9-第九章_层间应力解析
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第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
9第九章 褶皱的成因分析
岩浆侵入穿刺/ 底劈构造
当岩浆上升, 侵入围 岩, 使上覆岩层发生 拱曲时, 则可形成岩 浆底辟/穿刺。
横弯褶皱之二 —同沉积褶皱
同沉积褶皱－岩层边 沉积边形成褶皱。
同沉积褶皱特征： 1）两翼产状倾角平 缓，总体为开阔褶皱； 2）岩层厚度背斜顶 薄，翼部厚；向斜核 部厚度大； 3）背斜顶部沉积物 为浅水粗粒物质，向 斜中心变细； 4）伴随滑塌断层。
(6)在厚层韧性岩层(如泥岩)夹薄层强 硬岩层(如石英砂岩)组成的岩系受到侧向顺 层挤压尚未发生褶皱时, 岩系先整体平行主 压应力方向压缩, 垂直主压应力方向伸长使 厚度略增; 在持续挤压下, 韧性厚岩层继续 压缩,而其间的薄层强岩层则形成一系列小 褶皱以适应压缩; 随着整个岩系在纵弯褶皱 作用下形成大型主褶皱, 这时强硬薄岩层中 的小褶皱整体地也随主褶皱而弯曲, 这些小 褶皱在枢纽部位仍保持对称式(M型), 在两 翼则变为不对称褶皱(左翼为Z型, 右翼为S 型) 。这一理论较为圆满地解释了层间小褶 皱不仅发育于大褶皱翼部, 也发育在大褶皱 的枢纽部位这一现象。
(4) 在侧向挤压力 作用下, 软岩层发生 强烈层内流动, 可产 生线理、劈理(兼有 变质作用)等小构造;
如果软岩层中夹有 脆性的薄层, 还可形 成构造透镜体。
纵弯褶皱中发育的劈理型式
可形成正扇形劈理、反扇形劈理、 轴面劈理和劈理折射等。
褶皱中劈理与层理关系的应用实例
利用劈理与层理关系判 断正常地层和倒转地层；
第一节 纵弯褶皱作用
1.纵弯褶皱作用的概念:
原始水平状态的岩层, 在受到侧向的顺层挤压力的作 用后发生褶皱弯曲叫做纵弯褶皱作用。
2. 单层岩层的纵弯褶皱作用:
在结构均一的单层板状材料侧面画上几排小圆,侧向挤 压使板状材料褶皱弯曲, 其面的小圆有以下情况:
9第九章 杆件变形及结构的位移计算
产生位移的原因 一般荷载——力的作用 广义荷载 温度变化 支座位移 制造误差
P
t
一般荷载
C C
温度变化
A
支座位移 B
B
B
制造误、位移计算的目的
⑴ 刚度要求 强度校核 结构设计计算应考虑的内容 稳定性验算 刚度验算 在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度； 房屋主梁允许挠度<1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度， 最大层间位移<1/550层高； 地震作用下的最大位移<1/400高度； 最大层间位移<1/500层高。 ⑵ 超静定结构的计算基础 超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。
1
B
C a-x
M =a x
横梁BC 竖柱CA
a
A
x
注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 （4）求B点的线位移ΔB
§9-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：
MMds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
梁和刚架位移计算公式
计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。
ΔCV 2330 106 7.012mm 3 210 10 2 791.2
4m
–200
–200
5 8
3 8
5 8
3 8
5 8
杆件名称 A-C B-C D-E A-D C-D C-E
杆长l (m) 6 6 6 5 5 5
截面积A 轴力 FNP (cm2) (kN) 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 120 120 -120 -200 0 0
9-材料的变形与再结晶解析
(3) 弹性变形量随材料的不同而异。
对完全各向同性材料 υ= 0.25 对金属υ值约为0.33（或1/3）
当υ=0.25时，G=0.4E； 当υ=0.33时，G=0.375E , K=E/3(1-2υ) ≈E
弹性常数4个： E，G，υ，K 只要已知E和υ，就可求出G和K ， 由于E易测，因此用的最多。
纳P—N力，其大小为：
τP-N = 2Gexp(-2пW/b)/(1-ν) τP-N与位错的宽度W 呈指数关系，滑移面间距d增大，w[=d /(1-ν)]增大， 或滑移方向上原子间距b减小，则τP-N下降，滑移阻
力小, 滑移容易进行。
刃位错的滑移示意图
刃位错的滑移模型
螺位错的滑移模型
2.孪生
根据拉伸试验研究表明，金属在外力作用下一般经历三个阶段：
弹性变形（elastic deformation） 塑性变形（plastic deformation） 断裂（fracture）
三、应力—应变曲线
原始曲线：载荷-伸长曲线 经过变换：应力-应变曲线
σp:比例极限
σe: 弹性极限
σs:屈服极限 σb: 强度极限
(1) 孪生变形过程 孪生变形是在切应力作用下，晶体的一部分沿一定晶面(孪晶面)
和一定方向(孪生方向)相对于另一部分作均匀的切变所产生的
变形。但是不同的层原子移动的距离也不同。
变形与未变形的两部分晶体构成镜面对称,合称为孪晶（twin）。
均匀切变区与未切变区的分界面成为孪晶界。
孪晶面（twining plane）： 孪晶方向（twining direction）：
② 每一种晶格类型的金属都有特定的滑移系，且滑移系数量不同。 如：fcc中有12个, bcc中有48个， hcp中有3个。
第9章 晶粒尺寸和微观应力测定-2012
(1) [A7.mdi] DX-1000 CSC 35kV/25mA Slit:1deg&1deg&0.2mm Monochromator: ON 1-2Theta, SCAN: 15.0/79.98/0.06/1(sec), Cu, I(max)=262231, 10-21-10 13:43
150
由于粉末多晶衍射仪使用的是多晶（粉末）样 品，因此，其衍射谱不是由一条一条的衍射线 组成，而是由具有一定宽度的衍射峰组成，每 个衍射峰下面都包含了一定的面积。如果把衍 射峰简单地看作是一个三角形，那么峰的面积 等于峰高乘以一半高处的宽度。这个半高处的 高度有个专门名词，称为“半高宽”，英文写 法是FWHM。如果采用的实验条件完全一样， 那么，测量不同样品在相同衍射角的衍射峰的 FWHM应当是相同的。这种由实验条件决定的 衍射峰宽度称为“仪器宽度”。仪器宽度并不 是一个常数，它随衍射角有变化。一般随衍射 角变化表示为抛物线形。
§9-2 仪器和实验条件的影响
多晶试样中，即使不存在微观应力，晶粒也不细小，测 得的衍射线也有一定的宽度b，这时衍射线的变宽，主 要是受X射线源的形状大小，不能完全聚焦的平板状试 样，试样安放时的轴偏离，试样的吸收和接收狭缝的大 小等影响。 怎样确定仪器本身造成的衍射线变宽呢？首先选择一个 标准样品（标准样品要求结构稳定、衍射峰分布合理、 晶粒尺寸1～5μ ），一般选用纯α -Ａl2O3粉或纯硅粉. 近年美国国家标准局推荐使用的标准物质为六硼化镧, 用此样品进行衍射,求出每一条衍射线的半高宽和对应 的2θ ，以2θ 为横坐标，半高宽为纵坐标，作工作曲线， 从工作曲线上可以得到任何2θ 所对应的仪器宽度b。
衍射线变宽
这样，我们知道了仪器本来有个线形宽， 由于晶块细化和微观应变的原因会导致线 形更宽。我们要计算晶粒尺寸或微观应变， 首先第一步应当从测量的宽度中扣除仪器 的宽度，得到晶粒细化或微观应变引起的 真实加宽。但是，这种线形加宽效应不是 简单的机械叠加，而是它们形成的卷积。 所以，我们得到一个样品的衍射谱以后， 首先要做的是从中解卷积，得到样品因为 晶粒细化或微观应变引起的加宽FW（S）。 这个解卷积的过程非常复杂。
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
多高层建筑结构第九章
9.4 带错层的高层结构
1、带错层高层结构的形式
2、带错层高层结构应满足的要求
1、当房屋不同部位因功能不同而使用错层时，宜采用防震 缝划分为独立单元。错层两侧宜采用相近的结构体系。 2、错开的楼层应各自参加结构整体计算，不应归并为一层 计算。 3、错层处框架柱截面高度不应小于600mm，混凝土强度 等级不应低于C30，抗震等级提高一级，箍筋应全柱段 加密。 4、错层处平面外受力的剪力墙的截面厚度，非抗震设计时 不应小于200mm，抗震设计时不应小于250mm，抗 震等级应提高一级。混凝土的强度等级不应低于C30， 水平和竖向分布钢筋的配筋率，非抗震设计时不应小于 0.3%，抗震设计时不应小于0.5%。 5、错层结构错层处受力复杂，容易发生短柱受剪破坏，应 予加强。
● 刚性连接； ● 铰接连接； ● 滑动连接； ● 弹性连接。
22
刚性连接
铰接连接
23
滑动连接限位装置
24
橡胶垫支座
带阻尼器的橡胶垫支座
25
3、连体结构的计算
• 刚性连接的连接体楼板应进行受剪截面和承载 力验算。 • 刚性连接的连接体楼板较薄弱时，宜补充分塔 楼模型计算分析。
9.6 竖向体型收进结构
5、框支剪力墙转换梁上一层墙体不宜设边门洞，不宜在中柱 上方设门洞。 6、长矩形平面建筑中落地剪力墙的间距宜符合以下规定： 非抗震设计时：l ≤ 3B 且 l ≤ 36m。 抗震设计时： 底部为1～2层框支层时：l ≤2B 且 l ≤ 24m. 底部为3层及3层以上时： l ≤ 1.5B 且 l ≤ 20m. 7、落地剪力墙与相邻框支柱的距离，1～2层框支层时不宜 大于12m，3层及3层以上时不宜大于10m。 8、框支框架承担的地震倾覆力矩不应大于结构总倾覆力矩的 50%。 9、带托柱转换层的筒体结构，外围转换柱与内筒、核心筒的 间距不宜大于12m。
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图9.3 有限宽度 的层合板
在以xOy坐标面为对称的层合板中，任一个单层中可视为以z 轴为弹性主方向的单对称材料，其应力—应变关系可按角度铺 设单对称材料表达为
x C11 y C12 z C13 yz 0 xz 0 C16 xy
（9.1）
应变与位移的几何关系为
u x v y y w z z w v yz y z w u xz x z v u xy x y
x
（9.处于平面应力状态，不考虑层间应力 （面外应力）分量，层合板的应力分析比较简单。但无论是机械加载还是湿 热加载，层合板中都会产生层间应力，尤其是在板边缘附近层间应力分布复 杂，变化梯度大。层间应力往往引起层合板边缘脱黏，形成层间裂纹，造成 整个层合板的刚度和强度下降，使结构过早失效。经典层合板的理论不能完 全确定引起复合材料破坏的应力，它无法解决层间应力这类三维各向异性弹 性力学问题。本章主要介绍层合板产生层间应力的原因和基于弹性力学的一 些层间应力的分析方法。
图9.2 泊松耦合变形 协调引起层间剪应力 示意图
三、力矩平衡引起的层间正应力 [0/90]层合板中的y方向的正应力y1 和 y2 与层间剪应力zy 没有作用在同 一平面内，从而形成一个附加力矩，为了平衡该力矩必须产生层间正应力z。 已有的研究表明，该层间正应力z在层合板靠近自由边缘处可能达到无穷大， z 的分布特征是形成的力矩正好与y方向的正应力形成的力矩平衡。
图9.1 拉剪耦合变形协调 引起层间剪应力示意图
二、泊松耦合变形协调引起的层间剪应力
层间应力也会在正交铺设层合板中出现。设有一块[0/90]层合板承受有平 均轴向拉应力 x ,如图9.2所示。假如将0°单层和90°单层分别考虑，各自 只受有x方向的正应力 ，且沿x方向的变形相同。由于0°单层和90°单层在y 方向变形的泊松耦合效应不同，由式（3.12）可知0°单层沿y方向收缩较多， 90°单层沿y方向收缩较少。为了保证两单层黏层在一起后y方向变形协调一 致，就需要通过0°单层和90°单层相互施加y方向的力，将0°单层往外拉， 90°单层往里压，得到相同的y方向变形，这样就会在两板中产生沿y方向的 正应力y1（拉应力）和y2（压应力）。因为层合板两侧是自由边界，不能 提供沿y方向的作用力，所以两层中沿y方向的内力就只能由层间相互作用来 提供，这就形成了层间剪应力zy 。正交铺设层合板没有拉剪耦合相应，0° 单层和90°单层都不会出现面内剪切变形，因而没有剪切变形需要协调，各 层之间也不会出现协调剪切变形的层间剪应力zx 。
9.1 层间应力的定性分析 层合板一般由不同铺设方向的单层组成，各单层的弹性性能不同，受力 下的变形也不同。但是层合板中的各单层相互黏结成一体，层和层之间变形 相互制约和协调，于是在层间产生相应的正应力和剪应力，即层间应力。以 下通过对层合板和[0/90]层合板的拉剪耦合变形协调和泊松耦合变形协调分 析以及力矩平衡原理，解释层间应力产生的原因。
C12 C 22 C 23 0 0 C 26
C13 C 23 C 33 0 0 C 36
0 0 0 C 44 C 45 0
0 0 0 C 45 C55 0
C16 x C 26 y C36 z 0 yz 0 xz C 66 xy
z
y
z
zy
z
y
9.2 单向拉伸下对称层合板的弹性力学基本方程 考虑一个有限宽度的对称层合板，选取xOy坐标面为对称面，而 z轴为材料主轴，如图9.3所示。把层合板的每一个单层视为宏观 匀质的各向异性体，各个单层之间存在一个理想的物理非连续界 面。当在层合板的两端沿x方向承受均匀拉伸时，界面上产生层 间应力。一般情况下，界面上有层间正应力和切应力三个分量： z，zx，zy。因此对各个单层要从三维应力状态出发进行弹性 力学分析。
一、拉剪耦合变形协调引起的层间剪应力 一块材料和厚度相同的斜交铺设层合板，承受拉伸应力x，若将单 层分别考虑，各层除了有线应变x和y外，由于拉剪耦合效应的存在，还会 出现剪切应变xy，如图9.1所示。由式（3.26）可知，+和–层的 Q12 相等，因此两个相反方向铺层的正应变x，y相同，+和–层的 Q16
u 0 x U y, z v V y, z w W y, z
利用应变与位移的几何关系可得应变场为
x 0
V y W z z W yz y U xz z U xy y V z
相差一个负号，因此–层xy1与+层的xy2大小相等，方向相反。黏合在一起 的层合板的A16等于零，无拉剪耦合，层合板无剪切变形，因此层的剪切 变形必须相互协调为零。这一效果是通过各单层相互对对方施加剪应力来实现 的，又因为在层合板的自由边缘无剪力，因此只能靠层间剪切应力zx来提供。 同理，一块材料和厚度相同的斜交铺设层合板，只承受剪切应力xy，由 于剪拉耦合效应的存在，+和–层中会出现耦合线应变x和y，黏合在一起的 层合板无轴向变形，为协调轴向变形，在层间会产生层间剪切应力 zx和zy。
由于在层合板中各个单层的几何、弹性特性和受力形式沿 x方向都是均匀分布的，即不随x而变化，因此在层合板两端 承受均匀轴向拉伸作用力时，所有应力与x无关，应变也与x 无关。假设层合板各单层的任意点沿x方向的应变为常数，即
x 0
并设层合板中的其他应变分量与x无关。因此，各个铺层的位 移场可表示为