湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 已知集合U ={x |x >0}，C U A ={0|0<x <3}，那么集合A =( )A. {x |x >3}B. {x |x ≥3}C. {x|x <0或x >3}D. {x|x ≤0或x ≥3}2. 函数f (x )=1lgx +√2−x 的定义域为( )A. (−∞,2]B. (0,2]C. (0,1)∪(1,2]D. (−1,2]3. 已知函数f(x)=4x 2+kx −1在区间[1,2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,−16]∪[−8,+∞)B. [−16,−8]C. (−∞,−8)∪(−4,+∞)D. [−8,−4]4. 函数f(x)=√1−5x 的值域为( )A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. [0,1)D. (0,1)5. 定义在R 上的偶函数f(x)在x ∈[0,+∞)时为增函数，若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)−2f(12)≤0，则a 的取值范围是( )A. (0,√2]B. (0,12]C. [√22,√2] D. [12,√22] 6. 设a =log 1213 ，b =(12)13 ，c =(13)12 则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a7. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则( )A. f(x)=x 12，且在(0,+∞)上单调递减 B. f(x)=x 12，且在(0,+∞)上单调递增 C. f(x)=x −12，且在(0,+∞)上单调递减 D. f(x)=x −12，且在(0,+∞)上单调递增8. 已知，则( )A. 1−aB. 5a2C. 1+aD. 3a9. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)，下列结论中错误的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 由y =sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到f(x)=sin(2x +π6)的图象 C. 函数f(x)图象关于x =π6对称 D. 函数f(x)的一个增区间是[−π4,π4]10. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位11. 已知某扇形的面积为2.5 cm 2，周长为7 cm ，则该扇形圆心角α的弧度数是A. 45B. 5C. 12D. 45或512. 计算sin600°=( )A. −√32B. −12C. √32D. 1213. 已知函数f (x )=cos (ωx +π3)(ω>0)，f (π6)=f (π3)，且f (x )在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，则ω=( )A. −43B. 203C. 83D. 44314. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(1,1)，(a ⃗ +λb ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ等于( )A. −2B. 2C. 12D. −1215. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 1+√2 C. 4 D. 2+2√2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. 计算2lg2+lg 58−lg25=______．17. 已知函数f(x)={sinπx,x ≤0f(x −2)+2,x >0，则f(132)的值为_________．18. 已知cosα+sinα=12，则sin2α= ______ ． 19. 已知sin α2=23，则cos(π−α)= ______ ．20.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，且f(1)=13．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．22.已知向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(−1,0)，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ．(Ⅰ)求cosθ；(Ⅱ)若(λa⃗+b⃗ )⊥(a⃗−2b⃗ )，求λ的值．23. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．24. 将函数y =2sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移√32个单位长度，得到f (x )的图象．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在[π4,m]上的最大值为√32+1，求m 的取值范围．25. 已知三个函数f(x)=x 2+4mx −4m +3，g(x)=x 2+(m −1)x +m 2，ℎ(x)=x 2+2mx −2m ．(1)若实数m =1，求证：函数f (x )有两个零点；(2)若三个函数至少有一个函数有零点，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查集合补集及其运算，属于基础题．解：由题意得，U={x|x>0}，C U A={0|0<x<3},A=C U(C U A)={x|x⩾3}，故选B．2.答案：C解析：本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：由题意可得解得：0<x≤2且x≠1，即该函数定义域为：x∈(0,1)∪(1,2]．故选C．3.答案：A解析：本题主要考查二次函数的单调性.求出函数的对称轴，根据题意得出−k8≥2或−k8≤1，由此即可求出结果．解：函数f(x)=4x2+kx−1的对称轴为x=−k8，∵函数在区间[1,2]上是单调函数，∴−k8≥2或−k8≤1，解得k≤−16或k≥−8，∴k的取值范围为(−∞,−16]或[−8,+∞)．4.答案：C解析：根据指数函数性质及面函数性质，求值域即可， 本题考查指数函数的范围及值域值域的求法，属基础题． 解：∵5x >0,∴0≤1−5x <1,∴0≤√1−5x <1,∴0≤ y <1, 所以函数f(x)=√1−5x 的值域为[0,1)． 故选C ．5.答案：C解析：解：根据题意，f(x)为定义在R 上的偶函数，则f(log 2a)=f(log 12a)=f(|log 2a|)， 则f(log 2a)+f(log 12a)−2f(12)≤0⇒f(|log 2a|)≤f(12)，又由f(x)在x ∈[0,+∞)时为增函数，则|log 2a|≤12， 解可得：√22≤x ≤√2，即a 的取值范围为[√22,√2]；故选：C ．根据题意，由偶函数的性质可以将原不等式变形为f(|log 2a|)≤f(12)，结合函数的单调性可得|log 2a|≤12，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是将原不等式转化为关于a 的不等式．6.答案：D解析：本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，利用单调性比较大小，属基础题．根据已知条件灵活构造指数函数、对数函数、幂函数，借助函数单调性、引进中间量1比大小． 解：因为a =log 23>log 22=1，b =(12)13<(12)0=1，c =(13)12<(13)0=1，而b =(12)13>(12)12，c =(13)12<(12)12，所以c <b <a ，7.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数的求解及幂函数的性质.根据题意将点代入f(x)=x α解得α=−12． 根据α<0可判断函数的单调性，属于基础题目．【解答】解：设幂函数f(x)=x α，因为f(x)的图象过点(2,√22)，所以f(2)=2α=√22，解得α=−12，所以f(x)=x −12，且在(0,+∞)上单调递减． 故选C ．8.答案：A解析：本题考查对数的运算性质，属于容易题． 根据对数的运算性质，即可得到答案．解：因为lg2+lg5=lg10=1，所以lg5=1−lg2=1−a ． 故选A ．9.答案：D解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．求出正弦函数的周期性、单调区间、对称中心，y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，逐项判断即可． 解：它的周期等于T =2π2=π，故A 正确．由y =sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数f(x)=sin[2(x +π12)]的图象， 即为f(x)=sin(2x +π6)的图象，故B 正确；令x =π6，则f(π6)=sin(2×π6+π6)=1，故函数f(x)图象关于x =π6对称，故C 正确； 函数f(x)=sin(2x +π6)的单调增区间是[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈z ，故D 错误．10.答案：A解析：解：∵y=cos(2x+π3)=sin(2x+5π6)=sin2(x+5π12)，只需将函数y=sin2x的图象向左平移5π12个单位得到函数y=cos(2x+π3)的图象．故选：A．先根据诱导公式将函数y=cos(2x+π3)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．11.答案：D解析：本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得{l+2r=712lr=2.5⇒{r=52l=2或{r=1l=5,所以α=lr =45或5．故选D．12.答案：A解析：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：sin600°=sin(480°+120°)=sin120°=sin(180°−60°)=−sin60°=−√32，故选A.13.答案：B解析：本题考查余弦型函数的与性质，涉及三角函数的最值，考查理解与运算能力，属于中档题．依题意，得出直线x=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，即ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，再由ω>0且，即可求得答案．解：∵f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)，且f(π6)=f(π3)，在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，∴直线x=π6+π32=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，∴ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，∴ω=4(2k−13)(k∈Z)，又ω>0，又，解得0<ω≤12，∴当k=1时，ω=203．故选B．14.答案：D解析：本题考查向量的坐标运算和向量的垂直关系，属于基础题．解：∵a⃗=(1,0)，b⃗ =(1,1)，∴a⃗+λb⃗ =(1+λ,λ)，又∵(a⃗+λb⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+λb⃗ )·b⃗ =1+λ+λ=0，解得λ=−12．故选D．15.答案：D解析：解：如图所示，A(−1,−1)，B(1,−1)．设P(√2cosθ,√2sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)⋅(√2cosθ+1,√2sinθ+1) =2√2cosθ+2≤2√2+2．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2√2+2． 故选：D ．如图所示，A(−1,−1)，B(1,−1).设P(√2cosθ,√2sinθ).可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．16.答案：−1解析：解：原式=lg22×5825=lg 110=−1．故答案为：−1．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17.答案：9解析：本题主要考查了分段函数，考查了函数的解析式，属于基础题；根据题意f(132)=f(−32)+8，代入解析式即可得解．解：f(132)=f(92)+2=f(52)+4=f(12)+6=f(−32)+8，所以； 故答案为9．18.答案：−34解析：解：∵cosα+sinα=12，平方可得1+sin2α=14，则sin2α=−34，故答案为：−34．把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．19.答案：−19解析：解：∵sinα2=23，∴cos(π−α)=−cosα=−(1−2sin2α2)=−19．故答案为：−19．由诱导公式及二倍角的余弦函数公式即可得解．本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．20.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，∴(x2−x1)2+42=52，解得x2−x1=3，∴函数的周期T=2×3=2πω，解得：ω=π3．故答案为π3．21.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)=ax−b 4−x 2是定义在(−2,2)上的奇函数，则f(0)=−b 4=0，解可得b =0；又由f(1)=13，则有f(1)=a 3=13，解可得a =1； 则f(x)=x 4−x 2； (2)由(1)的结论，f(x)=x 4−x 2，在区间(−2,2)上为增函数；证明：设−2<x 1<x 2<2，则f(x 1)−f(x 1)=(4−x 1x 2)(x 1−x 2)(4−x 12)(4−x 22)，又由−2<x 1<x 2<2，则(4−x 1x 2)>0，(x 1−x 2)<0，(4−x 12)>0，(4−x 22)>0，则f(x 1)−f(x 1)<0，则函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t，解可得：−1<t <12，即不等式的解集为(−1,12).解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式．(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−b 4=0，解可得b 的值， 又由f(1)=a 3=13，解可得a 的值，将a 、b 的值代入函数解析式即可得答案；(2)根据题意，设−2<x 1<x 2<2，由作差法分析可得结论；(3)由函数的奇偶性与单调性分析可得f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<t <1t −1<−t，解可得t 的取值范围，即可得答案．22.答案：解：(Ⅰ)∵a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(−1,0)∴|a ⃗ |=√(−3)2+22=√13，|b ⃗ |=√12+02=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−3×(−1)+2×0=3．因此cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=√13=3√1313． (Ⅱ)λa ⃗ +b ⃗ =λ(−3,2)+(−1,0)=(−3λ−1,2λ)，a ⃗ −2b ⃗ =(−3,2)−2(−1,0)=(−1,2)由(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −2b ⃗ )得(−3λ−1)×(−1)+2λ×2=0，解得：λ=−17．解析：(Ⅰ)根据数量积的定义求cosθ；(Ⅱ)利用(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，得到数量积为0，建立方程关系，解方程即可求λ的值．本题主要考查平面向量的数量积的应用，以及利用平面向量解决向量垂直的应用．23.答案：解：由题意可得AC →·AD →=(AB →+BC →)·AD →=AB →·AD →+√3BD →·AD →=√3BD →·AD →=√3(AD →−AB →)·AD →=√3|AD →|2−√3AB →·AD →=√3．解析：本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量垂直和数量积的关系，属中档题．由平面向量的加减运算和数量积的运算，结合垂直关系化简可得．24.答案：解：(1)由题意得f (x )=2sin (2x +π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z ；(2)由(1)知，f (x )=2sin (2x +π3)+√32， 因为x ∈[π4,m]，所以2x +π3∈[5π6,2m +π3]，因为f (x )在[π4,m]上的最大值为√32+1， 所以sin (2x +π3)在[π4,m]上的最大值为12，所以5π6<2m +π3≤13π6，即π4<m ≤11π12， 故m 的取值范围为(π4,11π12]．解析：本题主要考查了三角函数的图象和性质中函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．(1)由题干部分得到f(x)解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，解出x 取值范围；(2)由第一小问得出的结论可得到x ∈[π4,m]，所以2x +π3∈[5π6,2m +π3]，所以sin (2x +π3)在[π4,m]上的最大值为12，从而得到m 的取值范围． 25.答案： 解：(1)因为 m =1 ，所以 =20>0 ，所以函数 f(x) 有两个零点；(2)假设三个函数都没有零点，则{16m 2−4(−4m +3)<0(m −1)2−4m 2<04m 2+8m <0所以 −32<m <−1故三个函数至少有一个有零点的 m 的取值范围是m ≤−32 或m ≥−1解析：本题考查(1)函数的零点(2)根据零点求参数的范围，难度适中．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（ ）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（ ） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（ ） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（ ）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直． （1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数． 【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0， 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0， 所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35， 所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12． 【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32， 化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]． 【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4； 当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2； 综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。
2019-2020学年湖南省高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。
【优质文档】2019-2020学年人教A版湖南省长沙一中高一第一学期期末数学试卷含解析
由 AB＝ ，得 FG＝
．
设△ PAB的外心为 E， 在△ PAB中，由 PA＝ PB＝ ， AB＝ ，
得 cos P＝
，则 sin P＝
．
设△ PAB的外接圆半径为 r ，则
，即 r ＝ ．
再设三棱锥 P﹣ ABC的外接球球心为 O，则外接球半径 R＝ OA＝
．
∴该三棱锥外接球的表面积为 4π×
．
）
A．外切
B．内切
C．相交
D．相离
7．已知两条不同直线 a、 b，两个不同平面α、β，有如下命题：
①若 a∥α， b? α，则 a∥ b；②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b；
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
C． 1
D．0
【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．
解：①若 a∥α， b? α，则 a 与 b 平行或异面，故①错误；
②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b，则 a 与 b 平行，相交或异面，故②错误；
2019-2020 学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知集合 A＝{ x| x﹣ a≤ 0} ，若 2∈ A，则 a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞， 4]
B．（﹣∞， 2]
C． [2 ， +∞）
2．函数 f （ x）＝ ax+1﹣ 2（ a＞ 0，且 a≠1）的图象恒过的点为（
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={0,1,2}，B ={x|x 2+x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.下列语句不是全称量词命题的是( )A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小3.若tanα=3，则4sin 2α−sinαcosα+cos 2α的值为( )A. −175B. 175C. 3D. −34.已知条件p:不等式的解集为R ；条件q:指数函数为增函数，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.与函数y =x 是同一函数的函数是( )A. y =√x 2B. y =√x 33C. y =(√x)2D. y =x2x6.函数g(x)=lnx −1x 的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.若角的终边上有一点，则的值是( )A.B.C.D.8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A. 12B. 32C. 2D. 49.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x +π4)的图象，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位D. 向右平移π24长度单位10. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.11. 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致是( )A.B.C.D. 图象大致形状是( )12. 若x +4x−1≥m 2−2am −3对所有的x ∈[2,4]和a ∈[−1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. [−2,2]D. [−4,4]二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增14. 已知实数a ，b ，c 满足a >b >c 且abc <0，则下列不等关系一定正确的是( )A. ac >bcB. c a >cbC. b a +ab >2D. aln|c|>bln|c|15. 下列关于函数y =tan(−2x +π3)的说法正确的是( )A. 在区间(−π3,−π12)上单调递增 B. 最小正周期是π2C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x =−π12成轴对称三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 计算2log 214−(827)23+lg 1100+(√2−1)lg1的值为______． 17. 周长为6的等腰△ABC 中，当顶角A =π3时，S △ABC 的最大值为√3，周长为4的扇形OAB 中，则当圆心角α，|α|=∠AOB = ______ (弧度)时，S 扇形△AOB 的最大值是1． 18. 设4a =5b =m ，且1a +2b =1，则m =______．19. 广州市出租车收费标准如下：在3km 以内路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按2元/km收费，另每次收燃油附加费1元，则收费额Q 关于路程s 的函数关系是______ ．20. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两实数根，则x 12+x 22= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)1.513×(−76)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(23)23； (2)12lg3249−43lg8+lg √245．22. 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．23. (本小题满分12分) 向量(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期； (2)若g(x)在[o,)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值，24. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ⏜、CD ⏜所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ=π3，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=log2x.(1)求当x<0时函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>2．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A={0,1,2}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．解：A，B，D中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而C中命题可以改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，所以C不是全称量词命题，故选：C．3.答案：B解析：先利用同角三角函数的基本关系把1换成sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，最后把tanα的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．解：∵tanα=3，则4sin2α−sinαcosα+cos2α=4sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=4tan2α−tanα+1 tan2α+1=4×9−3+19+1=175故选B．4.答案：C。
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题(六)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷（六）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷解答题1. 设关于x 的函数()()2lg 23f x x x =--的定义域为集合A ，函数()()04g x x a x =-≤≤的值域为集合B .（1）求集合,A B ；（2）若集合,A B 满足A B B ⋂=，求实数a 的取值范围【答案】（1）{| 1x x <-或}3x >， {}|4y a y a -≤≤-；（2）{| 5a a >或}3a <-. 【解析】试题分析：本题考查函数定义域的求法和集合的运算。
（1）根据条件求得函数()f x 的定义域和函数()g x 的值域，即可得到集合,A B ；（2）由A B B ⋂=得B A ⊆，转化为不等式求解a 的范围。
(2)∵A B B ⋂=, ∴B A ⊆.∴41a -<-或3a ->, 解得 3a <-或5a >，∴实数a 的取值范围是{a | 3a <-或5a >}. 2. 函数f （x ）=是定义在[-l ，1]上的奇函数，且f （）=。
（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）判断并用定义证明f （x ）在（-1，1）上的单调性； （3）若f （1-3m ）+f （1+m ）≥0，求实数m 的所有可能的取值。
【答案】（1）；（2）增函数；（3）0（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则即解得所以.（2）任取，不妨设，y -=，因为，，，，，所以，即，所以在上是增函数；（3）为上的奇函数，且由（2）知为增函数，则，所以解得.3. 已知函数()311212xf x x ⎛⎫=+⋅⎪-⎝⎭. （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性； （3）求证： ()0f x >.【答案】（1）()(),00,-∞⋃+∞；（2）()f x 为偶函数；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由分母不能为零得210x-≠求解即可，要注意定义域要写成集合或区间的形式；（2）在（1）的基础上，只要再判断()f x 与()f x -的关系即可，但要注意作适当的变形；（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立即可，不妨证明：当0x >时，则有21x >进而有: 1210,021x x->>-，然后得到110212xx ⎛⎫+⋅>⎪-⎝⎭，再由奇偶性得到对称区间上的结论.（3）证明：当0x >时，()()310,0,0,21xx f x f x >>∴>-为偶函数， ()0,0x f x ∴.综上所述，定义域内的任意x 都有()0f x >. 4. 已知函数()f x = ()221x a a -∈+R . (1)是否存在实数a 使函数()f x 是奇函数?并说明理由;(2)在(1)的条件下,当0x >时, ()()220f kx f x +--<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)存在1a =满足题意.(2) (.∞- 【解析】试题分析：(1)由()f x -=()f x -得221x a --+=221xa -++，可得a=1；(2)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数，则原不等式等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +，即22kx x <+，当0x >时22x k x +<恒成立，设()g x =22x x+，再利用函数单调性的定义证明()g x 在(上是减函数，在)∞+上是增函数，即可求出求值，即可得出结论.试题解析：(1)当1a =函数()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-得， 221x a --+=221x a -++, 解得1a =. (2)函数()2121x f x =-+，任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()21f x f x -=12112121x x -++=()()2112222121x x x x -++， 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <，所以21220x x ->， 又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R 上是增函数，因为()f x 是奇函数，从而不等式()()220f kx f x +--<等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +,因为函数()f x 在R 上是增函数，所以22kx x <+，所以当0x >时22x k x+<恒成立.设()22x g x x +=，任取12,x x ,且120x x <<，则()()21g x g x -=22212122x x x x ++-=()()2112122x x x x x x --，当(12x x ∈，且12x x <时, 2112120200x x x x x x ->-，，，所以()()21g x g x <，所以()g x在(上是减函数；当)12x x ∞∈+，且12x x <时， 2112120200x x x x x x ->->>，，，所以()()21g x g x >，所以()g x在)∞+上是增函数，所以()min g x= g=即k <k的取值范围为(.∞-5. 已知函数()f x =()27x mx m m ++-∈R .(1)若函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)求函数y = ()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m .【答案】(1) 4m ≥-或8m ≤-.(2) ()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤.【解析】试题分析：(1)由函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性可得22m -≤或42m-≥，求解即可；(2)利用二次函数的单调性，分1111222m m m-≤--<-<-≥、、三种情况讨论求解. 试题解析：(1) ()f x =()27x mx m m ++-∈R 开口向上，对称轴为2m x =-，若函数()f x 在[]2,4上具有单调性，则需22m -≤或42m-≥，所以4m ≥-或8m ≤-. (2) 当m12-≤-，即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以()g m = ()1g -=6-，当112m-<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()g m = 2m g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=274m m -+-； 当12m-≥，即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以()g m = ()1g =26m -，综上得()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤. 6. 设实数a ∈R ,函数()f x = 221x a -+是R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)当()1,1x ∈-时,求满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）( 【解析】试题分析：(1)由题意结合奇函数的性质可得1a =.(2)结合(1)中函数的解析式可得()f x 在R 是增函数,结合函数的定义域和函数的单调性可得实数m 的取值范围是(. 试题解析：（1）因为函数()f x = 221xa -+是R 上的奇函数, 所以()00f =.即02021a -=+,解得1a =. (2)由(1),得()2121x f x =-+.因为()f x 是R 上的奇函数,由()()2110f m f m -+-<,得()()211f m f m -<--,即()()211f m f m -<-.下面证明()f x 在R 是增函数,设12,x x ∈R 且12x x <,则()()12f x f x -=1222112121x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()()()1212222,2121x x x x -++ 因为12x x <,所以121222,220x x xx <-<,而12210,210x x +>+>,所以()()()121222202121x x x x -<++,即()()12f x f x <,所以()f x = 221x a -+是R 上的增函数. 当()1,1x ∈-时,由()()211f m f m -<-得22111{11 1 11m m m m -<-<-<-<-<-,解得1m <<，所以,当()1,1x ∈-时,满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m的取值范围是(.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．7. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，当0x >时，()0f x >；（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()()220f kx f kx -+->对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 为奇函数；（2）08k ≤<.试题解析：(1)令则令所以为奇函数.(2)任取12,x x <则()()()()()()()11221221212,0f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-=->()()12f x f x > ，()f x 是单调减函数，()f x 为奇函数且0x >时，()0f x <， 0x ∴<时，()0f x >， 220kx kx ∴-+-<恒成立，当时，-2<0恒成立，当0k ≠时，得20{80k k k -<∆=-<，得08k <<，综上， .8. 已知定义在R 上的函数()22x x bf x a--=-是奇函数.（1）求a ， b 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t R ∈，关于t 的不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-， 1b =-（2）()f x 在R 上为减函数（3）1k <-【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a ， b ；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()()22f t t f k f k -<--=，然后利用单调性求k 的取值范围.试题解析：（1）因为()22x x b f x a--=-是定义在R 上的奇函数所以()()()00{11f f f =-=-，解得1a =-， 1b =-经检验符合题意，所以1a =-， 1b =-（3）因为()f x 为R 上减函数，且为奇函数所以()()220f t t f k -+-<等价于()()()22f t t f k f k -<--=，所以22t t k ->恒成立 即()22211k t t t <-=--，所以1k <-点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()22f t t f k -<，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.9. 已知函数()2π2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T ＝2π4＝π.2;(2) 取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期, (2)根据x 的范围,求出4x ＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答. 试题解析：(1)由题意知, ()f x x -cos π42x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4x ＋sin 4x ＝2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的最小正周期T ＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴2-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.10. 已知，，．(1)求；(2)设，，求点及的坐标．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，，∴. (2)设点的坐标分别为则而，∵，，∴解得∴点的坐标分别为.∴．考点：平面向量的坐标运算.11. 已知函数()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π; （Ⅱ）函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式为()πsin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π，最大值为22-. (Ⅱ)结合函数的解析式和正弦函数的性质可得函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 试题解析：（Ⅰ）()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭2cos sin x x x =()1sin21cos222x x =-+ 1sin2222x x =--πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，最大值为22-.12. 已知()1,2a =， ()3,2b =-,求当k 为何值时（1）3ka b a b +-与垂直； (2) 3ka b a b +-与平行. 【答案】（1）19k =；（2）13k =-. 【解析】试题分析：（1）根据向量垂直得到向量点积为0，由向量坐标运算得到结果；（2）根据向量平行的坐标运算得结果. 解析：由题意可得： ()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+ ， 而()()()31,233,210,4a b -=--=- ，故满足题意时： （1） ()()1034220k k --+= ，解得： 19k = . （2）()()()3410220k k -⨯--+= ，解得： 13k =- . 13. 已知23a b ==， a 与b 的夹角为120，求（1）a b ⋅；（2）(23a b a b -⋅+）（）；（3）a b +【答案】（1）-3；（2）-34；（3）7.【解析】试题分析：（1）根据向量运算的定义式得到cos120o a b a b ⋅==-3.（2）根据向量点积的运算规律和定义展开得到结果.（3）将模长平方根据向量点积的运算得到结果. 解析：（1）1cos1202332oa b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）2223253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-（）（）2225cos1203o a a b b =+-8152734=--=-（3）()2222469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=14. 已知ABC ∆，点()()()2,3,0,2,1,1A B C --，（1）以AC 为对角线作正方形/ AMCN (点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）设0n 为与BC 垂直的单位向量，求向量0n 的坐标，并求边BC 上的高AD 的长.【答案】（1）()2,3MN =， 31,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),M N x y =∴22320{13x y x y -=+=即求得MN ，设,A C 中点为1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭又E 为MN 中点，由31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭得点M 的坐标（2）0n 为与BC 垂直的单位向量，则设()0,n x y =，由0n BC ⊥， ()1,3BC =得221{ 30x y x y +=+= 解出0n ，在ABC ∆中，由余弦定理得出cos ACB ∠，过A 作AD BC ⊥,得cos ACD ∠，sin sin ACD AD AC ACD ∠=⋅∠，则求得得解.试题解析：（1）∵()()2,3,1,1A C - ∴()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),MN x y = ∴22320{13x y x y -=+=得2{ 3x y ==或2{ 3x y =-=-（舍） ∴()2,3MN = 设,A C 中点为1,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭又E 为MN 中点，∴31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设()0,n x y =，则0n BC ⊥， ()1,3BC =∴221{ 30x y x y +=+= ∴0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭在ABC ∆中， 29AB =， AC BC ==由余弦定理得cosACB ∠==过A 作AD BC ⊥,∴cos ACD ∠=∴sin ACD ∠∴sin AD AC ACD =⋅∠===15. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）求1x ， 2x ， 3x 的值及函数()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值． 【答案】（1）()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得；由可得，()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由可得 :2分由可得:又6分（2）由的图象向左平移个单位得的图象, 8分10分时,13分16. 已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω的值和函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()2463f αππα⎛⎫=<<⎪⎝⎭，求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()23k x k Z ππ=+∈；（2）=【解析】试题分析：（1）根据图像上相邻两个最高点的距离可求函数周期，即可求出ω的值，从而求出()f x 的对称轴方程；（2）由（1）可知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数之间关系及角的变换即可求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）由（1）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由263ππα<<得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-===⎪⎝⎭sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ cos 66ππα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114242=⋅-⋅ =17. 已知()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin2αα+. 【答案】（1）－16（2）85【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式化简已知条件等式为sin 2cos αα=，由此可求得代数式的值；（2）将代数除以22sin cos αα+，然后利用同角三角函数间的基本关系求解． 试题解析：（1）∵()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∴sin 2cos αα-=-，即sin 2cos αα=， 则原式2cos 4cos 2110cos 2cos 126αααα--===-+．（2）∵sin 2cos αα=，即tan 2a =，∴原式22222sin 2sin cos tan 2tan 448sin cos tan 1415αααααααα+++====+++． 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数间的基本关系．18. 已知:；（I ）化简；（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（I ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I ）根据三角函数的诱导公式化简，即可求出；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得到的值 .试题解析： （I ）（Ⅱ），所以，又由是第三象限角，所以，故19. 已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且点,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域； （3）把函数()y f x =的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，求θ的取值范围． 【答案】（1）()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[)2,1-；（3）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）由,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点求出A ，由周期为π求出ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，从而可得函数的解析式；（2）由,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求的52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求()2226g x sin x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得03{,64k k Z k ππθπππθ+-≤∈++≥，结合范围02πθ<<，可求θ的取值范围.试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin （2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ϕ=，∴f （x ）=2sin （2x+）．（2）∵x ∈[﹣，0]， ∴2x+∈[﹣，]，∴sin （2x+）∈[﹣1，]，可得：f （x ）=2sin （2x +）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f （x ）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g （x ）=2sin [2（x ﹣θ）+]=2sin （2x ﹣2θ+），∴令2k π﹣≤2x ﹣2θ+≤2kπ+，k ∈Z ，解得：k π+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k ∈Z ，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k ∈Z ，∵函数y=g （x ）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k ∈Z ，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．20. 已知两个不共线的向量,a b 满足()1,3a =， ()cos ,sin b θθ=， R θ∈.（1）若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；（2）当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ使得3a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1）a b + =23m +≤≤ 【解析】试题分析：（1）已知2a b -与7a b -垂直，所以以()()270a b a b -⋅-=，变形得2221570a a b b -⋅+=，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为2a =， 1b =，代入上式可得81570a b -⋅+=，求得1a b ⋅=.求向量的模，应先求向量的平方。
【优质文档】湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题B(二)
单调递减区间 [ π +Kπ ， 7π/8+K π ] k∈Z，
(2)0 ≤x≤ ,0 ≤2x≤ π ,- ≤2x - ≤ π - = π
当 2x - =
即 x＝ π 时， f ( x) 有最大值
所以 f(x) 的最大值是 2 ， f(x) 的最小值是 -1.
此时 f(x) 在 [0 ， π ] 是增函数，在 [ π ， ] 是减函数
n
化简（ 2）根据
m
x2 x 2
1
12
x x 1 x x 1 , x2 x 2
x x 1 2, x x 1 2
x x1 2
4 求值，并代入即可
试题解析
: （ 1）原式
1
=
2
（ 2）因为 x2 x 2 x x 1 x x 1
4 x x1
x x 1 2 x x 1 2 4 12 ，因为 0 x 1，所以 x x 1 2 3
在区
，
。所以函数
在区间
上的值域为
.
1
13
4. 计算：（1）
27
1
12 6
4
2
22 3
0 3 1 log 4 8；
（ 2）已知 x
x1
4, (0
x2 x 1), 求 1
x2
1.
x2 x 2
【答案】（1） 1 （ 2） 4 2 2
【解析】试题分析 : （ 1）根据
am n
amn , a0 1,log a mb n
x
fx
11 2x 1 2
11 2x 1 2
2x 1 2x
1 2x 1
1
0，
所以 f x
f x ，函数 f x 在 R 是奇函数 .
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。
湖南四大名校内部资料答案-长郡中学2019-2020学年度高一第一学期期末考试
长郡高一期末数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
D
B
A
D
C
B
B
A
D
C
C
B
D
D
B
二、填空题
16. 17. 18.
19. 20.
三、解答题
21.【解析】(Ⅰ)根据题意，函数 是奇函数( )，且
则 ，又由
则有 ，且函数，
证明：设
又由 ，则 且 ，
则有
故函数 在在 上为增函数.
22.【解析】(Ⅰ)由 与 互相垂直，可得
所以
又因为 ，所以
因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，由 ，得 ，即
因为 ，所以
所以
所以
所以
23.【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ) ，即
化为 ，解得 .
24.【解析】(Ⅰ)∵
∴函数 的图象向左平移 个单位长度后
得到 的图象
又 为偶函数，则 ， ，
∴ ，∴
∴ ，
(Ⅱ)∵
∴
∵
∴ ，
∵ 在 上是单调函数
∴ ，且
∴
25.【解析】(Ⅰ)
当 时， ，∴
当 时， ，∴
综上： 或 .
(Ⅱ) 有三个零点
等价于 和 有三个不同的交点
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增
∴ ，即
又
∴
当 时， 在 上递减，在 ， 上递增
∴ ，即 ，故
【优质文档】2019-2020学年人教A版湖南省长沙一中高一第一学期期末数学试卷含解析
一、选择题
1．已知集合 A＝{ x| x﹣ a≤ 0} ，若 2∈ A，则 a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞， 4]
B．（﹣∞， 2]
C． [2 ， +∞）
2．函数 f （ x）＝ ax+1﹣ 2（ a＞ 0，且 a≠1）的图象恒过的点为（
D．[4 ， +∞） ）
参考答案
一、选择题
1．已知集合 A＝{ x| x﹣ a≤ 0} ，若 2∈ A，则 a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞， 4]
B．（﹣∞， 2]
C． [2 ， +∞）
D．[4 ， +∞）
【分析】根据 2∈ A 即可得出 2﹣ a≤0，从而可解出 a 的取值范围．
解：∵ 2∈ A；
∴ 2﹣ a≤0；
∴ a≥ 2；
21．某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本 C（ x）， 当年产量不足 80 千件时， C（ x）＝ x2+10x（万元） ；当年产量不小于 80 千件时， C（ x）
＝ 51x+
﹣ 1450（万元），每件售价为 0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完．
A．（﹣ 1，﹣ 1） B．（﹣ 1， 0）
C．（ 0，﹣ 1）
D．（﹣ 1，﹣ 2）
3．如图，长方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中， AB＝3， BC＝ 2， BB1＝1，则线段 BD1 的长是（
）
A．
B．
C． 28
D．
4．方程 log 2x+x＝ 2 的解所在的区间为（
）
A．（ 0.5 ， 1）
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像大致是…………………………………()参考答案：D2. 的值是 ( )A .B . C.D.参考答案：B略3. 设集合，集合,若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C． D. 参考答案：B略4. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣1，∵B={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}．故选D5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”．下列有四个函数：①；②；③；④；可用来构造同族函数的有_ ▲参考答案：①②6. 已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B 解析：7. 设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 4参考答案：B考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．8. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值时.的值为( )A．3 B.-7 C.34 D.-57参考答案：C略9. 函数的定义域为（★）A．R B．[1，10] C．D．（1，10）参考答案：D略10. 在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（）A． B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算min。