2020年九年级数学中考专题训练5 .二次函数压轴题
二次函数压轴题
1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0
(1)求a的值；
(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；
(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°
图① 图②
第1题图
解：(1)∵A(4，0)在抛物线上，
∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－12；
(2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－12x2＋32x＋2，令x＝0可得y＝2，
∴OB＝2，
∵OP＝m， ∴AP＝4－m，
∵PM⊥x轴，
∴△OAB∽△PAN，
∴OBOA＝PNPA，即24＝PN4－m，
∴PN＝12(4－m)，
∵M在抛物线上，
∴PM＝－12m2＋32m＋2，
∵PN∶MN＝1∶3，
∴PN∶PM＝1∶4，
∴－12m2＋32m＋2＝4×12(4－m)，
解得m＝3或m＝4(舍去)，
即m的值为3；
(3)如解图，在y轴上取一点Q，使OQOP2＝32，
第1题解图
由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2， ∴OP2OB＝32，且∠P2OB＝∠QOP2，
∴△P2OB∽△QOP2，
∴QP2BP2＝OP2OB＝32，
∴当Q(0，92)时，QP2＝32BP2，
∴AP2＋32BP2＝AP2＋QP2≥AQ，
∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值，
又∵A(4，0)，Q(0，92)，
∴AQ＝42＋（92）2＝1452，
即AP2＋32BP2的最小值为1452.
2. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于
A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M.
(1)求二次函数表达式及顶点D的坐标；
(2)当PM＝MN时，求点P的坐标；
(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．
第2题图
解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将A，B点代入二次函数表达式中，
得4a＋（－2）b＋4＝016a＋4b＋4＝0，
解得a＝－12b＝1，
∴二次函数的表达式为y＝－12x2＋x＋4，
将其化为顶点式为y＝－12(x－1)2＋92，
∴顶点D的坐标为(1，92)；
(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0，4)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)，将点B(4，0)，点C(0，4)代入得
4k＋c＝0c＝4，解得k＝－1c＝4，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，(5分)
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴设点P的坐标为(t，－12t2＋t＋4)(－2＜t＜4)， ∵PN⊥x轴于N，
∴点N的坐标为(t，0)，
∵PN交BC于M，
∴点M的坐标为(t，－t＋4)，(7分)
∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，
即－12t2＋t＋4＝2(－t＋4)，
解得t1＝2，t2＝4(与B重合舍去)，
∴当PM＝MN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)
第2题解图
(3)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为(t，－12t2＋t＋4)，
∵DH⊥x轴于点H，
∴PG∥DH，
∴△AHE∽△AGP，
△BGP∽△BHF，
∴EHPG＝AHAG，PGFH＝BGBH， ∴EH＝AH·PGAG，FH＝BH·PGBG，(10分)
当点G在BH上时，
∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12t2＋t＋4，
∴EH＋FH＝3(PGt＋2＋PG4－t)＝3·(－12)(t＋2)(t－4)·4－t＋t＋2（t＋2）（4－t）＝9，
同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．
综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值；
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
第3题图 解：(1)由12x＋1＝0，得x＝－2，
∴A(－2，0)，
由12x＋1＝3，得x＝4，∴B(4，3)．
∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，
∴（－2）2·a－2b－3＝042·a＋4b－3＝3，
解得a＝12b＝－12，
如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)．
∵PC∥y轴，∴∠ACP＝∠AEO.
∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝OAAE＝222＋12＝255；
(2)①由(1)知，抛物线的解析式为
y＝12x2－12x－3，
∴P(m，12m2－12m－3)，
C(m，12m＋1)，
∴PC＝12m＋1－(12m2－12m－3)＝－12m2＋m＋4.
在Rt△PCD中，PD＝PC·sin∠ACP＝(－12m2＋m＋4)×255＝－55(m－1)2＋955. ∵－55<0，
∴当m＝1时，PD有最大值955；
②存在，m＝52或329.
【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为点F、G.
第3题解图
由图中几何关系可知
∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，
∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝OEAE＝122＋12＝55，
在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·PD＝55PD＝－15(m2－2m－8)．
又∵BG＝4－m，
∴PBCPCDSS△△＝DFBG＝－15（m2－2m－8）4－m＝m＋25.
当PBCPCDSS△△＝m＋25＝910时，解得m＝52；
当PBCPCDSS△△＝m＋25＝109时，解得m＝329. ∴m＝52或329.
4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，在OC上取一点E，使OA＝OE，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，E，B三点．
(1)求B，E点的坐标及抛物线表达式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求M点的坐标；
(3)若点D为OA中点，过D作DN⊥BC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PF⊥DN于F，PG⊥AC于G，连接GF，是否存在点P，使△PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
第4题图
解：(1)∵OA＝3，AB＝4, OA＝OE，∴A(0，3)，B(－4，3), E(－3，0)．
将A，B，E三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，
得c＝316a－4b＋c＝39a－3b＋c＝0，解得a＝1b＝4c＝3，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3；(3分)
(2)∵抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴为直线x＝－2，点A关于对称轴的对称点为点B，
∴当|MA－ME|最大时，M在直线BE与直线x＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x＝－2于点M，M点即为所求，如解图①，(5分)
第4题解图①
设直线BE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵直线过B(－4，3)，E(－3，0)，
∴－4k＋b＝3－3k＋b＝0，
∴k＝－3b＝－9，
∴直线BE的解析式为y＝－3x－9.
当x＝－2时， y＝－3，
∴M(－2，－3)；(7分)
(3)设P(x，0)(x＜0)，如解图②，过点P分别作PF⊥DN于点F，PG⊥AC于点G，
过点G作GH⊥OC于点H，交DN于点Q，连接GF，
第4题解图② ∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°，
∴AC＝5，
∵D为OA的中点，DN⊥BC，
∴PF＝32，sin∠1＝PGPC＝OAAC，
∴PGx＋4＝35，
∴PG＝3（x＋4）5，
∵cos∠1＝CGPC＝OCAC，
∴CGx＋4＝45，
∴CG＝4（x＋4）5.
∵△CGH∽△CAO，
∴GHAO＝CGCA＝CHCO，
∴GH3＝CG5＝CH4，
∴GH＝35CG＝35×4（x＋4）5＝12（x＋4）25，
CH＝45CG＝45×4（x＋4）5＝16（x＋4）25，(9分)
∴PH＝QF＝OC－CH－OP＝4－16（x＋4）25＋x＝9（x＋4）25，
GQ＝GH－QH＝12（x＋4）25－32， ∴在Rt△GQF中，
GF2＝[12（x＋4）25－32]2＋81（4＋x）2625＝9（x＋4）225－36（x＋4）25＋94.
要使△PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论：
(ⅰ)当GF＝GP时， GF2＝GP2，
∴9（x＋4）225－36（x＋4）25＋94＝9（x＋4）225，
∴x＝－3916，
∴P1(－3916，0)；(11分)
(ⅱ)当FG＝FP时，FG2＝FP2，
∴9（x＋4）225－36（x＋4）25＋94＝94，
∴x1＝－4，x2＝0.
∵点P不与C重合，
∴x＝－4(舍去)，∴P2(0，0)；
(12分)
(ⅲ)当PG＝PF时，3（x＋4）5＝32，
∴x＝－32，
∴P3(－32，0)．(13分)
综上所述，存在P1(－3916，0)，P2(0，0)，P3(－32，0)使△PFG为等腰三角形．(14
2020-2021九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案
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一、二次函数
1．如图，已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线1x，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.
（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴1x上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为223yxx，直线的解析式为3yx=+.（2）(1,2)M；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或317(1,)2或317(1,)2.
【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：1203baabcc，解得：123abc，
∴抛物线的解析式为223yxx.
∵对称轴为1x，且抛物线经过1,0A，
∴把3,0B、0,3C分别代入直线ymxn， 得303mnn，解之得：13mn，
2020-2021九年级备战中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案
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一、二次函数
1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为 ：P1（3+52，152），P2（352-，1+52），P3（5+52，1+52），P4（552，152）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
• 2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．
特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．
②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．
③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．
猜想论证：
（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．
（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．
•
2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；
（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
•
•
3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．
（1）直接写出抛物线C的解析式；
最新九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)
试卷第1页，共10页 2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）
1．已知，二次函数23yaxbx的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为1,0，且OBOC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当04x时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使PCC△与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，抛物线234yxx与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接,ACBC．
(1)求ABC的面积；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作PDAC∥交直线BC于点D，过点P作直线PEx∥轴交直线BC于点E，求PDPE的最大值及此时P的坐标； 试卷第2页，共10页 (3)在（2）的条件下，将原抛物线234yxx沿射线AC方向平移217个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
3．已知抛物线2yxbxc与x轴交于1030AB，、，两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足PBPC，求点P的横坐标；
(3)连接CDBC，，点E为线段BC上一点，过点E作EFCD交CD于点F，若12DFCF，求点E的坐标．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线24yaxbx与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线4yx经过B、C两点，4OBOA． 试卷第3页，共10页 (1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作PDx轴交BC于点D，垂足为N，连接PC交x轴于点E，设点P的横坐标为t，PCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
2020年中考数学压轴题突破专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题
1 2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练
专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题
【真题再现】
1．（2019年宿迁28题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
3．（2018年常州28题）如图，二次函数ybx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝
，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
4．（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标． 3
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-动态几何问题练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-
动态几何问题练习题及答案_2020
年
压轴题版
答案
答案2020
年中考数学：函数_
二次函数_
二次函数的实际应用-
动态几何问题练习题
~~
第1
题~~
(2020
杭州.
中考模拟)
如图1
，经过原点
O
的抛物线y=ax+bx
（a≠0
）与x
轴交于另一点A
（ ，0
），在第一象限内与直
线y=x
交于点B
（2
，t
）．
（1
）
求这条抛物线的表达式；
（2
）
在第四象限内的抛物线上有一点C
，满足以B
，O
，C
为顶点的三角形的面积为2
，求点C
的坐标；
（3
）
如图2
，若点M
在这条抛物线上，且∠MBO=
∠ABO
，在（2
）的条件下，是否存在点P
，使得△POC
∽△MOB
？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
一次函数的性质;
待定系数法求二次函数解析式;
二次函数的实际应用-
动态几何问题;
相似三角形的判定与性质;~~第2
题~~
(2020
郑州.中考模拟)
如图，抛物线
与x
轴交于点 ，点
，与y
轴交于点C，且过点
．点P
、Q
是抛物线
上的动点．
（1
） 求抛物线的解析式；
（2
）
当点P
在直线OD
下方时，求
面积的最大值．（3
）
直线OQ与线段BC
相交于点E
，当
与
相似时，求点Q
的坐标．
考点：
二次函数的实际应用-
动态几何问题;
~~
第3
题~~
(2020
百色.
中考模拟)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y
＝﹣x+bx+c
的图象与x
轴交于A
、B
两点，A
点的坐标为
（﹣3
，0
），B
点在原点的左侧，与y
轴交于点C
（0
，3
），点P
是直线BC
上方的抛物线上一动点2
2
答案
答案
答案（1
）
求这个二次函数的表达式；
（2
）
连接PO
、PC
，并把△POC
沿CO
翻折，得到四边形POP′C
（如图1
所示），那么是否存在点P
，使四边形POP′
C
为菱形？若存在，请此时点P
的坐标：若不存在，请说明理由；
（3
）
当点P
运动到什么位置时，四边形ABCP
的面积最大，并求出其最大值.
考点：
二次函数y=ax^2+bx+c
的性质;
待定系数法求二次函数解析式;
2020年-2020年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)
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1 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；
（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．
4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；
2020-2021九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习含答案
2020-2021九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习含答案
一、二次函数
1．如图，已知直线ykx6与抛物线2yaxbxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。
【答案】解：（1）2yx2x3；（2）存在，P（1-132，13-12）；（3）Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.
【解析】
【分析】
（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的面积问题考点专练pdf含解析20200628115
2020年中考数学压轴题：二次函数的面积问题考点专练
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】如图，抛物线y
＝ax
2+bx
+c
经过A
（﹣1，0）、B
（4，0）、C
（0，3）三点，D
为直
线BC
上方抛物线上一动点，DE
⊥BC
于点E
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣3
4x
2+9
4x
+3；（2）最大值是12
5．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据
相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得，0
1640
3abc
abc
c＝
＝
＝
，解得，3
4
9
4
3a
b
c＝
＝
＝
，
抛物线的函数表达式为y＝﹣3
4x2+9
4x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，由勾股定理得，BC＝
22OCOB＝5，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则40
3kb
b
＝
＝，解得3
4
3k
b
，
∴直线BC的解析是为y＝﹣3
4x+3，
设点M的坐标为（a，﹣3
4a+3），DM＝（﹣3
4a2+9
4a+3）﹣（﹣3
4a+3）＝﹣3
4a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，∴DEBO
DMBC，即DE
DM＝4
5，解得，DE＝4
5DM∴DE＝﹣3
5a2+12
5a＝﹣3
5（a﹣2）2+12
5，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是12
5．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次
函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式1-1】．已知抛物线y
=mx
2+2mx
+m
-1和直线y
=mx
+m
-1，且m
≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T
（t
，0），且-1≤t
≤1，过点T
作x
轴的垂线，与抛物线交于点P
九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)
1 《二次函数综合》压轴题专题训练
1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： ．
（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．
①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
2 2．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．
（1）直接写出抛物线C1的解析式 ；
（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；
（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 ．
3 3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．
（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；