数学建模：组合优化问题和计算复杂性
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
，针与平行线相交的数学条件是
x l sin
针在平行线间的位置
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值 ，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度 函数为：
1/ a, 0 x a f1 (x) 0, 其他
类似地，θ的分布密度函数为：
f
2
(
)
1 / 0,
,
0
其他
因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由
❖ 十、适应度(Fitness)
表示某一个体对于环境的适应程度。
遗传算法的原理
❖ 遗传算法GA把问题的解表示成“染色体”，在算法中也即 是以二进制编码的串。并且，在执行遗传算法之前，给出 一群“染色体”，也即是假设解。然后，把这些假设解置于 问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适 应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉，变异过程产生 更适应环境的新一代“染色体”群。这样，一代一代地进化 ，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是 问题的最优解。
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法 ：
❖ 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计 算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己 模型的正确性，是比赛时必用的方法）
❖
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通 常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这 些算法，通常使用Matlab作为工具）
数学中的离散优化与组合优化
数学中的离散优化与组合优化在数学领域中，离散优化和组合优化是两个重要的子领域。
它们在解决实际问题和优化理论中起着至关重要的作用。
本文将对离散优化和组合优化进行介绍，并探讨它们在数学中的应用。
离散优化是一种数学优化方法，它涉及到离散型的变量和函数。
与连续优化不同，离散优化通常涉及到某种最优化问题的离散解。
离散优化问题可以用数学模型来描述，并通过应用各种优化方法来解决。
离散优化可应用于许多领域，如工程、网络优化、资源分配等。
组合优化是离散优化的一个重要分支，它专注于解决组合结构中的最优化问题。
组合优化涉及到从给定的有限集合中选择最佳的组合方式，以满足特定的约束条件和目标函数。
在组合优化中，我们通常要在多个选择之间进行权衡，并在不同的约束条件下寻找最优解。
离散优化和组合优化在实际应用中具有广泛的应用。
比如在交通规划中，离散优化可以帮助我们确定最佳的路径和排班方案；在生产调度中，离散优化可以帮助我们提高效率和降低成本；在电子商务中，组合优化可以帮助我们确定最佳的商品推荐和营销策略。
离散优化和组合优化的研究方法包括数学建模、算法设计和复杂性分析等。
数学建模是将实际问题抽象成数学模型的过程，它涉及到对问题进行定义、变量的选择和约束条件的确定等。
算法设计是为了解决离散优化和组合优化问题而开发出的具体计算方法，它可以通过穷举搜索、贪婪法、动态规划等方式来寻找最优解。
复杂性分析是对算法性能进行评估的过程，它可以帮助我们了解算法的时间和空间复杂度，并评估其可行性和可扩展性。
总结起来，离散优化和组合优化在数学领域中扮演着重要的角色。
它们不仅帮助我们解决实际问题，还促进了数学理论的发展。
通过研究离散优化和组合优化，我们可以深入理解数学模型的构建和算法的设计，为其他领域的优化问题提供借鉴和启示。
希望本文能够为读者对离散优化和组合优化有更清晰的认识，并进一步探索它们在实践中的应用。
高中数学建模
高中数学建模数学建模是一种基于数学理论和方法，解决实际问题和模拟现实情景的科学方法。
它结合了数学的逻辑性和实际问题的复杂性，旨在通过建立数学模型来分析、预测和优化问题。
一、引言在现代社会中，数学建模发挥着日益重要的作用。
特别是在高中阶段，数学建模既是应用数学学科的重要组成部分，也是培养学生创新思维和实际解决问题能力的有效方式。
本文将探讨高中数学建模的意义、方法和应用。
二、数学建模的意义数学建模可以帮助学生将抽象的数学知识应用于实际问题中，培养学生的实际应用能力。
通过数学建模，学生可以学会如何分析问题、建立模型、进行推理和验证，并提出解决问题的方法和策略。
同时，数学建模也培养了学生的团队合作意识和创新思维。
三、数学建模的方法1.问题分析：首先，对于给定的问题，学生需要仔细阅读和理解问题描述，明确问题的目标和要求。
2.建立模型：根据问题的性质和要求，选择合适的数学模型，包括代数模型、几何模型、概率模型等。
建立模型需要学生对数学知识的掌握和灵活运用。
3.求解模型：利用数学方法，对建立的模型进行求解。
这包括数值计算、符号计算、图形计算等方法。
4.模型验证：对求解结果进行验证，判断模型的合理性和可靠性。
学生需要分析模型的局限性和假设的合理性。
5.结果分析：对于求解的结果，学生需要进行合理的解释和分析，并给出问题的解决建议。
四、数学建模的应用数学建模在各个领域都有广泛的应用。
例如，经济学中的宏观经济模型可以预测和分析经济的发展趋势；医学中的生物医学模型可以模拟和优化治疗方案；环境科学中的气候模型可以预测气候变化趋势。
在高中数学教学中，数学建模可以应用于课堂教学和竞赛训练。
数学建模可以通过实例分析，将抽象的数学知识与实际问题相结合，激发学生学习数学的兴趣。
同时，数学建模也是数学竞赛的重要组成部分，可以培养学生在团队合作、问题求解和创新思维方面的能力。
五、总结数学建模作为一种重要的应用数学方法，既是高中数学教学的一部分，也是培养学生实际应用能力的有效途径。
数学建模优秀论文--基于遗传算法的机组组合问题的建模与求解
数学建模优秀论文--基于遗传算法的机组组合问题的建模与求解摘要本文针对当前科技水平不足以有效存储电力的情况下产生的发电机机组组合的问题，考虑负荷平衡、输电线传输容量限制等实际情况产生的约束条件，建立机组组合优化模型，追求发电成本最小。
同时采用矩阵实数编码遗传算法（MRCGA）和穷举搜索算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助电力部门制定机组启停计划。
首先，建立发电成本最小目标函数和各项约束条件的数学表达式。
其中机组空载成本和增量成本之和随该机组发电出力增长呈折线关系，在分析计算时为了简便，本文采用一条平滑的二次曲线来近似代替。
对于问题1，选取相应的约束条件对目标函数进行约束，从而给出优化模型Ⅰ。
由于问题1的求解规模很小，所以采用穷举搜索算法，利用C++编程求解，得到了3母线系统4小时的最优机组组合计划（见表一）。
对于问题2，在优化模型Ⅰ的基础上，增加最小稳定运行出力约束、机组启动和停运时的出力约束以及机组最小运行时间和最小停运时间约束这三个约束条件，建立了优化模型II。
同时采用遗传算法和穷举搜索算法，利用MATLAB和C++编程，分别对模型进行求解，部分结果如下：发电总成本（单位：元）矩阵实数编码遗传算法6780穷举搜索算法6820在对所得结果进行了分析比较，重新制定了3母线系统4小时最优机组组合计划（见表三）。
对于问题3，用IEEE118系统对优化模型II进行测试。
由于求解规模巨大，同样采用遗传算法和穷举搜索算法，利用MATLAB和C++编程，分别对模型进行求解，部分结果如下：发电总成本（单位：百万）矩阵实数编码遗传算法 2.034穷举搜索算法 2.135在对所得结果进行比较时发现对于大规模问题，遗传算法优势明显，将其求解结果作为24小时的最优机组组合计划（见附录）。
最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。
2023年数学建模c题目
2023年数学建模c题目
2023年数学建模竞赛C题是“多阶段投资组合优化问题”。
问题描述：
假设你是一位投资者，在多阶段投资环境中，需要确定在每个阶段应该如何分配你的投资金额。
为了简化问题，我们假设你只有一个投资目标，即在每个阶段最大化预期收益，并且你的投资金额为100万元。
具体来说，你需要确定在每个阶段应该投资多少金额，以及应该选择哪些资产进行投资。
投资环境包括股票、债券和现金等三种资产，每种资产的预期收益率和风险水平不同。
在每个阶段，你都需要考虑过去的历史数据和当前的市场情况来制定投资策略。
例如，在第一阶段，你需要基于过去10年的数据来确定股票、债券和现金的权重。
在第二阶段，你需要根据第一阶段的结果和市场情况来调整你的投资策略。
目标是最大化预期收益，同时考虑风险水平。
你需要确定一个多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据和数学方法来解决这个问题。
问题要求：
1. 建立多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据来求解该模型。
2. 确定投资策略，包括在每个阶段的投资金额和资产选择。
3. 分析投资结果，包括预期收益和风险水平。
4. 讨论如何根据市场变化调整投资策略。
5. 编写一个Python程序来实现你的模型和算法，并输出结果。
这是一个非常具有挑战性的问题，需要你掌握多阶段投资组合优化、统计分析和Python编程等方面的知识。
希望你能通过解决这个问题，提高自己的数学建模能力和实际应用能力。
数学建模 - 第一章 组合优化模型与计算复杂性
概念的一种表达形式 . 可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同
侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系 模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种 统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角 抽象，它反映现实中对象系统的主要特征，但它又高 度、考察因素和价值取向 . 于现实，因而具有同类问题的共性 .
16
第一章
组合优化模型与计算复杂性
2、按模型的解的特征分类 解析模型与数值模型 3、按模型所用的数学方法分类 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优
化模型等
4、按模型研究的实际范畴分类
人口模型、生态系统模型 、交通流模型、经济
模型、 基因模型等 5、按对实际问题了解的程度分类 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具
体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 . 这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度 概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .
13
§1 组合优化模型与算法 2、高度的精确性 数学方法的高度精确性表现在三个方面： 一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当 明确、清楚；二是逻辑推演和运算规则十分严密；三
s.t. x1 x4 x5 x6 x7 67 某商场根据客流量统计得出一周中每天所需要的
（线度）必须是偶数条 . 见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因 这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例 的第一篇论文 而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一
这是关于图论
笔画不存在 .
故七桥问题不可能有解 .
12
组合优化中的旅行商问题求解
组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。
该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。
TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。
1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。
首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。
若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。
2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。
然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。
2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。
2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。
该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。
同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。
分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。
3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
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§1.2 计算复杂性问题
多项式时间算法 指数时间算法 Note: 好算法 坏算法 有效算法 恶劣算法
A 算法的计算复杂性为 O(n80)，A 是
好算法吗？ 与O(2n) 比较
问题 D 是否有多项式时间算法是问题的固有性质.
§1.2 计算复杂性问题
三、P类、NP类、NP—完全问题、NP—难问题
复杂性分析的另一个研究方向：对组合优化问题归类 P 类问题: （Polynomial） 对组合优化问题π，如果存在一个求解该问题的 多项式时间算法，则称π是多项式时间可解问题。所 有多项式时间可解问题构成的集合，称为 P 类问题
设 机器速度提高100倍 为1亿次/秒
给定1秒的 机器时间 算法A……可解规模n=1000×10 算法B……可解规模 n=20+log2100
提供好的算法比提高机器效率更重要
§1.2 计算复杂性问题
Definition 3 若存在一个常数 C ，使得对所有 n ≥ 1, 都有︱f(n)︱≤ C ︱g(n)︱,则称函数 f(n) 是 O(g(n))。 设 A 是解某一问题 D的算法，对 D 的任一规模为 n
确定性算法： 如果算法从前一步到后一步的运行是由 当时状
态唯一确定的 如：单纯形法，表上作业法。
遗传算法是随机性算法。
§1.1 组合优化问题与算法
最优算法： 对于一个极小化（极大化）优化问题π，
如果给定任意一个实例I，算法A总能找到一个可
行解σ* ∈ S(I)。 使得 f(I, σ*) ≤ f(I, σ)（f(I, σ*) ≥f(I, σ)） 启发式算法（近似算法，在§1. 3节中介绍） 组合优化总存在最优算法，但它以时间为代价
§1.1 组合优化问题与算法
问题： 一类实际问题的数学模型的总称，如TSP、LP etc.
实例： （一个问题中总包含了若干个参数）对问题给定一组 参数所得到的例子。 算法： 一个科学的计算过程，指一步步求解问题的通用程 序，它是解决问题的程序步骤的一个清晰描述。 Note： 算法是相对问题而言的，不单单是针对问题的某个实例。
给定1秒的 机器时间
算法B………可解规模 log2 M
§1.2 计算复杂性问题
给定1秒的 机器时间 算法A…………可解规模n = M
算法B…………可解规模n = log2 M
设 机器速度100万次/秒
给定1秒的 机器时间 算法A…………可解规模 n=1000 算法B…………可解规模 n=20 Log2100 < 7
的实例，可在 n 的多项式时间内求解（即计算复杂性
为 O（nα））,则称算法 A 为一个解问题 D 的多项式 时间算法。（简称多项式算法）不能这样限制时间复 杂性函数的算法称为指数时间算法。 多项式时间算法: O(n logn)、O(n 2.8)、O(n 2) 指数时间算法: O(n!)、O(3n)
24 25
1s 24s
26
10min
27
28
29
136.5d
30
10.8y
31
325y
4. 3h 4.9d
§1.2 计算复杂性问题
一、如何计算时间
用初等运算——算术运算、比较、转移等指令的次
数，来表示一个算法在假设的计算机上执行时所需的 时间。 相关因素: 1° 与实例的输入规模有关，是输入规模
的函数（输入规模指的是：一个问题的实例所有参数
返回
§1.2 计算复杂性问题
在广泛的意义下，执行算法的效率是用执行算法所 用的全部计算资源的多少来衡量(时间、空间),但通常 用时间作为衡量标准，这就是计算(时间)复杂性问题.
讨论TSP问题
设有n个城市(有向图)则有(n-1)！种可能方案。以计 算机1秒可以完成24个城市所有路径枚举为单位，则
城市数 计算时间
1 2 3 5 6 7 8 9
§1.2 计算复杂性问题
设 机器速度100万次/秒
比较交换法O(n2) ……需5.8天
n = 100万
快速算法 O(n logn) ……需20秒
设 计算机速度为 M 次/秒
问题 D
算法A……计算复杂性 n2 算法B……计算复杂性2n 算法A………可解规模
M
M = n2
s.t.
x
i 1
3
ij
1
j 1,2,3
.
x
j 1
3
ij
1
i 1,2,3
§1.1 组合优化问题与算法
最优解的结果： 27+4+26=57
Note：
1. 贪婪（Greedy) 解 一般不会产生最差 解； 2. 在某些模型中, 贪 婪算法能得到最优 解；
3. 可以使用穷举法，
E
F
G
A 3 27 1 C B 5 10 4 C 26 28 7
§1.1 组合优化问题与算法
组合优化的数学模型：
Min f(x)
s.t. g(x) ≥0 x∈ D
其中x为决策变量
g(x)为约束函数
f(x)为目标函数
D为决策变量的定义域， D为有限集合。 F={x|x ∈D, g(x) ≥0}——可行域
所以，可由（D，F，f ） 定义一个组合优化问题。 组合优化的描述方法： 1°数学模型（规划模型） 2°文字语言叙述
第一章 组合优化问题和计算复杂性
§1.1 组合优化问题与算法
§1.2 计算复杂性问题
§1.3 启发式算法
§1.1 组合优化问题与算法
Example 1 婚姻问题
(matching problem) 共有3!=6种 可能
如何嫁娶， 使获得的礼 品最多？
得到分配矩阵：
女儿
追求者 3 D A 5 26 B 10 27 E 28 4 1 F C 7
最差解的结果： 贪婪解的结果： 28+5+1=34 3+10+7=20
但是以时间为代价
§1.1 组合优化问题与算法 Example 2 背包问题（KP，Knapsack Problem） 共有27种
假设有人要出发旅行,他考虑要带 7种物品（每件物品的重量与价值如 表）现在假设他最多带35 kg 物品， 问：该带哪几件物品总价值最大？ 设： 1 如果带第j种物品 xj j 1~ 7 否 0 7 Max z c j x j
求将他们从小到大重新排列
比较交换法： 取出x1，x2，…xn中的最小者（需比较 n-1次）令其为b1（需n赋值次），从x1，x2，…xn中去 掉b1，在余下的n-1个数中选出最小者，令其为b2，…
直到得到b1,b2,……bn，易知其算法共做了n(n-1)/2次比
较，至多n(n+1)/2次赋值，计算复杂性为，O(n2).
j 1
可能
物品 1 2 3 4 5 6 7
) 重量aj (kg
3 4 3 3 15 13 16
价值c j 12 12 9 15 90 26 112
s.t.
a
j 1
7
j
x j 35
§1.1 组合优化问题与算法
Example 3 一个商人要到n 座城市去做生意， 设两个城市i 和j 之
City 1 共有 （ 旅行商问题（TSP,Travelling Salesman Problem )n-1)! 种可能 City 5
f(n) = O(n4)
问： 当n无限增大时， Ln n , nα(α> 0) , an （a >1）
趋向于无穷大的速度如何？
§1.2 计算复杂性问题
二、如何评价算法的好坏（从计算复杂性角度）
复杂性分析的一个研究方向：对算法进行评价
Example 4 整序问题： 给定n个整数x1，x2，……xn，要
w2，w3…w2m赋值，计算量为O(m)。
将 {x1，x2，……xn}从小到大重新排列（设：n=2p+1 如果n 不是2的幂次可补充若干个很大的数字使之成为2 的幂次）。
§1.2 计算复杂性问题
2 p+1= n
将2p+1个数分成2p个单调不减的2元组,计算量为O(2p) 将2元组两两合并成2p-1个单调不减的4元组，计算量
的函数，用来表示算法的时间需求。对于每一个可能
的输入长度，它是该算法解此输入长度的最坏可能的 实例所需的时间（基本运算步骤）。
§1.2 计算复杂性问题
Note： 研究计算复杂性问题主要是针对n很大的情形 1° 9n2 与 2n2 —— O(n2)
2°
f(n) = 12n4 - 8n3 + 5n2 + 2n - 80
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x2 x3 )
§1.2 计算复杂性问题
Example 6 （TSP）已知完全图 G 上每一条边（vi,vj） 的权wij，及常数 h 。问是否存在一个 H-圈 C，使得
( vi , v j )C
Note：条件(1)，(2)表示每个城市经过一 次，但不能保证它可行，要求局部不构成 圈，条件(3)就是为了约束这一点。
为什么？
i , js
x
ij
s 1
2 s n2
s 1,2,n
若 |s|=n 则由n个点构成的一个回路是可行方案。
| S | n 1 因为 由前面两个约束条件的限制，不可能
A 3 27 1 C B 5 10 4 C 26 28 7
D
E
F
§1.1 组合优化问题与算法 婚姻问题的数学模型：
设：
1 如果第i个人嫁第j个人 xij i, j 1 ~ 3 否 0
Max z cij xij
i 1 j 1
3
3