数学建模课程设计——优化问题
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子数学建模是一种解决实际问题的方法，通过数学模型对问题进行描述，运用数学方法进行分析和求解。
在优化类问题中，数学建模的目标是通过最小化或最大化某个指标来找到问题的最优解。
在以下的例子中，我将介绍几个典型的优化问题。
1.生产计划优化假设一个公司生产两种不同的产品，每个产品的成本、销售价格和市场需求都不同。
公司希望通过合理调整两种产品的生产量，以最大化利润。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每种产品的成本、销售价格和市场需求，以及公司能够生产的总产量限制。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的生产计划，使得公司利润最大化。
2.路线规划优化考虑一个物流公司要在不同的城市之间进行货物运输，每个城市之间的距离不同，同时还考虑到交通拥堵情况。
公司希望通过合理规划运输路线，以最小化整体运输成本和时间。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个城市之间的距离、交通拥堵情况以及运输成本。
然后，可以使用图论等数学工具，求解出最优的路线规划，使得运输成本和时间最小化。
3.资源分配优化考虑一个学校要为不同的课程安排教师以及教学资源，每个课程的需求和教学资源的供应不同。
学校希望通过合理分配教师和教学资源，以最大化学生的学习效果。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个课程的需求和教学资源的供应，以及教师的专业能力。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的资源分配方案，使得学生的学习效果最大化。
4.物资库存优化考虑一个零售商要管理不同种类的商品库存，每个商品的销售量和订货周期不同，同时还考虑到库存成本和仓储空间的限制。
零售商希望通过合理管理库存，以最小化库存成本和避免缺货。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个商品的销售量、订货周期以及库存成本和仓储空间的限制。
然后，可以使用动态规划等数学方法，求解出最优的库存管理方案，使得库存成本最小化同时避免缺货。
数学建模中的多目标优化问题
数学建模中的多目标优化问题在数学建模中，多目标优化问题是一个重要且具有挑战性的问题。
在实际应用中，我们常常面临的是多个目标之间的矛盾与权衡，因此需要找到一个平衡点来满足各个目标的需求。
本文将介绍多目标优化问题的定义、解决方法以及应用案例。
第一部分：多目标优化问题的定义多目标优化问题是指在给定的约束条件下，寻找多个目标函数的最优解的问题。
常见的形式可以表示为：最小化/最大化 f1(x), f2(x), ..., fn(x)其中，fi(x)表示第i个目标函数，x表示决策变量。
多目标优化问题与单目标优化问题的不同之处在于，单目标问题只需考虑一个目标函数，而多目标问题需要同时考虑多个目标函数。
第二部分：多目标优化问题的解决方法在解决多目标优化问题时，常用的方法有以下几种：1. 加权求和法（Weighted Sum Method）：将多个目标函数加权求和，转化为单目标函数进行求解。
具体地，可以通过设置不同的权重系数，使得不同目标函数在求解中的重要性得到体现。
2. Pareto优化法（Pareto Optimization）：Pareto优化法基于Pareto最优解的概念，即同时满足所有约束条件下，无法改善任何一个目标函数而不损害其他目标函数的解集。
通过构建Pareto最优解集，可以帮助决策者在多个解中进行选择。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。
在多目标优化问题中，遗传算法通过维护一个种群中的多个个体，以逐步进化出Pareto最优解集。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食的行为进行优化的算法。
在多目标优化问题中，粒子群优化算法通过在解空间中搜索多个粒子，通过粒子之间的合作与竞争，逐步逼近Pareto最优解。
第三部分：多目标优化问题的应用案例多目标优化问题在各个领域都有广泛的应用。
数学建模中的随机优化问题
数学建模中的随机优化问题数学建模作为一门提供量化方法解决实际问题的学科，已经广泛应用于各个领域。
在建模过程中，我们经常会遇到各种优化问题，其中涉及到的随机优化问题更是备受关注。
随机优化问题作为一类特殊的优化问题，其考虑了不确定性因素，具有更大的挑战性和实用性。
本文将介绍数学建模中的随机优化问题及其相关方法。
随机优化问题是指在优化问题中，目标函数或约束条件存在随机变量的情况。
这种不确定性往往由于缺乏完整的信息、难以观测或难以建模而引起。
在数学建模中，解决随机优化问题的核心是在不确定性的基础上，寻找最优解或次优解，并对问题的风险和稳定性进行评估。
一种常见的随机优化问题是随机线性规划。
在随机线性规划中，目标函数和/或约束条件包含随机向量或矩阵。
解决这类问题的方法包括随机单纯形法、Monte Carlo仿真、随机内点法等。
随机单纯形法通过适应性地调整单纯形表以降低目标函数值，并通过随机样本来估计约束条件。
Monte Carlo仿真方法通过生成服从某一特定分布的样本，以近似目标函数和约束条件的期望值。
随机内点法则通过引入随机扰动等技术，在保持可行性的同时寻找最优解。
除了随机线性规划，随机非线性规划也是数学建模中常见的问题之一。
与随机线性规划不同，随机非线性规划中的目标函数和约束条件可能包含非线性项。
为解决这类问题，可以采用Stochastic Approximation方法、Evolutionary Algorithms等。
Stochastic Approximation方法通过迭代逼近解的期望，通过随机样本估计目标函数的梯度，从而找到最优解。
Evolutionary Algorithms则通过模拟生物进化的过程，逐步优化解的质量。
另外，随机排队论也是随机优化问题的一种重要应用领域。
在许多实际问题中，涉及到人员或物品的排队等待，且到达和服务时间往往是不确定的。
通过研究和优化排队系统，可以提高服务效率、降低成本，并对供需平衡、资源分配等问题进行建模和优化。
数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题
数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题问题描述该问题探讨的是如何优化城市轨道交通列车的时刻表安排，以提高运输效率和乘客满意度。
相关问题1.列车间隔时间问题：如何确定列车之间的最佳间隔时间，以保证乘客能够顺利上下车，同时减少列车之间的空闲时间？2.路线选择问题：在多条轨道交通线路之间，如何选择最优的线路和站点设置，以最大程度地满足乘客的出行需求？3.列车调度问题：如何合理安排列车的开行时间和顺序，使得列车能够尽可能平均地分布在高峰和非高峰时段，从而避免交通拥堵和拥挤？4.车辆容量配比问题：如何根据不同线路的客流量和乘客出行的时间分布，合理安排不同车辆的座位和站立人数，以提高列车运输效率和乘客的舒适度？5.列车时刻表调整问题：如何根据实际运输情况和乘客反馈，对列车时刻表进行动态调整，以提高运输效率和满足乘客的出行需求？6.乘客流量预测问题：如何准确预测不同线路和站点的乘客流量，以便合理安排列车的运行计划和车辆配比？7.乘客换乘优化问题：在多条轨道交通线路的交叉站点上，如何设计合理的换乘方案，以减少乘客在换乘过程中的时间和体力消耗？8.车站人流控制问题：如何通过优化车站出入口、候车室和过道的布局，以及合理指导乘客的行为，减少车站的拥挤程度和乘客的等待时间？解决方法1.列车间隔时间问题可以采用数学模型来计算最佳的列车间隔时间，考虑乘客上下车的时间和需求，以及列车运行的速度和停车时间。
2.路线选择问题可以通过分析乘客的出行数据和交通网络结构，使用图论算法和最优化方法来确定最优的线路和站点设置方案。
3.列车调度问题可以采用动态规划算法和模拟仿真技术，根据列车的运行速度、乘客流量和出行需求等因素，优化列车的开行时间和顺序。
4.车辆容量配比问题可以通过乘客流量预测和列车座位的布局设计，确定不同线路和不同时段的车辆配比方案，以满足乘客的乘坐需求。
5.列车时刻表调整问题可以采用数据分析和机器学习方法，根据实际运输情况和乘客反馈，调整列车时刻表，以提高运输效率和乘客满意度。
数学模型与优化课程设计
数学模型与优化课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数学模型的基本构建方法和应用，理解数学模型在解决实际问题中的重要性。
2. 使学生掌握线性规划、整数规划等优化方法的基本原理和求解步骤，具备运用这些方法解决实际问题的能力。
3. 帮助学生理解数学与现实生活的联系，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件或工具构建数学模型，解决实际问题的能力。
2. 培养学生运用优化方法对数学模型进行求解，提高问题求解的效率。
3. 培养学生独立思考和团队协作的能力，提高学生在实际问题中运用数学知识进行创新的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生严谨、务实的科学态度，提高学生面对问题时敢于挑战、勇于探索的精神。
3. 培养学生具备良好的合作精神，学会尊重他人意见，形成积极向上的人际关系。
课程性质分析：本课程为数学模型与优化课程，旨在教授学生运用数学知识和方法解决实际问题。
课程内容与实际生活紧密联系，注重培养学生的实践能力和创新精神。
学生特点分析：学生处于高年级阶段，已具备一定的数学基础和问题解决能力。
在此阶段，学生具有较强的求知欲和自主学习能力，同时具有一定的团队合作意识。
教学要求：1. 结合课本内容，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
2. 注重启发式教学，引导学生主动思考、探索问题，培养学生的创新意识。
3. 注重教学过程中的师生互动，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 数学模型基本概念与构建方法- 理解数学模型的定义及分类- 掌握数学模型构建的基本步骤和方法- 分析实际问题时，能够运用所学知识建立数学模型2. 线性规划- 线性规划的基本概念与理论- 线性规划模型的建立与求解方法- 应用线性规划解决实际问题3. 整数规划- 整数规划的基本概念与特点- 整数规划模型的建立与求解方法- 应用整数规划解决实际问题4. 非线性规划简介- 非线性规划的基本概念与理论- 非线性规划模型的建立与求解方法- 非线性规划在实际问题中的应用案例5. 模型优化方法- 优化方法的基本原理与分类- 常见优化算法及其应用- 优化方法在实际问题中的应用案例教学内容安排与进度：第一周：数学模型基本概念与构建方法第二周：线性规划基本理论与求解方法第三周：线性规划应用案例分析第四周：整数规划基本理论与求解方法第五周：整数规划应用案例分析第六周：非线性规划简介第七周：优化方法及其在实际问题中的应用本教学内容与课本章节紧密关联，注重理论与实践相结合，旨在提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
数学建模中的优化与约束条件
数学建模中的优化与约束条件教案主题：数学建模中的优化与约束条件引言：数学建模作为应用数学的重要分支，通过数学方法解决实际问题，对于提升学生应用数学知识能力和解决问题的能力具有重要意义。
本教案将重点介绍数学建模中的优化与约束条件，帮助学生理解优化问题和约束条件的概念以及如何应用数学方法进行求解。
一、优化问题的概念及应用（500字）1. 优化问题的定义：优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使目标函数取得极值的问题。
通过数学建模，我们可以将实际问题转化为数学语言，从而求解最优解，实现对问题的优化。
2. 优化问题的分类：优化问题分为最大化问题和最小化问题两种。
最大化问题是寻找使目标函数取得最大值的问题，最小化问题则是寻找使目标函数取得最小值的问题。
3. 优化问题的应用：优化问题广泛应用于生产调度、资源分配、航空航天、金融投资等领域。
例如，如何通过合理安排生产任务，使得生产效率最高；如何通过最优的投资策略，获得最大的利润等。
二、约束条件及其对优化问题的影响（500字）1. 约束条件的定义：约束条件是在优化问题中对变量所做的限制，用于满足实际问题的限制条件。
约束条件可以是等式约束或不等式约束。
2. 约束条件对优化问题的影响：约束条件对优化问题的解具有重要的影响。
约束条件的限制会缩小优化问题的可行解空间，进而对最优解的求解产生影响。
3. 约束条件的分类：约束条件可以分为线性约束、非线性约束、等式约束和不等式约束等。
对于不同的约束条件，我们需要采用不同的数学方法进行求解。
三、常见优化方法的应用及特点（500字）1. 数学规划方法：数学规划方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等，对于一些具有确定数学模型的优化问题，可以通过数学规划方法进行求解。
2. 迭代法：迭代法是一种通过逐步逼近的方法求解优化问题的方法。
常见的迭代方法有牛顿法、梯度下降法等，适用于非线性优化问题。
3. 启发式算法：启发式算法是一种模拟人类的启发式思维进行求解的方法，常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法等，适用于求解复杂的组合优化问题。
数学建模：课程安排优化问题
2012年数学建模竞赛参赛队员题目 A题：课程安排优化问题关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵摘要每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。
在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。
运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。
根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。
我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。
最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。
一、问题重述我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。
阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。
我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。
按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。
同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。
每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。
数学建模中的优化问题求解
数学建模中的优化问题求解在数学建模中，优化问题求解是一个重要的研究领域。
优化问题指的是在给定的约束条件下，寻找使目标函数取得最优值的变量取值。
这一领域涉及到数学、计算机科学、运筹学等多个学科，并在实际应用中起到重要的作用。
首先，我们先来了解什么是数学建模。
数学建模是通过运用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
它的目标是将实际问题转化为数学模型，并通过模型进行分析和求解。
在数学建模中，优化问题是常见的一类问题。
优化问题求解的核心是寻找目标函数的最小值或最大值。
在实际应用中，我们需要考虑不同的约束条件，例如资源限制、时间限制等。
这些约束条件会影响到最优解的取值范围和可能性。
为了解决优化问题，数学建模中常用的方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
线性规划是在给定的线性约束条件下求解线性目标函数的最优解。
非线性规划则是在一般的约束条件下求解非线性目标函数的最优解。
整数规划是对变量取离散值的情况下的优化问题求解。
在实际应用中，优化问题求解可以应用于各个领域。
例如，在交通规划中，我们可以利用优化方法对交通网络进行优化，提高交通效率。
在生产调度中，我们可以通过优化问题求解来优化生产资源的分配，降低成本。
在金融领域，我们可以利用优化问题求解对投资组合进行优化，降低风险。
除了传统的优化方法，近年来还涌现出了一些基于人工智能的优化算法。
例如，遗传算法、粒子群算法等。
这些算法模拟了自然界中的进化、群体行为等现象，可以在复杂的优化问题中寻找较好的解。
总之，优化问题求解在数学建模中起到了重要的作用。
通过寻找变量取值的最优解，我们可以在实际问题中达到最佳的效果。
不仅仅在理论研究中，优化问题求解也在各个领域得到了广泛的应用。
随着科技的发展，我们相信优化问题求解的方法和技术将会不断地完善和发展，为实际问题的解决提供更加有效的手段。
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在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。
本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。
在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。
对于问题一：我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=151jjj py=∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO对其模型求解，得到最优解。
对于问题二：同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=151j jjkp上述模型得到最优解结果如下：关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 54.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 65 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．76 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．77 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．88、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 91、问题的重述某手机运营商准备在一个目前尚未覆盖的区域开展业务，计划投资5000万元来建设基站。
该区域由15个社区组成，有7个位置可以建设基站，每个基站只能覆盖有限个社区。
图1是该区域的示意图，每个社区简化为一个多边形，每个可以建设基站的位置已用黑点标出。
由于地理位置等各种条件的不同，每个位置建设基站的费用也不同，且覆盖范围也不同。
表1中列出了每个位置建设基站的费用以及能够覆盖的社区，表2列出了每个社区的人口数。
表1 每个位置建设基站的费用及所能覆盖的社区表2 每个社区的人口数量问题一：在不超过5000万建设费用的情况下，在何处建设基站，能够覆盖尽可能多的人口；问题二：考虑到基站出现故障维修的时候可能会出现所覆盖的社区信号中断等问题，为此对通讯资费进行了调整，规定，仅有一个基站信号覆盖的小区通讯资费按正常资费的68%收取，有两个或两个以上基站信号覆盖的小区的通讯资费按正常收取，针对于5000万元的预算，应该如何建设基站，才能够使得资费的收入达到最大。
2、问题的分析手机是通过在地面上建立了大量的无线基站来传递信号,达到通话目的。
若某手机运营商准备在一个目前尚未覆盖的区域开展业务，则需要考虑基站的覆盖能力，即某基站覆盖的那些社区以及社区的人数等问题，在此基础上建立基站网络，最大程度上服务于小区的居民。
根据题目条件，为了更好地分析问题，我们将基站对于小区的覆盖情况用下表来描述。
表3每个基站所能覆盖的社区考虑到有的小区仅仅只有一个基站覆盖，因此要想实现所有社区的全面覆盖，有些基站是不能缺少的。
例如，1号、3 号、6 号、11 号、13号、14号社区均只可能有一个基站覆盖，那么为这些社区服务的基站是必不可少的。
因此，基站1号、2号、4号、6号、7号必须要设。
建设这些基站的费用9.5+7+14+13+11=54.5>50;此时，仅仅必须建设的基站的费用已经不能满足要求。
因此，要想在实现不超过5000万建设费用的情况下实现对所有社区的覆盖是不可能的。
针对问题一：建立0-1整数规划，通过对题目条件和问题的挖掘，列写出规模型中的目标函数和约束条件。
运用数学软件lingo求解，得到合理的基站建设方案。
针对问题二：在满足基站建设成本不超过5000 万元的情况下，确定一个合理的基站建设方案，使得运营商的资费收入最高。
问题关键在于确定每一个社区用哪几个社区覆盖，然后计算根据题目中的“仅有一个基站信号覆盖的小区通讯资费按正常资费的68%收取，有两个或两个以上基站信号覆盖的小区的通讯资费按正常收取”的原则，可以列写出关于资费收入的函数表达式。
运用数学软件lingo最终把满足条件的基站建设方案解出，最终确定出最理想的基站建设方案。
3、模型的假设与符号的说明3.1模型的假设（1）若某社区处在某一基站覆盖范围内,则该社区中的人口全部被该基站覆盖；（2）各社区的手机使用率相同；（3）每位手机使用者的通讯资费相同；（4）该区域只存在这一种通信网络；（5）每个基站覆盖且仅覆盖图1所列出的覆盖区域；（6）通讯信号不受地形地貌,气候变化等因素影响；（7）社区人口保持不变；（8）不考虑手机漫游等情况；（9）每个基站位置最多只建一个基站。
3.2符号的说明x i表示第i个基站建设情况（i=1,2,..7），当x i=1时，表示第i个基站要被建设；当x i=0时表示第i个基站不要被建设y表示第j个社区被覆盖情况（j=1,2,...15）,当y j=1时，表示第j个j社区被覆盖；当y j=0时表示第j个社区未被覆盖p表示第j个社区的人口数（j=1,2,...15）jc i表示第i个基站被建设所需的费用(i=1,2,...7)k j表示第j个社区被覆盖情况（j=1,2,...15）,当j=i，表示第j个社区被多个基站覆盖；当k j=0.68时，表示第j个社区被1个基站覆盖；当k j=0时表示第j个社区未被覆盖4、模型的建立及求解4.1模型的建立问题一：设x i（i=1，2,...7表示7个中继站)表述每一个基站的建设情况。
引入0-1变量，即x i= 1,表示第i个基站要建立0，表示第i个基站不建立在此模型的建立过程中，由于同一个社区可能有多个基站覆盖，如果覆盖同一社区的基站都要建设时，那么基站覆盖的人口就会被重复计算。
故我们将目标转移到社区上，每个社区的被覆盖情况只有两种，要么被覆盖要么不被覆盖我们也引入0-1变量，即y j = 1, 表示第j个社区被覆盖0，表示第j个社区不被覆盖这样就可避免了对同一社区人口的重复计算。
本问题的目标是使得基站覆盖的人口尽量多。
根据表1、2、3我们可以得到目标函数：max=151j jjp y =∑由于考虑到1号、3 号、6 号、11 号、13号、14号社区均只可能有一个基站覆盖，这里我们让x i代替y j（即第j个社区只被第i个基站覆盖），则目标函数：max=2*x1+4*(y2)+13*x2+6*(y4)+9*(y5)+4*x4+7.5*(y7)+12.5*(y8)+10*(y9)+1 1*(y10)+6*x6+14*(y12)+9*x7+3.5*x7+6*(y15);要求建设基站的费用不超过5000 万元故约束条件： (9.5*x1+7*x2+19*x3+14*x4+17.5*x5+13*x6+11*x7)<=50;问题二：题中考虑到基站出现故障维修的时候可能会出现所覆盖的社区信号中断等问题，为此对通讯资费进行了调整，规定，仅有一个基站信号覆盖的小区通讯资费按正常资费的68%收取，有两个或两个以上基站信号覆盖的小区的通讯资费按正常收取，为此，我们需要得到新的模型来进行求解，因为假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，与问题一类似，考虑到1号、3 号、6 号、11 号、13号、14号社区均只可能有一个基站覆盖，这里我们让x i代替y j（即第j个社区只被第i个基站覆盖），故问题二的目标函数为：max=2*x1+4*(y2)+13*x2+6*(y4)+9*(y5)+4*x4+7.5*(y7)+12.5*(y8)+10*(y9)+1 1*(y10)+6*x6+14*(y12)+9*x7+3.5*x7+6*(y15);题目要求建设中继站的费用不超过5000 万元故约束条件：(9.5*x1+7*x2+19*x3+14*x4+17.5*x5+13*x6+11*x7)<=50;在此方案下，获得的资费为：s=2*x1*(k1)+4*(y2)*(k2)+13*x2*(k3)+6*(y4)*(k4)+9*(y5)*(k5)+4*x4*(k6)+ 7.5*(y7)*(k7)+12.5*(y8)*(k8)+10*(y9)*(k9)+11*(y10)*(k10)+6*x6*(k11)+1 4*(y12)*(k12)+9*x7*(k13)+3.5*x7*(k13)+6*(y15)*(k15);4.2 模型的求解问题一：根据附录中的程序一利用LINGO求解得到最佳的方案如下表4所示：表4此方案所需费用为45百万元，覆盖人口为109.5千人。
问题二：根据附录中的程序二利用LINGO求解得到最佳的方案如下表5所示：表5此方案所需要的费用为45百万元，获得资费83.74a(a为标准的资费常数)。
5、结果分析对于问题一，要求在基站建设成本不超过50百万元的情况下，确定一个合理的基站建设方案，使得覆盖的人口尽可能的多。
所以我们根据题意建立了0-1规划模型，运用LONGO软件对规划模型求解，得到在2,4,6,7号位置建设基站时，覆盖人口最多为109.5千人，同时建设基站的费用为45百万元，满足约束条件中的费用不超过50百万的要求。
对于问题二，要求的是在满足基站建设成本不超过5000万元预算条件下，怎样建设基站，使得运营商的资费收入最高。
根据题目中“仅有一个基站信号覆盖的小区人均通讯资费按正常资费的68%收取，而有两个或两个以上站信号覆盖的小区人均的通讯资费按正常收取”的要求，我们运用了0-1规划方法，并且用lingo数学软件得出最大资费收益为S=83.74a 。
6、优化方向该模型巧妙的解决了相邻信号站重复覆盖的人口数的问题，使得LINGO求解方便，缺点是当数据量更大时计算会比较复杂，所以可以考虑用MATLAB编程求解，列出基站和小区的关系矩阵。
并且考虑问题时我们只考虑了两个重要的因素，因此，对于本问题的延伸，可更改规划目标，并加入更多的约束条件，如：通过研究得出地区信号覆盖层数对信号质量的影响，继而影响用户数量及收费标准，在通过各种方法将对这些因素进行定量分析，建立合理的基站最大覆盖模型。
以最大收益为目标函数。
新问题的规划方法可以再上述模型为框架的基础上修改而得。
7、参考文献[1].胡运权编著《运筹学教程》清华大学出版社 2007.04 第三版；[2].蒋启源编著《数学模型》高等教育出版社 2003.08 第三版；[3].吴礼斌，李柏年数学实验与建模 [M]，北京：国防工业出版社，2007年；[4] 王兵团数学建模基础[M]，北京：北京交通大学出版社，2004 年；[5] 胡守信，李柏年基于MATLAB 的数学试验[M]，北京：科学出版社，2004年；[6]李明月移动通讯基站建设问题/view/72d9ab3c0066f5335a812111.html 2012.12.17/2015.07.02附录：程序一：问题一model:max=2*x1+4*(y2)+13*x2+6*(y4)+9*(y5)+4*x4+7.5*(y7)+12.5*(y8)+10*(y9)+11*(y10)+6*x6+1 4*(y12)+9*x7+3.5*x7+6*(y15);(9.5*x1+7*x2+19*x3+14*x4+17.5*x5+13*x6+11*x7)<=50;Y2=@if(x1+x2#eq#0,0,1);Y4=@if(x1+x3#eq#0,0,1);Y5=@if(x2+x4#eq#0,0,1);Y7=@if(x3+x6#eq#0,0,1);Y8=@if(x3+x4+x5#eq#0,0,1);Y9=@if(x4+x5#eq#0,0,1);Y10=@if(x3+x6#eq#0,0,1);Y12=@if(x5+x6+x7#eq#0,0,1);Y15=@if(x6+x7#eq#0,0,1);@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7);end运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 109.5000Extended solver steps: 3Total solver iterations: 185Variable Value Reduced CostX1 0.000000 -2.000000Y2 1.000000 0.000000X2 1.000000 -13.00000Y4 0.000000 0.000000Y5 1.000000 0.000000X4 1.000000 -4.000000Y7 1.000000 0.000000Y8 1.000000 0.000000Y9 1.000000 0.000000Y10 1.000000 0.000000X6 1.000000 -6.000000Y12 1.000000 0.000000X7 1.000000 -12.50000Y15 1.000000 0.000000X3 0.000000 0.000000X5 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 109.5000 1.0000002 5.000000 0.0000003 0.000000 4.0000004 0.000000 6.0000005 0.000000 9.0000006 0.000000 7.5000007 0.000000 12.500008 0.000000 10.000009 0.000000 11.0000010 0.000000 14.0000011 0.000000 6.000000程序二：问题二model:max=2*x1+4*(y2)+13*x2+6*(y4)+9*(y5)+4*x4+7.5*(y7)+12.5*(y8)+10*(y9)+11*(y10)+6* x6+14*(y12)+9*x7+3.5*x7+6*(y15);(9.5*x1+7*x2+19*x3+14*x4+17.5*x5+13*x6+11*x7)<=50;y2=@if(x1+x2#eq#0,0,1);y4=@if(x1+x3#eq#0,0,1);y5=@if(x2+x4#eq#0,0,1);y7=@if(x3+x6#eq#0,0,1);y8=@if(x3+x4+x5#eq#0,0,1);y9=@if(x4+x5#eq#0,0,1);y10=@if(x3+x6#eq#0,0,1);y12=@if(x5+x6+x7#eq#0,0,1);y15=@if(x6+x7#eq#0,0,1);k1=@if(x1#eq#1,0.68,0);k2=@if(x1+x2#eq#1,0.68,1);k3=@if(x2#eq#1,0.68,1);k4=@if(x1+x3#eq#1,0.68,0);k5=@if(x4+x2#eq#1,0.68,1);k6=@if(x4#eq#1,0.68,1);k7=@if(x3+x6#eq#1,0.68,1);k8=@if(x3+x4+x5#eq#1,0.68,1);k9=@if(x4+x5#eq#1,0.68,1);k10=@if(x3+x6#eq#1,0.68,1);k11=@if(x6#eq#1,0.68,1);k12=@if(x5+x6+x7#eq#1,0.68,1);k13=@if(x7#eq#1,0.68,1);k14=@if(x7#eq#1,0.68,1);k15=@if(x6+x7#eq#1,0.68,1);s=2*x1*(k1)+4*(y2)*(k2)+13*x2*(k3)+6*(y4)*(k4)+9*(y5)*(k5)+4*x4*(k6)+7.5*(y7)*(k7)+12. 5*(y8)*(k8)+10*(y9)*(k9)+11*(y10)*(k10)+6*x6*(k11)+14*(y12)*(k12)+9*x7*(k13)+3.5*x7*( k13)+6*(y15)*(k15);@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7);end运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 109.5000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 115Variable Value Reduced CostX1 0.000000 -2.000000Y2 1.000000 0.000000X2 1.000000 -13.00000Y4 0.000000 0.000000Y5 1.000000 0.000000X4 1.000000 -4.000000Y7 1.000000 0.000000Y8 1.000000 0.000000Y9 1.000000 0.000000Y10 1.000000 0.000000X6 1.000000 -6.000000Y12 1.000000 0.000000X7 1.000000 -12.50000Y15 1.000000 0.000000X3 0.000000 0.000000X5 0.000000 0.000000K1 0.000000 0.000000K2 0.6800000 0.000000K3 0.6800000 0.000000K4 0.000000 0.000000K5 1.000000 0.000000K6 0.6800000 0.000000K7 0.6800000 0.000000K8 0.6800000 0.000000K9 0.6800000 0.000000K10 0.6800000 0.000000K11 0.6800000 0.000000 K12 1.000000 0.000000 K13 0.6800000 0.000000 K14 0.6800000 0.000000 K15 1.000000 0.000000 S 83.74000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 109.5000 1.0000002 5.000000 0.0000003 0.000000 4.0000004 0.000000 6.0000005 0.000000 9.0000006 0.000000 7.5000007 0.000000 12.500008 0.000000 10.000009 0.000000 11.0000010 0.000000 14.0000011 0.000000 6.00000012 0.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 0.000000 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.000000东华理工大学学年课程设计报告评分表学生姓名：张仕纬学号：201320400223 班级：1324002 学生姓名：揭小兰学号：201320400215 班级：1324002 学生姓名：林绵庄学号：201320400109 班级：1324001 课程设计题目：移动通讯基站建设问题。