概率论与数理统计答案,祝东进
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习题
1. 写出下列随机试验的样本空间:
掷两颗骰子'观察两颗骰子出现的点数.
从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.
连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.
对某工厂出厂的产品进行检査,如连续检査出两个次品,则停止检査,或
检査四个产品就停止检査j己录检査的结果.
在单位圆内任总取一点j己录它的坐标.
解:⑴C = {(jJ)lj = 12…6 7 = 12…,6};
⑵0 = {川=0丄…,9};
⑶0={(正),(反,正),(反反.正),(反反,反,正h…};
IR C={(次/次),(次,正,正,正b (次,正,正,次).(次/正,次,次L (次,正,次,正)■
(正,况次).(ilL次,正,正b (正/次,正,次)};
⑹ Q = {{x,y}\xe R, y e <1).
2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:
A/出现的点数之和为偶数8/出现的点数之和为奇数,但没有骰子出现1点件
Ci至少掷出一个2点".
£>/两颗骰子出现的点数相同件
解:(1) A = {(lJ),(h3).(h5)・(Z2h(2・4),(2e),(3J),(3・3),(3・5).
={(4.2)©4)©6).(5心(5,3),(5,5),6,2)@4)@6)};
⑵ 8 = {(2・3),(2,5).(392)・(3,4人(3,6)・(4,3),(4.5)・(5.2),(5,4)・
(5,6),(6.3)・(6,5)};
(3)s
罔0 = {(2.1)・(2.2)・(2.3)・(2・4),(2,5)・(26),(1.2)・(3,2)・
(4,2),(5,2),(6・2)};
⑸ D = {(ta(2,2X(3JX(4,4),(5,5),(6,6)}.
3.设A5C是三个事件'试用A.B.C来表示下列事件:
事件“ A・B,C中至少有一个事件发生".
事件“ A.B.C中至少有两个事件不发生件事件"A.B.C中至多有一个事件
不发生y 事件“ A.B.C中至少有一个事件不发生件事件“ AB至少有一个发生,而C不发生件
解:⑴ AUBUC;
(ABC)U(ABC)U(>IBC)U(ABC);
⑵(AB)u(AC)u(BC)或
⑶『
泌ABC)U 仏BC)U(ABC)U(ABC)或(AB)U(AC)U(BC);
(5)AUBUC;
⑹(AU3)nC或万可U(亦C)・
4.指出下列命题哪些成立,哪些不成立
(1)A U B=(AB)U B. (2) AUB = AU(亦)•
⑶ A=(AB)U(A可. (4)(AU^)C = ABC.
(5) AB = A[JB.⑹(AB)n(A^) = 0.
(7) AuB 等价于AUB = B 或AB = A 或BuA.
(8)若AB = 0,则AuB.
解:⑴正确;(2)正确;⑶正确;(4)正确;⑸错误;⑹正确;(7)正确;(8)正确.
■在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是女生,事件B表示被选学生是三年级学生,事件C表示被选学生是运动员.
(1)叙述入BC的意义.
⑵在什么条件下ABC = A成立
(3)什么时候A = C成立
解:⑴被选学生是三年级男运动员;
(2)因为ABC = A等价于AuBC,即数学系的女生全部都是三年级运动员;
(3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.
7.试用维恩图说明,当事件A’B互不相容,能否得出A’B也互不相容
解:不能.
8.设样本空间0 = {%|0<%<10},事件A = {x|2 解:AUB={X|1 AUB = ^ = [O.2)U(5JO]・ 习题 ⑹ 设Au(A)= 02P(B) = 0・3,求⑴P(AUB);(2)P(B N);(3)P(A-B)・ 解:P(AUB) = P(B) = O・3; P(BA) = P(B)-P(A) = O,1; P (A-B) = P(0) = O・ __ 2 ⑺ 设P(AB)= P(AB\且P(A) = -,求P(B)・ 解:注意到P(A B) = P(A[jB) = I - P( A U B) =! - P{A} - P(B) - P(AB}.从而[\\P{AB) = P(AB)得P(A) + P(B) = 1・ 于是p(B) = l-P(A) = ;・ ⑻ 设AbC为三个随机事件,且PS) = P(B) = P(C) = 〒P(AB) = P(BC) = -, 厶 丿p(AC)=O^P(AUBUC)・ 解:山P(AC) = 0知PG4BC) = 0・于是山广义加法公式有 P{A[JB\JC) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC) =3_2=5 _2_3 "b* ⑼ 设AB为两个随机事件,且P(A) = 0.7, P(B)=0.9,问: ⑷在什么条件下,P(AB)取到最大值,最大值是多少 ⑸ 在什么条件下,P(AB)取到最小值,最小值是多少 解:(1) Ih 于P{AB) 下,取到最大值P(A) = 0・7・ (6) 注意到P(AB) = P(A) + P(B)-P(A U B).因此当P(A[JB) = l时,P(AB)取 到最小值0・7 + 0・9一1=0・6・ 思考:有人说⑵,在AB = 0时,P(A3)取到最小值0•你能指出错误在什么地方吗 (10)设人B为两个随机事件,证明: (1)P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(A B). (2) I-P(A)一P(B) < P(AB)< P(A UB) < P(A) + P(B) • 证明:(1)由广义加法公式可得 P (AB) = l_P (A U 万)=1 - P(石一P(万)+ 5) • ⑵山⑴立得1-P(A)一P(B} < P(AB). 其余不等式是显然的. (12)设ABC 为三个随机事件,证明:P(AB) + P(AC) -P{BC) < P{A). 证明:由广义加法公式可得 P(A)> P(An(BUC)) = P((AB)UG4C)) = P(AB) + P(AC}-P(ABC) >P ⑷)+ PG4C)-P (BC). (12)设AM"…■人为"个事件,利用数学归纳法证明: (2)(次可加性)P(AU4U…LMJ M E P(A) k~l ⑵ P(松…A A E H A)-(—1). £-1 证明:⑴当” =2时,山广义加法公式有 P(AUAJ = PGM+P(冷)—PGVJM 工P(4). £-1