、统计学等。
数学建模的过程通常包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证等步骤。
通过这些步骤，我们可以得到符合实际情况的数学模型，并进行预测和优化。
二、数学优化数学优化是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的一组变量取值。
数学优化在解决实际问题中，通常涉及到决策、资源分配、路径规划等方面。
通过优化，我们可以在有限资源下找到最优解，提高效率和经济性。
数学优化的常用方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些方法通过数学理论和算法，求解最优解或次优解。
在实际应用中，我们可以通过优化来改进生产制造、物流配送、交通规划等领域，提高整体效益。
三、数学建模与优化的应用数学建模和优化在各个领域都有广泛的应用。
以下是数学建模和优化在几个领域的具体应用示例：1. 交通规划：通过数学建模和优化，可以确定最短路径、优化交通信号配时、减少拥堵等，提高城市交通效率。
2. 生产制造：通过数学建模和优化，可以优化工厂生产线布局、减少生产成本、提高生产效率，增加企业竞争力。
3. 资源分配：通过数学建模和优化，可以优化资源的分配，合理规划资源的使用，提高资源利用率和经济效益。
4. 环境保护：通过数学建模和优化，可以优化污染治理方案，减少环境污染，保护生态环境。
5. 金融投资：通过数学建模和优化，可以帮助投资者制定投资组合、分散风险、最大化收益。
通过数学建模和优化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策的科学性和准确性。
优化问题中的数学规划模型
优化问题中的数学规划模型优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。
例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。
一般地，优化模型可以表述如下：minz?f(x)s.t.gi(x)?0，i=1,2,?,m (1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。
在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。
”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。
阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是…… Step 2. 确定决策变量第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标用决策变量表示的利润、成本等。
数学建模作业---优化模型
P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。
制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。
（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。
数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
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6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
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与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。
解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。
运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。
6.1 线性规划1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论.1. 问题例1 作物种植安排一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标.1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x1亩、 x2亩、 x3亩2. 优化什么？产值最大 max f=10x1+75x2+60x33. 限制条件？田地总量 x1+x2+x3≤ 50 劳力总数 1/2x1+1/3x2+1/4x3≤ 20模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩，求目标函数f=110x1+75x2+60x3在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值规划问题：求目标函数在约束条件下的最值,规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。
当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。
2. 线性规划问题求解方法称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,称使目标函数达最值的可行解为最优解.命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集.因为可行解集由线性不等式组的解构成。
两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。
命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到.图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。
命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。
于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。
单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解.正则模型:决策变量: x1,x2,…,xn. 目标函数: Z=c1x1+c2x2+…+cnxn.约束条件: a11x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束.若有 ai1x1+…+ainxn≤bi, 则引入 xn+i≥ 0, 使得 ai1x1+…+ainxn+ xn+i=bi若有 aj1x1+…+ajnxn≥bj, 则引入 xn+j≥ 0, 使得 aj1x1+…+ajnxn- xn+j=bj.且有 Z=c1x1+c2x2+…+cnxn+0xn+1+…+0xn+m.20. 将目标函数的优化变为目标函数的极大化. 若求 min Z, 令 Z’=–Z, 则问题变为 max Z’ .30. 引入人工变量,使得所有变量均为非负. 若 xi 没有非负的条件,则引入 xi’≥ 0 和 xi’’≥0,令 xi = xi’– xi’’, 则可使得问题的全部变量均非负.标准化模型求变量 x1, x2,…, xn,max Z = c1x1+…+ cnxn,s. t. a11x1+…+ a1nxn= b1,……a m1x1+…+ a mn x n=b m,x1 ≥0,…, x n ≥0,定义: 若代数方程AX=B的解向量有n-m个分量为零, 其余m个分量对应A的m个线性无关列, 则称该解向量为方程组的一个基本解.在一个线性规划问题中, 如果一个可行解也是约束方程组的基本解, 则称之为基本可行解.命题 4 一个向量 x 是线性规划问题可行解集的一个极点, 当且仅当它是约束方程的一个基本可行解。
于是寻找取得极值的凸集极点的几何问题变成了求代数方程基本解的问题，形成了解优化问题的单纯形方法，改进单纯形方法等。
按这些计算方法编制程序，产生了专门解优化问题的软件Lindo、Lingo 。
用Matlab求解：标准的线性规划的模型：min f=c T xs.t. Ax ≤ bA1x=b1LB ≤ x ≤ UBMatlab求解程序: [x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)还有软件Excel 也可应用于解优化问题。
3 对偶问题例1 作物种植安排一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.分析：以最经济的投入达到收益最大的目标.（或者说以直接出售土地和劳动力的方式达到收益最大的目标.）1 求什么？土地成本价格 y1 劳动力成本价格 y22. 优化什么？成本价格最低 Min g=50y1+20y23. 限制条件？蔬菜的市场价 y1+1/2y2≥110棉花的市场价 y1+1/3y2≥ 75水稻的市场价 y1+1/4y2≥60模型II .设决策变量: 对单位土地和对单位劳力投入成本价格分别为y1y2求目标函数g=50y1+20y2在约束条件y1+1/2y2 ≥110 y1+1/3y2≥ 75 y1+1/4y2≥60 下的最小值.设 A 是m ⨯ n 矩阵，c 是n ⨯ 1向量，b 是m ⨯ 1向量x是n ⨯ 1向量, y是1 ⨯m 向量问题: max f=c T x s.t. Ax ≤ b x i≥0, i=1,2,⋯,n.对偶问题: min f=yb s.t. yA≥ c y i≥0, i=1,2,⋯,m.对偶定理: 互为对偶的两个线性规划问题, 若其中一个有有穷的最优解, 则另一个也有有穷的最优解, 且最优值相等. 若两者之一有无界的最优解, 则另一个没有可行解模型I II构成对偶问题.模型I 解得最优解(optimun solution) X opt=(30 0 20), 最大值f(x opt)=4500模型II 解得最优解y opt=(10 200), 最小值g(y opt)=4500.模型I 给出了生产中的资源最优分配方案模型II 给出了生产中资源的最低估价.进一步问：如果增加对土地和劳动力的投入，每种资源的单位投入增加会带来多少产值？由最优解 y=(10,200) 可见, 多耕一亩地增加10元收入，多一个劳动力增加200元收入。
也就是说, 此时一个劳动力的估价为200元,而一亩土地估价为10元.这种价格涉及到资源的有效利用, 它不是市场价格, 而是根据资源在生产中做出的贡献确定的估价, 被称为“影子价格”.再进一步问，棉花价格提高到多少才值的生产？由 y1+1/3y2=10+200/3=76.6>75, （而其它两个约束条件是等式）可见，只有当棉花价格提高到 76.6元时才值得生产.4 灵敏度分析当线性规划问题中的常数发生变化(由于测量误差或具有多个取值可能)时, 最优解是否会随之变化?通常假定变化的常数是某参数的线性函数.讨论参数取值与最优解的关系的问题, 被称为参数线性规划.例如, 当农作物的价格发生变化时, 生产计划是否应马上随之改变? 参见线性规划书籍将实际问题归结为线性规划模型是一个探索创造的过程。
线性规划模型的求解仍是计算数学的一个难题。
例 2 供货问题一家公司生产某种商品. 现有n 个客户, 第 j 个客户需要货物量至少为 bj,可在m 各不同地点设厂供货. 在地区 i 设厂的费用为 di , 供货能力为 hi,向第 j 个客户供应单位数量的货物费用为 c ij. 如何设厂与供货使总费用最小.模型：设决策变量：x ij为在地区i向第j 个客户供货数量, 在地区i 设厂，记y i =1 , 否则记y i =0求目标函数f= ∑i (∑j c ij x ij + y i d i )在约束条件∑i x ij =b j, ∑j x ij -h i y i ≤0, x ij≥0, y i ∈{0，1} 下的最小值例3 钢材截短有一批钢材, 每根长7.3米. 现需做100套短钢材. 每套包括长2.9米, 2.1米,1.5米的各一根. 至少用掉多少根钢材才能满足需要, 并使得用料最省.分析：可能的截法和余料第1种7.3-(2.9×2+1.5)=0第2种7.3-(2.9+2.1 ×2)=0.2第3种7.3-(2.9+1.5 ×2)=1.4第4种7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8第5种7.3-(2.1 ×2+1.5 ×2)=0.1第6种7.3-(2.1 ×3)=1第7种7.3-(2.1+1.5 ×3)=0.7第8种7.3-(1.5 ×4)=1.3模型：设决策变量：按第i种方法截x i根钢材。
求目标函数f=0.2x2+1.4x3+0.8x4+0.1x5+x6+0.7x7+1.3x8在约束条件2x1+x2+x3+x4=100 2x2+x4+2x5+3x6+x7=100 x1+2x3+x4+2x5+3x7+4x8=100 x i≥0 , i=1,…,8 下的最小值用Matlab程序解得x opt=(40, 20, 0, 0, 30, 0, 0, 0) , f (x opt )= 7（实际上应要求x i 为正整数。
这是一个整数规划问题）。
6.2 整数规划如果要求决策变量取整数, 或部分取整数的线性规划问题, 称为整数规划.例 4 . 飞船装载问题设有n种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令c j>0表示每件第j 类仪器的科学价值;a j >0表示每件第j 类仪器的重量. 每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数. 飞船总载荷不得超过数 b. 设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大.建模记x j为第j 类仪器的装载数.求目标函数f= ∑j c j x j在约束条件∑j a j x j≤ b, x j 为正整数, 下的最大值.用分枝定界法求解整数规划问题基本思想:反复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题, 且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.例:求目标函数f=3x1+2x2在约束条件: 2x1+3x2 ≤14, 2x1+x 2 ≤ 9, x1 x 2为自然数下的最大值. 用Lindo软件求解整数规划max 3x1+2x2s.t.2x1+3x2<=142x1+x2<=9endgin x1gin x2(或者用gin 2 代替gin x1 gin x2)6.3 0-1规划如果要求决策变量只取0 或1的线性规划问题, 称为0-1规划.0-1 约束不一定是由变量的性质决定的, 更多地是由于逻辑关系引进问题的例5 背包问题一个旅行者的背包最多只能装6 kg 物品. 现有4 件物品的重量和价值分别为2 kg , 3 kg, 3 kg, 4 kg, 1 元, 1.2元, 0.9元, 1.1元. 应携带那些物品使得携带物品的价值最大?建模: 记x j为旅行者携带第j 件物品的件数, 取值只能为0 或 1.求目标函数f=x 1 +1.2x 2 +0.9x 3 +1.1x 4 在约束条件2x 1 +3x 2 +3x 3 +4x 4≤ 6下的最大值.用Lingo 软件求解0-1规划Model:Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6;@int(x1);@int(x2);@int(x3);@int(x4);end例 6 集合覆盖问题实际问题 1 某企业有5种产品要存放, 有些不能存放在一起, 有些能存放在一起的, 由于组合不同所需费用不同. 求费用最低的储存方案.实际问题 2 某航空公司在不同城市之间开辟了5 条航线, 一个航班可以飞不同的航线组合, 不同组合成本不同, 求开通所有航线且总费用最小的方案.抽象为集合覆盖问题：设集合S={1,2,3,4,5} 有一个子集类φ={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}其中每一个元素对应一个数c j , 称为该元素的费用. 选φ的一个子集使其覆盖S , 且总费用最低.即实际问题1中5种产品能存放在一起的各种组合为φ={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}第 i 种组合的存储费用为 c,j求这五种产品费用最低的储存方案。