中考数学专题复习之直角三角形与勾股定理
2012中考数学复习(26)：直角三角形、勾股定理、面积
中考数学复习（26）：直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：338
例1图 32EDCBA 例2图 QPCBA
【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。
答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
150118000120t（小时）＝24（秒）
2021年中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理 (含答案)
2021中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. 433 B. 4 C. 83 D. 43
2. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( )
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
3. (2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数．．．，则点D的个数共有( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
5.
我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为 ( )
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
6. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为 ( )
A. B. C. D.
中考数学直角三角形与勾股定理
第 1 页 共 13 页 专题39直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】
A． B． C． D．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【 】
A．20 B．10 C．5 D．52
3. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】
A．90 B．100 C．110 D．121
【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】
第 2 页 共 13 页
A．45o B．60o C．75o D．90o
【答案】 C。
【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。
【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°。故选C。
5. （2012四川绵阳3分）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。
A．35 B．105 C．310 D．31010
2021年中考数学直角三角形和勾股定理
1 2021年中考数学直角三角形和勾股定理 有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半； 30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。 勾股定理： 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2＋b2＝c2。 勾股数一定是正整数，常见勾股数： 3,4,5； 5,12,13； 6,8,10,； 7,24,25； 8,15,17； 9,12,15。 方法总结： 当不明确直角三角形的斜边长，应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。 2 无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。 翻折题型常用勾股定理（口诀：翻折求边找直角，勾股定理设未知量） 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理，常用于判断三角形的形状，先确定最大边（可以设为c）
最新数学中考复习专题直角三角形
实用标准文档
文案大全 《2017-2018中考数学复习专题
-直角三角形》
一．选择题（每小题3分，共计36分）
1．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．由两个锐角的大小决定
2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BC=2 B．BD=1
C．AD=3
D．CD=2
4．将一副三角板按如图所示方式放置，则∠1与∠2的和是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
第3题图 第4题图 第5题图
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，
若∠A=25°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．70°
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的
长为（ ） 实用标准文档
文案大全 A．5 B．6
C．8 D．10
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC=4，则EF的最小值是（
）
A．4 B．4 C．2 D．2
第6题图
第7题图 第8题图
解直角三角形专题复习
《解直角三角形》专题复习
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB】
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
几何表示：【在Rt△ABC中∵∠ACB=90° ∴222cba】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB
∴ BDADCD•2
ABADAC•2
ABBDBC•2】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（abch••）
由上图可得：AB•CD=AC•BC
二、锐角三角函数的概念
如图，在△ABC中，∠C=90°
casin斜边的对边AA
cbcos斜边的邻边AA
batan的邻边的对边AAA
abcot的对边的邻边AAA
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1)
1cossin22AA
（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数）
tanA•tan(90°—A)=1； cotA•cot(90°—A)=1；
（3）弦切关系
tanA=AAcossin cotA=AAsincos
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等)
中考数学专题复习导学案直角三角形(含答案)
第1页 共27页 中考数学专题练习19《直角三角形》
【知识归纳】
1.直角三角形的定义
有一个角是 的三角形叫做直角三角形
2.直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角 ；
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
3.直角三角形的判定
(1)两个内角 的三角形是直角三角形；
(2)一边上的中线等于这条边的 的三角形是直角三角形
4.勾股定理及逆定理
勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是 三角形
【基础检测】
1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
2.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（ ）
第2页 共27页
A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（ ）
A．6 B．6C．2D．3
5. （·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
中考专项复习--直角三角形
办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！ 龙文教育－中小学生个性化教育集团
1 龙文教育学科教师辅导讲义
课 题 直角三角形
教学目标 1、 熟练掌握勾股定理及其应用
2、 学会处理直角三角形边与角的关系
重点、难点 学会用直角三角形的相关性质解决实际问题
教学内容
直角三角形
知 识 结 构
边 角 线 判定
直角
三角形
222cba
两锐角互余 CD=AD=BD
(斜边上的中线等于斜边的一半)
应用：
①斜边上的中线把Rt△分成两等腰三角形；
②等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△。 ①若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△;
②若222cba，
则△ABC为Rt△;
③若CD=AD=BD，
则△ABC为Rt△;
黄金
直角
三角形 2:3:1::cba
等腰
直角
三角形
2:1:1::cba
类型一、勾股定理及其应用
基础检测：
1．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）。
A．10 B．22 C．10或27 D．无法确定
2．如图网格中一个四边形ABCD，•若小方格正方形的边长为1，•则四边形ABCD的周长是_________。
3．若直角三角形的两直角边比为3：4，斜边长为20，则此三角形的面积为 。
4．一长2.5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底距墙底端0.7米，如果梯子的底端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将滑出 米。
5．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）。
A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半
典型例题：
例1．长、宽、高分别是30m,24m,18m的长方体盒子，盒子内最多能放多长的棍子 。
2019届中考数学复习《直角三角形与勾股定理》专项练习含答案
2019届初三数学中考复习 直角三角形与勾股定理 专项复习练习
1．下列各组中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.3，4，5 B．1，2，3 C．6，7，8 D．2，3，4
2. 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5 B.7 C.5 D．5或7
3. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，DC为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝3，S3＝9，则S2的值为( )
A．12 B．18 C．24 D．48
4. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
5. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A．2a B．22a C．3a D.433a
7. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2
C．(b＋c)(b－c)＝a2
D．a＝3＋k，b＝4＋k，c＝5＋k(k＞0)
8. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( )
直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20)
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直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20)
? 选择题（每小题x分，共y分）
（2022?黑龙江省龙东地区）18、在△ABC中，BC:AC:AB=1:1:
2，则△ABC是
（ D ）
A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
（2022?黑龙江省龙东地区）20、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥
BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有
（ C ）
A A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
M
N
B C
P 第20题图
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0
（2022?遵义）10.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90）,放 置边长分别3,4,x的三个正方形，则x的值为C A. 5
B. 6 C. 7 D. 12
1. （2022山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°,
∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）
A.9.1 B.9.5 C.3.1
D.3.5 【答案】C
2. （2022山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）