2020年中考数学压轴题之二次函数专题突破(含详解)

2020年中考数学压轴题之二次函数专题突破
1．如图，抛物线y=-x 2
+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，A （-1，0），B （3，0）．
（1）求出二次函数的表达式．
（2）点P 在x 轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P 的坐标．
（3）在x 轴上方抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q ，C ，B ，O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x 2
+2x+3；（2）P （6，0）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点Q 1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭．【分析】
（1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；
（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况，①P 在B 的右侧时，延长BD 交y 轴于点H ，由∠OCB=∠OBC=45°，可证明∠HCB=∠CBP，从而△PCB≌△HBC，由直线BD 即可求得：OH=OP=6，从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时，此时PC∥BD，根据一次函数解析式即可求出P ；
（3）分以下两种情况分别求解，①点Q 在y 轴右侧时，由OB=OC ，可得出OQ 是∠BOC 的平分线，联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时，可得这条对角线只能是BQ ，过点C 作x 轴的平行线EF ，过点Q ，B 分别作EF 的垂线，垂足分别为F ，E ，延长FQ 交x 轴于点G ，设点Q 的坐标为(m ，n)，根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于m ，n 的关系式，再与二次函数的解析式联立即可求解．
2．已知，如图，二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -，交y 交轴于点(0,3)C ，
D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．
（1）求二次函数关系式；
（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．
①求AP PD +的最小值及取得最小值时点P 的坐标； ②在①的条件下，把APF V 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF V 与MBF V 重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2
P 坐标为(1,1)；②2221(2)1(01)4751(12)12
331(4)(24)6t t S t t t t t ⎧--+≤≤⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，当107t =时，S 最大值67=．【分析】
（1）函数对称轴为x=1，则点B （3，0），用交点式表达式得：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3），即可求解；
（2）①连接BD ，过点A 作AH⊥BD 于点H ，交DF 于点P ，
PD=AP+PD ，此时
PD=AH 最小，即可求解；
②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t ＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．
3．平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线21233
y x x c =-+交x 轴于,A B 两点(如图)，顶点是C ，对称轴交x 轴于点,2,D OB OA =
（1）如图(1)求抛物线的解析式；
（2）如图(2)E 是第三象限抛物线上一点，连接ED 并延长交抛物线于点F ，连接,,EC FC 求证：90ECF ∠=︒；
（3）如图(3)在(2)问条件下，,M N 分别是线段,OA CD 延长线上一点，连接,MN CM ，过点C 作CQ MN ⊥于,Q CQ 交DM 于点P ，延长FE 交MC 于R ，若
2,NMD DMC ∠=∠DN BO +,:7:3,MP MR RC ==求点F 坐标．
【答案】（1）2128333y x x =--；（2）证明见解析；（3）75,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．【分析】
（1）设DA=DB=m ，根据抛物线对称性和OB=2OA ，建立方程求解即可；
（2）配方法可求得抛物线顶点坐标，过点E 作EH⊥CD 于G ，过F 作FG⊥CD 于G ，可证明△DEH∽△DFG，tan∠GFC=tan∠ECH，即可证明∠ECF=90°；
（3）以DM 为边在x 轴上方作正方形DMKT ，延长CQ 交KT 于S ，过S 作SG⊥DM 于G ，连接MT ，作∠SCT 平分线交MT 于I ，过点I 作IJ⊥CT 于J ，设DM=t ，则DT=TK=t ，易证：△MDC≌△CJI，△MDN≌△SGP，可得：SZ=SL=t-7，CZ=CJ=t ，CS=2t-7，利用勾股定理建立方程即可求得点M 坐标，再利用相似三角形性质可求得点R 坐标，运用待定系数法即可求得直线DR 解析式，解方程组可求得点F 的坐标．
4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣
2
经过点A （﹣2，与x 轴相交于B ，C 两点，且B 点坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D 的坐标；
（3）抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ ，DQ ，在抛物线上有一个动点P ，且S △PBD ＝S △BDQ ，求满足条件的点P 的横坐标．
【答案】（1）2y x =-（2）1D ⎛ ⎝⎭
；（3）83 【分析】
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设对称轴于BC 的交点为E ，先求出点C ，点E 坐标，可求BC=4，BE=CE=2，由折叠的性质可得BC'的长，由勾股定理可求C'E ，DE 的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用等底等高的两个三角形的面积相等，可求解．
5．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若
8
CG AG =，求点P 的坐标．
【答案】（1）21322y x x =
--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；
（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；
（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN⊥BE 于点N ，过点P 作PM⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt△PME≌Rt△ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接
AC 、BC ，能够进一步证明△ACK≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=BG=6m ，过点G 作GL⊥x 轴于点L ，在Rt△ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322
t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标. 6．已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-
（1）若2,k =则新函数y = ；
（2）若新函数y 的解析式为2
2,y x bx =+-则k = ，b = ；（3）设新函数y 顶点为(),m n ．
①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值；
②求n 与m 的函数解析式；
（4）请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点
为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．
【答案】（1）261-+x x ；（2）5,12-；（3）①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；（4）1712=k 或1712k =-或3512
k =- 【分析】
（1）将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；
（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；
（3）①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值；
②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；
（4）先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．。

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2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°，故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴，解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得，解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。

2020年中考数学二次函数压轴题(含答案40页)

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

2020中考数学压轴专题图：二次函数综合题(含答案)

2020中考数学压轴专题图：二次函数综合题（含答案）1.如图,直线y=−34x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值；(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.第1题图备用图解:（1）∵直线y=−34x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,∴点B的坐标是（0,3）,点C的坐标是（4,0）,∵抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点,∴3164043a cc+⨯+==⎧⎪⎨⎪⎩,解得383ac=-=⎧⎪⎨⎪⎩,∴y=−38x2+34x+3；（2）如解图①,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,交x轴于点F,第1题解图①∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,∴设点E的坐标是（x,−38x2+34x+3）,则点M的坐标是（x,−34x+3）,∴EM=−38x2+34x+3−(−34x+3)=−38x2+32x,∴S△EBC=S△BEM+S△MEC =12EM·OC=1 2×（−38x2+32x）×4=−34x2+3x=−34（x−2）2+3,∴当x=2时,即点E的坐标是（2,3）时,△BEC的面积最大,最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.（I）如解图②,由（2）可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=−34x+3上,∴点M的坐标是（2,32）,∵y=−38x2+34x+3的对称轴是直线x=1,∴设点Q的坐标是（1,m),点P的坐标是（x,−38x2+34x+3）,∵x<0,点A（−2,0）,∴根据平行四边形的性质可得x M−x A=x Q−x P,2−（−2)=1−x,解得x=−3,∴点P的坐标为（−3,−218）; （II ）如解图③,点M 的坐标是（2,32）,设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）,∵x >0,由平行四边形的性质可得x M −x A =x P −x Q ,则2−（−2）=x −1,解得x =5,∴点P 的坐标是（5,−218）. （III ）如解图④,点M 的坐标是（2,32）,∴设点Q 的坐标是（1,m ）,点P 的坐标是（x ,−38x 2+34x +3）（x <0）,由平行四边形的性质可得x M −x P =x Q −x A ,则2−x =1−（−2）,解得x =−1,∴点P 的坐标是（−1,158）,综上,可得在抛物线上存在点P ,使得以P 、Q 、A 、t 为顶点的四边形是平行四边形,点P 的坐标是（−3,−218）,（5,−218）,（−1,158）.图② 图③ 图④第1题解图2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在x 轴上,点B （4,2）在抛物线 bx ax y +=2上,且抛物线交 x 轴于另一点D （6,0）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知E 为BC 边上一个动点（不与B 、C 重合）,连接 AE 交OB 于点 P ,过点 E 作 y 轴的平行线分别交抛物线、直线 OB 于 F 、G ． ①求线段 FG 的最大值,此时△ PFG 的面积为多少？②若以点O 为圆心,OP 为半径作⊙O ,试判断直线 AE 与⊙O 能否相切？若能,请求出 E 点的坐标;若不能,请说明理由．第2题图解：（1）把点B （4,2）和点 D （6,0）分别代入bx ax y +=2得：⎩⎨⎧=+=+06362416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2341b a , ∴抛物线的表达式为x x y 23412+-=；（2）①如解图①,连接 PF , 设直线 OB 解析式为 y = kx , 把 B （4,2）代入得21=k , 即直线OB 的解析式为x y 21=,设E （e ,2）,则有F (e , )23412e e +-,G (e ,)21e , ∴()124141212341222+--=+-=-+-=e e e e e e FG , 当 e = 2时, FG 取得最大值,最大值为1；此时E （2,2）,设直线AE 的解析式为y = mx +n , 把A （4,0）, E （2,2）代入得:⎩⎨⎧=+=+2204n m n m ,解得⎩⎨⎧=-=41n m , ∴直线AE 的解析式为y = −x +4,与xy21=联立得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=xyxy214,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3438yx,即P（38,34）,则31)238(121PFG=-⨯⨯=△S；第2题解图①②当AE⊥OB,垂足为点P时,以点O为圆心,OP为半径作⊙O,直线AE与⊙O相切,如解图②,∵直线OB解析式为xy21=, AE⊥OB,且A（4,0）,∴直线AE解析式为y = −2（x − 4）= − 2x+8,把y = 2代入得x = 3,则此时点E坐标为（3,2）．第2题解图②3.如图,已知抛物线y=−21x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD =1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D 同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.（1）求抛物线的解析式;（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大,最大面积是多少？（3）当△CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点P （点E 除外）,使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.第3题图解：（1）∵OB =8,tan ∠ABD =1, ∴OA =OB =8, ∴A （0,8）, B （8,0）.把点A （0,8）,B （8,0）代入y =−21x 2+bx +c 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-=0882182c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b , ∴抛物线解析式为y =21-x 2+3x +8; （2）令y =0,有−21x 2+3x +8=0, 解得x 1=−2, x 2=8, ∴E （−2,0）, ∴BE =10,∵S △CED =21DE ×OC , ∴S =21t ×（10−t ）=−21t 2+5t ,∴S 与t 的函数关系式为S =−21t 2+5t =−21（t −5）2+225（0≤t ≤8）,∵021<-=a ,∴当t =5时,△CED 的面积最大,最大面积为225; （3）存在.当△CED 的面积最大时,t =5,即BD =DE =5,此时要使S △PCD = S △CED ,CD 为公共边,只需求出过点B 、或过点E 且平行于CD 的直线即可,如解图：第3题解图设直线CD 的解析式为y =kx +b , 由（2）可知OC =5,OD =3, ∴C （0,5）,D （3,0）,把C （0,5）、D （3,0）代入得⎩⎨⎧=+=035b k b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=535b k , ∴直线CD 的解析式为y =−35x +5, ∵DE =DB=5,∴过点B 且平行于CD 的直线为y =−35（x −5）+5, 过点E 且平行于CD 的直线为y =−35（x +5）+5, 分别与抛物线解析式联立得：方程①：−21x 2+3x +8=−35（x −5）+5, 解得x 1=8, x 2=34,方程②：−21x 2+3x +8=−35（x +5）+5, 解得x 3=334, x 4=−2, 分别将x 的值代入抛物线的解析式,得y 1=0 , y 2=9100 , y 3=−9200, y 4=0 , 又∵P 点不与E 点重合,∴满足题意的P 点坐标有3个,分别是P 1（8,0）, P 2（34,9100）, P 3（334,−9200）. 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与 x 轴交于A , B 两点,与y 轴交于点C ,且OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6. (1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点N 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN 存在时,求运动多少秒使△MBN 的面积最大,最大面积是多少？(3) 在(2)的条件下,△MBN 面积最大时,在BC 上方的抛物线上是否存在点P ,使△BPC 的面积是△MBN 的面积的9倍,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝2,OB ＝8,OC ＝6,∴根据函数图象得A (－2,0),B (8,0),C (0,6),将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-6,0864024c c b a c b a解得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=6,4983c b a∴抛物线的解析式为649832++-=x x y ；(2)设运动时间为 t 秒,则 AM ＝3t ,BN ＝t ,MB ＝10－3t , 在 Rt △BOC 中,BC =2268+=10, 如解图①,过点 N 作 NH ⊥AB 于点 H ,第 4 题解图①∴NH ∥CO , ∴△BHN ∽△BOC , ∴BC BNOC HN =, 即106tHN =, ∴t HN 53=, ∴()t t HN MB S MBN533102121⋅-=⋅=△=+-=t t 31092235109⎪⎭⎫ ⎝⎛--t 25+, ∵当△MBN 存在时,0＜ t ＜310,∴当 t =35时,S △MBN 最大,最大面积是25,即运动35秒使△MBN 的面积最大,最大面积是25； (3)存在．设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋c (k ≠0), 把 B (8,0),C (0,6)代入,得,608⎩⎨⎧==+c c k 解得,643⎪⎩⎪⎨⎧=-=c k∴直线 BC 的解析式为643+-=x y , ∵点 P 在抛物线上,∴设P ⎪⎭⎫⎝⎛++64983-2m m m ，, 如解图②,过点 P 作 PE ∥y 轴,交 BC 于点 E ,第4题解图②则 E 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+-643,m m ,∴m m m m m EP 3836436498322+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-=,当△MBN 的面积最大时,S △BPC ＝9S △MBN ＝245, ∵BEP CEP BPC S S S △△△+=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⨯⨯=-⋅+⋅=m m EPm EP m EP 3834821821212 m m 12232+-=,∴24512232=+-m m ,解得 m 1＝3,m 2＝5,当m 1＝3时,875649832=++-m m ,当m 2＝5时,863649832=++-m m ,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛8635875,3，或P . 类型三相似三角形存在性问题5.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=−45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,且CM =25. (1)求出抛物线的解析式;(2)动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M 运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?(3) 在(2)的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似？若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1, ∴y 1=21x +1,把y =25代入y 1=21x +1得x =3, ∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=−45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b ,∴y 2=−45x 2+417x +1. （2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =−45t 2+417t +1, FP =21t +1, MP =3−t , 则EF =EP −FP =−45t 2+417t +1−21t −1=−45t 2+415t , FM =10545222+-=+t t PM PF ,∴−45t 2+415t=25①,105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 即当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在.由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1, 将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=−45x 2+417x +1中,得y 2=4. ∴点E （1,4）,F （1,23）,将y =0代入y 1=21x +1中,得x =−2,∴点A 的坐标为（−2,0）, ①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF 于点Q 1,第5题解图∵四边形EFMC 为菱形, ∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC , ∴∠EFC =∠ECF =∠ACM , 又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°, ∴△EQ 1F ∽△AMC , ∵EF =EC ,EQ 1⊥CF , ∴Q 1为CF 的中点, ∵F （1,23）,C （3,25）,∴点Q1的坐标为（2,2）;②如解图,过点E作EQ2//x轴,交直线BC于点Q2,∵EQ2//x轴,∴∠EQ2F=∠CAM,∠Q2EF=∠FP A=90°,∴∠Q2EF=∠AMC=90°,∴△EQ2F∽△MAC,又∵E（1,4）,∴设Q2（x,4）,1x+1,得x=6,将y=4代入y1=2∴点Q2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A (0,－6)和点C(6,0)．第6题图(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B,试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P,使得△P AC是以AC为底的等腰三角形？若存在,请求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)将A (0,－6)和C (6,0)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中,得⎩⎨⎧=++-=06366c b c ,解得⎩⎨⎧-=-=65c b , ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)由x 2－5x －6＝0,解得x 1＝－1,x 2＝6, ∴点B 的坐标为B (－1,0), 即点B 在(－6,0)与原点之间, 又∵OA ＝OC ＝6, ∴∠BAC 为锐角, ∴△ABC 为锐角三角形； (3)存在．如解图,设M 为线段AC 的中点,则OM 为AC 的垂直平分线, 直线OM 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P , ∵A (0,－6),C (6,0), ∴点M 的坐标为(3,－3), 设直线OM 的解析式为y ＝kx , 将点M (3,－3)代入得,k ＝－1, 即直线OM 的解析式为y ＝－x ,联立⎩⎨⎧--=-=652x x y x y ,得x 2－4x －6＝0, ∴x 1＝2－10, x 2＝2＋10,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=210102y x ,或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=210102y x , ∴点P 的坐标为(2－10,10－2)或(2＋10,－2－10)．第6题解图7. 如图,抛物线c bx x y ++=2与直线y ＝x －1交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为－4,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作 PC ⊥x 轴于点C ,交直线AB 于点D . (1)求抛物线的解析式；(2)当m 为何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少？(3)是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．第7题图解：(1)∵在 y ＝x －1 中,当 x ＝0 时,y ＝－1, 当 y ＝－4 时,x ＝－3,∴点 B 的坐标为(0,－1),点 A 的坐标为(－3,－4),∵抛物线 c bx x y ++=2与直线 y ＝x －1 交于 A 、B 两点,∴⎩⎨⎧-=+--=4391c b c ,解得⎩⎨⎧-==14c b , ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x －1；(2)∵点 P 的横坐标是 m ,且点P 在抛物线y ＝x 2＋4x －1上, PC ⊥x 轴, ∴P (m ,m 2＋4m －1), D (m ,m －1)． ∵点 P 在线段 AB 的下方, ∴－3<m <0,∴49)23(3)14(1222++-=--=-+--=m m m m m m PD , ∴当23-=m 时,线段 PD 取得最大值,最大值是49； (3)存在．当∠APD ＝90°时,如解图①, ∵PC ⊥x 轴, ∴∠PCF ＝90°, ∴∠PCF ＝∠APD , ∴CF ∥AP ,即 x 轴∥AP ,∴点 P 与点 A 的纵坐标相同,即 m 2＋4m －1＝－4, 解得 m 1＝－1,m 2＝－3(与 A 重合,舍去), ∴P (－1,－4)；第7题解图① 第7题解图②当∠P AD ＝90°时,如解图②,过点 A 作 AE ⊥x 轴于点 E , PD ＝－3m －m 2,CE ＝3＋m , 在 y ＝x －1 中,当 y ＝0 时,x ＝1,∴F (1,0),即 OF ＝1, ∴EF ＝4,AF ＝24, ∵PC ⊥x 轴,∴AE ∥CD , ∴ADAF EC EF =,∴AD m 2434=+, ∴()m AD +=32, ∵AE ∥CD , ∴∠ADP ＝∠EAF ,∵∠P AD ＝∠AEF ＝∠DCF ＝90°, ∴△P AD ∽△FEA ,∴AE AD FA PD =,∴()4322432m m m +=--, ∴m 3＝－2,m 4＝－3(与 A 重合,舍去), ∴P (－2,－5),综上所述,P 点的坐标为(－1,－4)或(－2,－5).类型五特殊四边形存在性问题8.如图,一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0)． (1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上存在点P ,使S △BDC ＝S △PBC ,求出P 点坐标(不与已知点重合)； (3)点N 为x 轴上一点,平面内是否存在点M ,使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形？如果存在,请求出M 点的坐标；如果不存在,请说明理由．第8题图解：(1)将x ＝0代入y ＝12x ＋1中,得：y ＝1, ∴B (0,1),将B (0,1),D (1,0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎨⎧c ＝1b ＋c ＋12＝0,解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝1, ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－32x ＋1；(2)如解图①,过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ,过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ,第8题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝32,即F (1,32), 设点P (x ,12x 2－32x ＋1), 则G (x ,12x ＋1),∴GP ＝|12x ＋1－(12x 2－32x ＋1)|＝|－12x 2＋2x |. ∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积, ∴DF ＝GP ,即|12x 2－2x |＝32,当12x 2－2x ＝32时,解得x ＝2＋7或x ＝2－7, ∴点P 的坐标为(2＋7,7＋72)或(2－7,7－72), 当12x 2－2x ＝－32时,解得x ＝3或x ＝1(舍去), ∴点P 的坐标为(3,1),综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(2＋7,7＋72)或(2－7, 7－72)；(3)如解图②所示,当∠CBN ＝90°时,则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1,将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋1y ＝12x 2－32x ＋1,第8题解图②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1（舍去）,或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3,∴点C 的坐标为(4,3),将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0,解得x ＝12,∴点N 的坐标为(12,0),设点M 的坐标为(x ,y ),∵四边形BNMC 为矩形,∴12＋42＝0＋x 2,0＋32＝1＋y 2,解得x ＝92,y ＝2,∴点M 的坐标为(92,2)；如解图③所示,当∠CNM ＝90°时,第8题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ,将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3,解得n ＝11,∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11,将y ＝0代入得－2x ＋11＝0,解得x ＝112,∴点N 的坐标为(112,0),设点M 的坐标为(x ,y ),∵四边形BMNC 为矩形,∴0＋1122＝4＋x 2,1＋02＝3＋y 2,解得x ＝32,y ＝－2,∴点M 的坐标为(32,－2)；如解图④所示,当∠BNC ＝90°时,过点C 作CF ⊥x 轴,垂足为F ,第8题解图④设ON ＝a ,则NF ＝4－a ,∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°,∠BNO ＋∠CNF ＝90°,∴∠OBN ＝∠CNF ,又∵∠BON ＝∠CFN ,∴△BON ∽△NFC ,∴ON CF ＝OB NF ,即a 3＝14－a,解得：a ＝1或a ＝3, 当a ＝1时,点N 的坐标为(1,0),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形,∴0＋42＝1＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝3,y ＝4,∴点M 的坐标为(3,4)；当a ＝3时,点N 的坐标为(3,0 ),设点M 的坐标为(x , y ), ∵四边形BNCM 为矩形,∴0＋42＝3＋x 2,1＋32＝0＋y 2,解得x ＝1,y ＝4,∴点M 的坐标为(1,4),综上所述,点M 的坐标为(3,4),(1,4),(32,－2)或(92,2)．。

2020年九年级数学备战中考：二次函数压轴题(含答案)

二次函数压轴题中考真题集合1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD.（1）用含a的代数式表示点C的坐标.（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.（3）当PH＝2时，求点P的坐标.3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.4.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ =12时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.5.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值. （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式.（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标.（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出ΔPCE与ΔACD全等时点P的坐标.x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12＝﹣1x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交2于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7.（1）求此抛物线的解析式.（2）求点N的坐标.时，求点F的坐标.（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤ √5），请直接写出S与t的函数关系式.8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=−2x2+ bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式.BF时，求（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12sin∠EBA的值.（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.（1）求抛物线的解析式.（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ 时，求点P的坐标.（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.x2+bx+c与x轴交于A（−1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交10.抛物线y=−29x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,D重合）.过点C作直线PB 的垂线交PB于点E，交x轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2 √2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的边BC在x轴上，∠ABC=90∘，以A为顶点的抛物线y=−x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上.（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ,CQ，当t为何值时，ΔACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.13.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=14x2+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14.在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．答案解析部分1.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，即c=−3a，则点C(0,−3a)（2）解：过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵∠CDP+∠PDC=90°，∠PDC+∠Q DB=90°，∴∠QDB=∠DCP，设：D(1,n)，点C(0,−3a)，∠CPD=∠BQD=90°，∴△CPD∽△DQB，∴CPDQ =PDBQ=CDBD，其中：CP=n+3a，DQ=3−1=2，PD=1，BQ=n，CD=−3a，BD=3，将以上数值代入比例式并解得：a=±√55，∵a<0，故a=−√55，故抛物线的表达式为：y=−√55x2+2√55x+3√55（3）解：如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，设：OC=m=−3a，S1=SΔOBD=12×OB×DM=32DM，S2=SΔOAC=12×1×m，而S1S2=23，则DM=2m9，HN=12DM=m9=19OC，∴BN=19BO=13，则ON=3−13=83，则DO⊥BC，HN⊥OB，则∠BHN=∠HON，则tan∠BHN=tan∠HON，则HN2=ON×BN=89=(m9)2，解得：m=±6√2（舍去负值），CO=|−3a|=6√2，解得：a=−2√2（不合题意值已舍去），故：a=−2√2.当点C在x轴下方时，同理可得：a=2√2；故：a=−2√2或a=2√2 2.【答案】（1）解：点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4（2）解：tan∠ACO＝AOCO ＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则a4−a =14或a4−a=4，解得：a＝165或45（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN +∠BFN ＝90°，∠FPN +∠PFN ＝90°， ∴∠FPN ＝∠NFB ，∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ， ∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ， ∴△PNF ≌△BEF （AAS ）， ∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a +4）， ∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a +4﹣4＝|2|，解得：a ＝1或12或3+√174或3−√174（舍去），故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+√172，4）.3.【答案】（1）解：在 y =−34x +3 中，令 x =0 ，得 y =3 ，令 y =0 ，得 x =4 ，∴A(4,0) ， B(0,3) ，将 A(4,0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y =−x 2+bx +c 中，得： {−42+4b +c =0c =3，解得：{b =134c =3， ∴ 抛物线的函数表达式为： y =−x 2+134x +3（2）解：存在.如图1，过点 B 作 BH ⊥CD 于 H ，设 C(t,0) ，则 D(t,−t 2+134t +3) ，E(t,−34t +3) ， H(t,3) ；∴EC=−34t+3，AC=4−t，BH=t，DH=−t2+134t，DE=−t2+4t∵ΔBDE和ΔACE相似，∠BED=∠AEC∴ΔBDE∽ΔACE或ΔDBE∽ΔACE①当ΔBDE∽ΔACE时，∠BDE=∠ACE=90°，∴BDDE =ACCE，即：BD·CE=AC·DE∴t(−34t+3)=(4−t)×(−t2+4t)，解得：t1=0（舍去），t2=4（舍去），t3=134，∴D(134，3)②当ΔDBE∽ΔACE时，∠BDE=∠CAE ∵BH⊥CD∴∠BHD=90°，∴BHDH =tan∠BDE=tan∠CAE=CEAC，即：BH·AC=CE·DH∴t(4−t)=(−34t+3)(−t2+134t)，解得：t1=0（舍)，t2=4（舍)，t3=2312，∴D(2312，509)；综上所述，点D的坐标为(134，3)或(2312，509)（3）解：如图3，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE//FG，DE=FG设D(m,−m2+134m+3)，E(m,−34m+3)，F(n,−n2+134n+3)，G(n,−34n+3)，则：DE=−m2+4m，FG=−n2+4n，∴−m2+4m=−n2+4n，即：(m−n)(m+n−4)=0，∵m−n≠0∴m+n−4=0，即：m+n=4过点G作GK⊥CD于K，则GK//AC∴∠EGK=∠BAO∴GKEG =cos∠EGK=cos∠BAO=AOAB，即：GK·AB=AO·EG∴5(n−m)=4EG，即：EG=54(n−m)∴DEGF周长=2(DE+EG)=2[(−m2+4m)+54(n−m)]=−2(m−34)2+898∵−2<0，∴当m=34时，∴▱DEGF周长最大值=898，∴G(134，916).4.【答案】（1）解：直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴{−16+4b+c=00+0+c=4解得：{b=3c=4∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝√2t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝PEPB =√22∴BE＝PE＝√22PB＝t，∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t ∵点M在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t，∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴MPNC =MQNQ=12∴−t 2+4t4−t =12解得：t1＝12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为12（3）解：∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴{−a+m=0a(4−t)+m=−t2+5t解得：{a=tm=t，∴直线AM：y＝tx+t∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4−tt+1，∴DG＝x D＝=4−tt+1，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴CD＝√2DG＝√2(4−t)t+1，∴4﹣t＝√2(4−t) t+1解得：t＝√2﹣1综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝√2﹣1.5.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 23，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD= 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(△M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(△M2N2O)：同理可得：点N2( −1−√734，−3+√734)；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：( −7−√734，−3−√734)、(−1+√734，−3−√734)；综上，点N的坐标为：( −7+√734，−3+√734)或(−1−√734，−3+√734)或(−7−√734，−3−√734)或(−1+√734，−3−√734).6.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，∴{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2，∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3（2）解：如图1，设对称轴与x轴交于点H，∵MN平分∠OMD，∴∠OMN=∠DMN，又∵DM//ON，∴∠DMN=∠MNO，∴∠MNO=∠OMN，∴OM =ON =√2 .在 Rt ΔOHM 中， ∠OHM =90° ， OH =1 .∴ HM =√OM 2−OH 2=√(√2)2−1=1 ， ∴M 1(1,1) ； M 2(1,−1) .①当 M 1(1,1) 时，直线 OM 解析式为： y =x ，依题意得： x =x 2−2x −3 . 解得： x 1=3+√212， x 2=3−√212，∵ 点 Q 在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q 点纵坐标 y =x 1=3+√212.∴ Q 1(3+√212,3+√212) ，②当 M 2(1,−1) 时，直线 OM 解析式为： y =−x ，同理可求： Q 2(1+√132,−1+√132) ，综上所述：点 Q 的坐标为： Q 1(3+√212,3+√212) ， Q 2(1+√132,−1+√132)（3）解：由题意可知： A(−1,0) ， C(0,−3) ， D (1,−4) ，∴AC =√(−1−0)2+(0+3)2=√10 ， AD =√(−1−1)2+(0+4)2=2√5 ， CD =√(0−1)2+(−3+4)2=√2 ， ∵ 直线 BC 经过 B(3,0) ， C(0,−3) ， ∴ 直线 BC 解析式为 y =x −3 ，∵ 抛物线对称轴为 x =1 ，而直线 BC 交对称轴于点 E ， ∴E 坐标为 (1,−2) ；∴CE =√(0−1)2+(−2+3)2=√2 ，设 P 点坐标为 (x,y) ，则CP2=(x−0)2+(y+3)2，则EP2=(x−1)2+(y+2)2，∵CE=CD，若ΔPCE与ΔACD全等，有两种情况，Ⅰ. PC=AC，PE=AD，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=10 (x−1)2+(y+2)2=20，解得：{x1=−3y1=−4，{x2=−1y2=−6，即P点坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6).Ⅱ. PC=AD，PE=AC，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=20 (x−1)2+(y+2)2=10，解得：{x3=2y3=1，{x4=4y4=−1，即P点坐标为P3(2,1)，P4(4,−1).故若ΔPCE与ΔACD全等，P点有四个，坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6)，P3(2,1)，P4(4,−1).7.【答案】（1）解：直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+ 32x+2…①（2）解：抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：32+72=5，故点N的坐标为（5，3）（3）解：∵tan∠ACO＝AOCO =24=12＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：{n=232m+n=0，解得：{m=−43n=2，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）（4）解：如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝AOCO =12，则sinα＝√5，cosα＝√5；①当0≤t≤ 3√55时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ，则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝LT cosα=HH′cosα=t√5=√52t ，DS ＝ DTtanα ，S ＝S △DST ＝ 12× DT ×DS ＝ 52t 2 ；②当3√55＜t ≤ √5 时（右侧图），同理可得：S ＝ S 梯形DGS′T′ ＝ 12× DG ×（GS ′+DT ′）＝ 12× 3+（√52t +√52t ﹣ 32 ）＝3√52t −94 ；综上，S ＝ {52t 2,(0≤t ≤3√55)3√52t −94,(3√55<t ≤√5).8.【答案】（1）解：在 y =2x +6 中，当 x =0 时 y =6 ，当 y =0 时 x =−3 ， ∴ C(0,6) 、 A(−3,0) ，∵抛物线 y =−2x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点， ∴ {−18−3b +c =0c =6，解得 {b =−4c =6，∴抛物线的解析式为 y =−2x 2−4x +6（2）解：令 −2x 2−4x +6=0 ，解得 x 1=−3 ， x 2=1 ，∴ B(1,0) ，设点E 的横坐标为t ，则 E(t,−2t 2−4t +6) ，如图，过点E 作 EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作 FG ⊥x 轴于点G ，则 EH ∥FG ，∴△BFG ∽△BEH ，∵EF=12BF，∴BFBE =BGBH=FGEH=23，∵BH=1−t，∴BG=23BH=23−23t，∴点F的横坐标为13+23t，∴F(13+23t,203+43t)，∴−2t2−4t+6=32(203+43t)，∴t2+3t+2=0，解得t1=−2，t2=−1，当t1=−2时，−2t2−4t+6=6，当t2=−1时，−2t2−4t+6=8，∴E1(−2,6)，E2(−1,8)，当点E的坐标为(−2,6)时，在Rt△EBH中，EH=6，BH=3，∴BE=√EH2+BH2=√62+32=3√5，∴sin∠EBA=EHBE =3√5=2√55；同理，当点E的坐标为(−1,8)时，sin∠EBA=EHBE =4√1717，∴sin∠EBA的值为2√55或4√1717（3）解：∵点N在对称轴上，∴x N=−3+12=−1，∵点E 位于对称轴左侧，∴ E(−2,6) . ①当EB 为平行四边形的边时，分两种情况：（Ⅰ）点M 在对称轴右侧时，BN 为对角线，∵ E(−2,6) ， x N =−1 ， −1−(−2)=1 ， B(1,0) ，∴ x M =1+1=2 ，当 x =2 时， y =−2×22−4×2+6=−10 ， ∴ M(2,−10) ；（Ⅱ）点M 在对称轴左侧时，BM 为对角线，∵ x N =−1 ， B(1,0) ， 1−(−1)=2 ， E(−2,6) ， ∴ x M =−2−2=−4 ，当 x =−4 时， y =−2×(−4)2−4×(−4)+6=−10 ， ∴ M(−4,−10) ；②当EB 为平行四边形的对角线时， ∵ B(1,0) ， E(−2,6) ， x N =−1 ， ∴ 1+(−2)=−1+x M ， ∴ x M =0 ，当 x =0 时， y =6 ， ∴ M(0,6) ；综上所述，M 的坐标为 (2,−10) 或 (−4,−10) 或 (0,6) .9.【答案】（1）解：将点A （3，4），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得： {9a +3b +4=4a −b +1=0 ，解得 {a =−1b =3，∴y ＝﹣x 2+3x +4（2）解：如图1，过点P 作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，∵A （3，4），AD ⊥x 轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴PQDQ =12，∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴PEDB =PQDQ=12，∴PE4=12，∴PE＝2，∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣（x-2）2+3（x-2）+4＝x+1，解得x1＝3+ √2，x2＝3﹣√2，当x＝3+ √2时，x﹣2＝3+ √2﹣2＝1+ √2，x+1＝3+ √2+1＝4+ √2，∴点P（1+ √2，4+ √2）；当x＝3﹣√2时，x﹣2＝3﹣√2﹣2＝1﹣√2，x+1＝3﹣√2+1＝4﹣√2，∴P（1﹣√2，4﹣√2），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1+ √2，4+ √2）或（1﹣√2，4﹣√2）（3）解：由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝√33a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP＝BPtan30°＝√3（a+1），BH＝BPsin30°＝2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴√33a+ √3（a+1）＝4，解得a＝4√3−34，∴BH最小＝2（1+a）＝4√3+12.10.【答案】（1）解：将抛物线化为交点式：y=−29x2+bx+c=−29（x+h）(x+k)将 A （−1,0），B （5,0）代入可得y =−29（x +1）(x -5) =−29(x 2−4x −5)=−29x 2+89x +109.故抛物线解析式为 y =−29x 2+89x +109（2）解：抛物线的对称轴为 x =2 ，则点 C （2，2），设点 P （2，m ），将点 P,B 的坐标代入一次函数表达式： y =sx +t 并解得：函数 PB 的表达式为： y =−13mx +5m3…①， ∵CE ⊥PE ，故直线 CE 表达式中的 k 值为 3m ，将点 C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线 CE 的表达式为： y =3mx +(2−6m )⋅⋅⋅②联立①②并解得： x =2−2m3故点 F(2−2m3,0) S △PCF ＝12×PC ×DF ＝12（2−m)(2−2m 3−2)=5，解得： m =5 或 −3 （舍去 5 ），故点 P （2,−3）;（3）解：由 (2) 确定的点 F 的坐标得：CP 2＝（2−m ）2，CF2＝（2m3）2+4,PF2＝（2m3）2+m 2，①当 CP ＝CF 时，即： (2−m)=(2m 3)2+4 ，解得 m =0 ：或365（均舍去），②当 CP ＝PF 时， (2−m)2=(2m 3)2+m 2 ，解得： m =32或 3 （舍去 3 ），③当 CF ＝PF 时，同理可得： m =±2 （舍去 2 ），故点 P(2,32) 或 (2,−2)11.【答案】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得： {−3=4a −2b +29a +3b +2=2 ，解得：{a =−12b =32，故抛物线的表达式为：y ＝ −12 x 2+ 32 x +2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝−14x+1，设点P（x，−12x2+32x+2），则点H（x，−14x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝12×4×1+ 12×PH×BO＝2+2（−12x2+32x+2+14x−1）＝7，解得：x＝2或32，故点P（2，3）或（32，258）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2 √2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③，联立①③并解得：x ＝ 52，即点M （ 52， 32），点M 沿BD 向下平移2 √2 个单位得：N （ 12， −12）.12.【答案】（1）解：将点 C,E 的坐标代入二次函数表达式得： {−9+3b +c =0c =3 ，解得： {b =2c =3，故抛物线的表达式为： y =−x 2+2x +3 ，则点 A(1,4)（2）解：将点 A,C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AC 的表达式为： y =−2x +6 ，点 P(1,t) ，则点D(6−t2,t)，设点Q(6−t 2,−t 2+20t−244)，S △ACQ =12×DQ ×BC =−t 2+20t−244−t =−14t 2+4t −6 ，∵ −14<0 ，故 S ΔACQ 有最大值，当 t =8 时，其最大值为10（3）解：设点 P(1,m) ，点 M(x,y) ， ①当 EC 是菱形一条边时，当点 M 在 x 轴下方时，点 E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到 C ，则点 P 平移3个单位、向下平移3个单位得到 M ，则 1+3=x ， m −3=y ，而 MP =EP 得： 1+(m −3)2=(x −1)2+(y −m)2 ，解得： y =m −3=√17 ，故点 M(4,√17) ；当点 M 在 x 轴上方时，同理可得：点 M(−2,3+√14) ； ②当 EC 是菱形一对角线时，则 EC 中点即为 PM 中点，则 x +1=3 ， y +m =3 ，而 PE =PC ，即 1+(m −3)2=4+(m −2)2 ，解得：m=1，故x=2，y=3−m=3−1=2，故点M(2,2)；综上，点M(4,√17)或M(−2,3+√14)或M(2,2)13.【答案】（1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y= 14x2-x-3…①，则：C（6，0）；（2）解：符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE=75°时，∵OA=OB，∴∠MBO=30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为- √3，所在的直线方程为：y=- √3x-3…②，联立方程①、②可求得：x=4-4 √3，即：点M的横坐标4-4 √3；当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，直线MB的k值为- √33，其方程为y=-√33x-3，将MB所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x= 12−4√33，故：即：点M的横坐标4-4 √3或12−4√33．（3）解：存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=- 14m2-m-3…③，P′C所在直线的k1= nm−6，P′B所在的直线k2= n+3m，则：k1•k2=-1…④，③、④联立解得：m=2 √6，则P′（2 √6，3-2 √6），则Q′（6-2 √6，2 √6-3）；②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y= 12x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2 √6，2 √6-3）或（2，8）或（-10，32）．14.【答案】（1）解：直线y=12x−2，当x=0时，y=−2；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,−2).∵二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，∴{c=−2,12×42+4b+c=0.解得{b=−32,c=−2.∴二次函数的表达式为：y=12x2−32x−2（2）解：过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点C作CG⊥DE于点G，依题意设D(a,12a2−32a−2)，则F(a,12a−2).其中0<a<4，∴FD=12a−2−(12a2−32a−2)=12a2+2a，∴S=SΔBFD+SΔFCD=12FD⋅BE+12FD⋅CG =12FD⋅(BE+CG)=12FD⋅OB=12×4(−12a2+2a) =−a2+4a=−（a−2）2+4∵−1<0，∴抛物线开口向下．又∵0<a<4，∴当a=2时，S有最大值，S最大值=4（3）解：2或2911在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC.过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，设点K的坐标为(m,0)，则OK=m，CK=BK=4−m.在RtΔOKC中，(4−m)2=m2+22，解得m=32.∴CK=52.当∠DCM=∠QCB=2∠ABC=∠OKC时，∴tan∠QCB=BQBC =2√5=MDCM=OCOK=43.∴BQ=8√5 3.易证ΔQHB∽ΔBOC.∴BHOC =BQBC.∴BH=83, HQ=163.∴Q(203,16 3).∵C(0,−2)，∴直线QC的函数表达式为：y=−12x−2.由12x2−32x−2=−12x−2，解得：x1=2，x2=0（舍）.∴D点的横坐标为2.②当∠CDM=∠CQB=2∠ABC时，方法同①，可确定点D的横坐标为2911 15.【答案】（1）解：设y=a(x+1)(x−3)，把C(0，3)代入，得a=−1，∴抛物线的解析式为：y=−x 2+2x+3，顶点D的坐标为(1，4)（2）解：设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，得{3k+b=0，k+b=4.解得k=−2，b=6，∴直线AD解析式为y=−2x+6，s=12PE·OE=12xy=12x(−2x+6)=−x2+3x，∴s=−x 2+3x(1<x<3)，s=−(x 2−3x+94)+94=−(x−32)2+94，∴当x=32时，s取得最大值，最大值为94（3）解：当s取得最大值，x=32，y=3，∴P(32，3)，∴四边形PEOF是矩形，作点P关于直线EF的对称点P '，连接P 'E、P 'F，法一：过P '作P 'H⊥y轴于H，P 'F交y轴于点M，设MC=m，则MF=m，P 'M=3−m，P 'E=32，在Rt△P 'MC中，由勾股定理，(32)2+(3−m)2=m2，解得m=158，∵CM·P 'H=P 'M·P 'E，∴P 'H=910，由△EHP '∽△EP 'M，可得EHEP '=EP 'EM，EH=65，∴OH=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)；法二：连接PP '，交CF于点H，分别过点H、P '作PC的垂线，垂足为M、N，易证△CMH∽△HMP，∴CMMH =MHPM=12，设CM=k，则MH=2k，PM=4k，∴PC=5k=32，k=310，由三角形中位线定理，PN=8k=125，P 'N=4k=65，∴CN=PN−PC=125−32=910，即x=−910，y=PF−P 'N=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)．把P '坐标(−910，95)代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上．。

2020中考数学难题突破二次函数与几何综合(含答案)

2020中考数学难题突破二次函数与几何综合（含答案）1. 如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-4，0），B （1，0），C （0，3），点P 在抛物线y=ax 2+bx+c 上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值；（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）如解图①，第1题解图①设抛物线的解析式为(4)1y a x x =+-（），把（0，3）代入得到34a =-，∴抛物线的解析式为3(4)14y x x =-+-（），即239344y x x =-+-.(2) 如解图②中,第1题解图②∵A （-4，0），C （0，3）， ∴直线AC 的解析式为334y x =+， ∵P 的横坐标为t ， ∴M （t ,334t +），∵CM 平分PMO ∠，∴CMO CMP ∠=∠, ∵PM //OC ，∴CMP MCO ∠=∠ ∴CMO MCO ∠=∠∴OM=OC =3,∴223+94t t =（+3）解得7225t =-或0（舍弃）.∴t 的值为7225-. (3)设239(,3)44P t t t --+,①当CE 为对角线时，四边形CPED 为菱形，如解图③，则点P 和D 关于y 轴对称，第1题解图③∴239(,3)44D t t t ---+把239(,3)44D t t t --+代入334y x =+得233933444t t t -+=-+-，解得10t =(舍去)，22t =-，此时PD =4,CE =3,此时菱形的面积162PD CE =⋅=;②当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，如解图④，则PD ∥y 轴，CD=PD ，第1题解图④∴3(,3)4D t t +，∴2239333(3)34444PD t t t t t =--+-+=--，而2222325(33)416CD t t t =++-=，即5,4CD t =- ∴235344t t t --=-，解得10t =(舍去)，273t =-，∴3512PD =，此时菱形面积是35724512336⨯=. 综上所述，菱形的面积是6或24536.2. 如图①，若在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线228833y x x =--与x 轴交于点A 、C ，与y 轴交于点B ．（1）设抛物线的顶点为D ，求四边形OADB 的面积；（2）如图②，动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB 按O→A→B 的路线运动，点Q 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设t 秒时△OPQ的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；②判断在①的过程中，t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大面积是多少？第2题图解：(1) ∵抛物线228833y x x =--与x 轴交于点A 、C ,与y 轴交于点B ，∴点A 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(-2,0),点B 的坐标为(0,-8). ∵22282328(2)3333y x x x =--=--, ∴顶点D 的坐标为(2,323-). 在解图①中,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,则OE =2，DE =323,AE =6-2=4,OB =8, ∴S 四边形OADB =S 梯形OEDB +ADE S ∆132132(8)242323=⨯+⨯+⨯⨯=40.第2题解图（2）①∵AB 2=OA 2+OB 2=62+82=100， ∴AB =10．设t 秒时，P 、Q 两点相遇，则：2t +4t =6+8+10，解得：t =4．点P 在OA 上运动的时间为：6÷2=3（s ），点Q 在OB 上运动的时间为：8÷4=2（s ）．当0≤t ≤2时，如解图②，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，OP =2t ，OQ =4t ， ∴21124422S OP OQ t t t =⋅=⨯⨯=,即S 关于t 的函数关系式为：24(02)S t t =≤≤;当23t <≤时，如解图③,点P 在OA 上，点Q 在BA 上，OP =2t ，BQ =4t -8, 过点Q 作QF ⊥OB 于F ,由△QFB ∽△AOB 得：FB OBBQ BA=,即84810FB t =-,∴4(48)5FB t =-,∴48(48)5OF t =--, ∴211416722[8(48)]22555S OP OF t t t t =⋅=⨯⨯--=-+,即S 关于t 的函数关系式为：21672(23)55S t t t =-+<≤; 当3＜t ≤4时，如解图④，P 、Q 两点都在AB 上，AP =2t -6，BQ =4t -8， PQ=AB-（AP+BQ ）=10-（2t -6+4t -8）=24-6t , ∵△AOB 的AB 边上的高6824105OA OB AB ⨯===， ∴12472288(246)2555S t t =⨯-⨯=-+, 即S 关于t 的函数关系式为：72288(34)55S t t =-+<≤. 综上所述：S 关于t 的函数关系式为：224(02)1672(23)5572288(34)55t t S t t t t t ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩;②当02t ≤≤时，2=42=16S ⨯最大; 当23t <≤时，22167216981S=()55545t t t -+=--+;当94t =时，81=5S 最大; 当34t <≤时，7228872=-3555S ⨯+=.图③ 图④ 第2题解图综上所述，当94t =时, △OPQ 的面积最大,最大面积为815. 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=x 2平移，使平移后的抛物线经过点A （-3，0）、B （1，0）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）设平移后的抛物线交y 轴于点C ，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P ，当BP 与CP 之和最小时，P 点坐标是多少？（3）若y=x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M 、O 、D 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求点M 坐标；若不存在，说明理由．第3题图解：（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同．∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1．∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x-1），整理得：y=x2+2x-3；（2）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴抛物线对称轴为直线x=-1，与y轴的交点C（0，-3），则点C关于直线x=-1的对称点C′（-2，-3），如解图①，连接B，C′，与直线x=-1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（-2，-3）可得直线BC′解析式为y=x-1，则11y xx=-⎧⎨=-⎩，解得12 xy=-⎧⎨=-⎩,∴点P坐标为（-1，-2）；图① 图②第3题解图（3）如解图②，由 21y x x ⎧=⎨=-⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩ ，即D （-1，1）,则DE =OE =1，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴45,135,2DOE ODE BOD OD ∠=∠=∠==, ∵1BO =, ∴5BD =, ∵135BOD ∠=︒ ∴点M 只能在D 上方， ∵135BOD ODM ∠=∠=︒， ∴当DM OD DO OB =或DM OBDO OD =时，以M 、O 、 D 为顶点的三角形与△AOB 相似， ①若DM OD DO OB =212=，解得2DM =，此时点M 坐标为（-1，3）；②若DM OB DO OD =，则122DM =，解得1DM =，此时点M 坐标为（-1，2）；综上，点M 坐标为（-1，3）或（-1，2）．4. 如图，二次函数y=0.5x 2+bx+c 的图象过点B （0，1）和C （4，3）两点，与x 轴交于点D 、点E ，过点B 和点C 的直线与x 轴交于点A ．（1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上有一动点P ，随着点P 的移动，存在点P 使△PBC 是直角三角形，请你求出点P 的坐标；（3）若动点P 从A 点出发，在x 轴上沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 也从A 点出发，以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，直接写出a 的值；若不存在，说明理由．第4题图解：(1) ∵二次函数2y 0.5x bx c =++的图象过点B (0.1)和C (4,3)两点,∴ 1384c b c=⎧⎨=++⎩，解得：3,12b c =-=，∴抛物线解析式213122y x x =-+， (2)设点P 坐标为（x ,0）， ∵P (x ,0),B (0,1),C (4,3)，∴PB ==CP ==，BC == 若90BCP ∠=，则222BP BC CP =+. ∴22120825x x x ++=-+， ∴112x =. 若90CBP ∠=,则222CP BC BP =+.∴22120825x x x +=+-+， ∴12x =.若90BPC ∠=,则222BC BP CP =+. ∴22182520x x x ++-+= ∴121,3x x ==综上所述：点P 坐标为（1，0），（3，0），（12，0），（112，0）(3)存在.∵抛物线解析式213122y x x =-+与x 轴交于点D ，点E ∴21301,22x x =-+ ∴121,2x x ==， ∴点D （1，0），∵点B （0，1），C （4，3）， ∴直线BC 解析式112y x =+. 当0y =时，2x =-， ∴点A （-2，0），∵点A （-2，0），点B （0，1），点D （1，0），∴3,AD AB == 设经过t 秒， ∴2,AP t AQ at ==. 若APQ ADB ∆∆∽，∴AP ADAQ AB=，即2t at =，∴3a =. 若APQ ADB ∆∆∽，∴AP ABAQ AD=，即253t at =. ∴655a =，综上所述：253a =或655.5. 如图，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）．（1）求该二次函数的关系式；（2）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．第5题图解：（1）在直线122y x =-+中，令10,2=02y x =-+，解得4x = ∴B （0，4）.令x =0得：y =2,∴C （0，2）.设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点C 的坐标代入得：42a -=，解得12a =-，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++; (2)如解图①所示：抛物线的对称轴为322b x a =-=， ∴32OD =，又∵2OC = ， ∴22352()22DC =+=.第5题解图①当PD=DC,P (32,52). 当P′D=CD 时，P′(32,-52).过点C 作CE 垂直于对称轴，垂足为E . 又∵CP ″=CD , ∴DE=EP ″. ∵DE=CO =2,∴DP ″=4. ∴P ″(32,4).∴点P 的坐标为P (32,52)或P′(32,-52)或P ″(32,4). 6. 阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y=k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y=k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2=-1．解决问题：(1)若直线124y x =-与直线2y mx =+互相垂直，求m 的值;(2) 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+1经过A （-1，0），B （1，1）两点． ①求该抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1) ∵直线124y x =-与直线2y mx =+相互垂直， ∴114m =-，∴4m =-;(2)①抛物线21y ax bx =++经过A (-1,0)，B (1,1),两点∴1011a b a b -+=⎧⎨++=⎩，∴1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为211122y x x =-++; ②∵A (-1,0),B(1,1),∴直线AB 的解析式为1122y x =+， ∵PAB ∆是以AB 为直角边的直角三角形， ∴当90PAB ∠=时，PA AB ⊥， ∴直线P A 的解析式为22y x =--（I ）， ∵抛物线的解析式为211122y x x =-++（II ），联立（I ）（II ）得22211122y x y x x =--⎧⎪⎨=-++⎪⎩, ∴10x y =-⎧⎨=⎩（舍）或614x y =⎧⎨=-⎩.∴P (6,-14),当90PBA ∠=时，PB AB ⊥， ∴直线PB 的解析式为23y x =-+(III), ∵抛物线的解析式为211122y x x =-++（IV ），联立（III ）（IV ）得，22311122y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， ∴11x y =⎧⎨=⎩（舍）或45x y =⎧⎨=-⎩.∴P (4,-5),即点P 的坐标为(6，-14)或(4，-5).7. 抛物线2+y ax bx =的顶点M （3，3）关于x 轴的对称点为B ，点A 为抛物线与x 轴的一个交点，点A 关于原点O 的对称点为A′;已知C 为A′B 的中点，P 为抛物线上一动点，作CD ⊥x 轴，PE ⊥x 轴，垂足分别为点D,E . (1)求点A 的坐标即抛物线的解析式；(2)当0<x <23时，是否存在点P 使以点C,D,P ,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.第7题图解：（1）依题意得：抛物线2+y ax bx =经过顶点M 3，3）和（0，0）. ∴点A 与原点关于对称轴x 3 ∴A （30）.∴12230333a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：123a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩.∴抛物线的解析式为：223y x x =-+;(2)假设存在点P 使以点C,D,P ,E 为顶点的四边形是平行四边形. 则PE //CD 且PE=CD .由顶点M （3，3）关于x 轴的对称轴点B （3，-3），可得BF =3, ∵CD ⊥x 轴，BM ⊥x 轴, ∴CD //BF .∵C 为A′B 的中点，∴CD 是A BF ∆'的中位线，得PE=CD =12BF =32. ∵点A 的坐标为（23，0）， ∴当0<x <23时，点P 应在x 轴上方. 可设点P 的坐标为3(,)2x ， ∴23232y x x =-+=，解得632x =±，满足0<x <23， ∴存在点63(3,)22P +或63(3,)22-使得四边形是平行四边形.8. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c ．经过A （-1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于C点．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以CM为底边的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第8题图解：（1）将点A(-1,0),B(5,0)代入y=-x2+bx+c,得:10 2550b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：45bc=⎧⎨=⎩，∴此抛物线解析式为y=-x2+4x+5;（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，-x2+4x+5），如解图①，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x2+4x+5，∴MN=ON -OM=-x 2+4x +4．第8题解图①S 四边形MEFP =S 梯形OFPN -S △PMN -S △OME111()222PN OF ON PN MN OM OE =+⋅-⋅-⋅ 22111(2)(45)(44)11222x x x x x x =+-++--++-⨯⨯ 29922x x =-++29153()416x =--+，∴当94x =时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，当94x =时，29143(2)9416y =--+=. 此时点P 坐标为9143(,)416； (3) ∵M (0,1,),C (0,5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y=-x 2+4x+5=3，解得x =26∵点P 在第一象限，∴P (26+,3).四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME+PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值.如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1,1);作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1,-1);连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME+PF= PM 2最小.第8题解图② 设直线PM 2的解析式为y=mx+n ,将P (26,3)，M 2(1,-1)代入得：(26)31m n m n ⎧++=⎪⎨+=-⎪⎩, 解得：464461,55m n ==-， ∴464461y x -+=-，当0y =时，解得65x +=. ∴65(F +. ∵651a ++=∴a=∴当a=PMEF周长最小.。

2020中考数学压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)

又∵抛物线的对称轴为 x＝b2＝1，即 b＝2，
∴m－2＋2m＋1＝2，解得 m＝1，
∴c＝3，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
y＝－x2＋2x＋3
(2)由y＝kx＋2
可得：x2＋(k－2)x－1＝0，
∴x1＋x2＝2－k，x1x2＝－1，
∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2－k）2＋4≥2，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，又由(1)易知 P(1，4)， ∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)， ∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝ 2， ∴直线 P′C′的解析式为 y＝－72x－3，直线 P′C′与 x 轴的交点为(－67，0)， ∵PC，O′B′为定值， ∴当 CO′＋PB′取最小值 P′C′时 L 最小，此时 O′(－67，0)，则 B′(175，0)．又∵P′C′＝（4＋3）2＋22＝ 53， ∴L 最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝ 53＋ 2＋3.
第 3 题解图② ①当∠AFP＝90°时，即∠AF1P1＝90°， ∴点 P1 既在 x 轴上，又在抛物线上，则点 P1 与点 B 重合，点 P1 的坐标为(1，0)； ②当∠FAP＝90°时，即∠F2AP2＝90°，则∠P2AO＝45°，设 AP2 与 y 轴的交点为点 N， ∴OA＝ON＝3，则 N(0，－3)， ∴直线 AP2 的解析式为 y＝－x－3，
y＝－x－3 联立抛物线与直线 AP2 的解析式，得方程组y＝－x2－2x＋3，
x＝－3 x＝2 解得y＝0 或y＝－5， ∵A(－3，0)， ∴P2(2，－5)； ③当∠APF＝90°时，即∠AP3F3＝90°，点 P3 既在 x 轴上，又在抛物线上，则点 P3 与点 B 重合，点 P3 的坐标为(1，0)．

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.3.如图，二次函数错误!未找到引用源。

的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4.综合与探究：如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE= ；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒错误!未找到引用源。

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解．【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）；（2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k bk b =+⎧⎨=+⎩，解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元．（1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．7．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1，当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．9．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<；故答案为92155n <<；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<．【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG的最小值为P 的坐标（﹣919，19）．【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC =NQ QC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）．（3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，RT △QCN 中，QN=CN=7，∠QNC=90°，∴，∵sin ∠ACM=AM AC =NQ QC ，∴AM=65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，∴AP=1219，PM=RM=619，∴MC=22AC AM -=1419，∴PC=CM ﹣PM=819，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，PK=123，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG 的最小值为219，此时点P 的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．12．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4；（2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，当∠PBE ＝∠OCD 时，则△PBE ∽△OCD ，∴PE PBOD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；当∠PBE ＝∠CDO 时，则△PBE ∽△ODC ，∴PE PBOC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ，设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8， ①当m ＝2时，CQ ＝22OC OQ +＝25，BQ ＝22AQ AB +＝45，∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC＝5，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5（10﹣t ）， ∴25t ＝5（10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203．点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形；（3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3． Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M的坐标为，点N的坐标为，32)2t ++．Q 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．∆为直角三角形时，t的值为1或4．综上所述：当AMN【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（13），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C的坐标．【答案】（1）2235333y x x =-+；（2）t＞4；（3）∠BOC =60°，C （32，3）【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54，当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ．（3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ， ∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大． ∵A（1B （3 ∴∠AOF=60°，∠BOF=30°， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。

2020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题专题三二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{ a ＝−18b ＝−14c ＝3 ，∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3；（2）①存在点D ，使得△APQ 和△CDO 全等，当D 在线段OA 上，∠QAP=∠DCO ，AP=OC=3时，△APQ 和△CDO 全等，∴tan ∠QAP=tan ∠DCO ，OC OA＝OD OC ， ∴36＝OD 3，∴OD=32， ∴点D 坐标为（-32，0）.由对称性，当点D 坐标为（32，0）时，由点B 坐标为（4，0），此时点D （32，0）在线段OB 上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB ，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN ，CM ，则DN=DM ，∠NDC=∠MDC ，∴∠NDC=∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴AN NC ＝AD DB ＝1，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52，∴OM=DM-OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值；（2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==，∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．3．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y xy x x⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114xy⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241xy⎧⎨⎩＝＝，∴点A的坐标为（1，14），点B的坐标为（4，1）．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B（4，1），直线l为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：1443k bk b⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43，当y=-1时，有-1312x+43=-1，解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）．（3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2-. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．8．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为，点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）；（2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，-33）、F （0，233）或E （-1，43-3），F （-4，1033）【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=，即E 的纵坐标为∴ E （-1，）；当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，-3），F （-4，3）；综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，），F （-4）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题9．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）．【解析】【分析】（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩，解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，，所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．10．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2﹣3x 。

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