鲁教版初三数学下 相似图形知识点归纳(全)

初三数学相似图形知识点归纳(全)
一、相似的基本性质 （一）线段的比
1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比
例：(1)线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,
对吗？
（）若
，且，则。

3532
8a b c
a b c a ==-+==
解：
（）若：：，则。

423432x y z x y z
y
::=-+=
解：
(二)比例尺=图上距离／实际距离
. 例1. 已知：A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为________。

现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。

相距50千米的C 、D 两地在该地图上的距离为__________。

解：比例尺千米=
=
1801
8000000cm
（三）比例的基本性质：如果
，那么ad=bc
（）若，则。

157a b a b
==
（）若，则
，。

2850x y x y
x y
x y
-==+-=
（）已知
，求。

3118x y x x
y
+==
（）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4a mn
b
=
A. a:b=m:n
B. a:m=b:n
C. a:m=n:b
D. a:n=b:m
（四） 合比性质、等比性质：
合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 等比：若……（若……）
a b c d e f m
n k b d f n =====++++≠0
则
…………a c e m b d f n a b m
n k
++++++++===
.
（）若
，则1572323a b c d e f a c e
b d f
===+-+-=
（）和中，
，且的周长33
5
111111111111∆∆∆ABC A B C AB A B BC B C AC A C A B C ===为，求的周长。

50cm ABC ∆
（）若
，则4a b c b a c c
a b k k +=+=+==
A B C D ....
12112132或--
例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c 的值
（五)、黄金分割：
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中
AC=2
15-AB ≈0.618AB ，
（六）平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到____________________________________
语言描述如下：
=
，
=
，
=
.
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l 3
l 2l 1A
B
C
D E E D C
B
A D E
B
C
A l 1l 2l 3
A
B C
D E
A 型 X 型
由DE ∥BC 可得：
AC
AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =
==或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线
段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
如上图：若 = . = ，=
，则AD ∥BE ∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边
．．．．．．
与原三角形三边
．．．．．．对应成比例.
二：相似三角形：
（一）：定义：
1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

用符号“∽”表示，2：相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

（二）：.相似三角形的判定定理：
1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：——————————————————————————————————————
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL
相似三角形的判定两边对应成
比例且夹角
相等
三边对应成
比例
两角对应相
等
一条直角边
与斜边对应
成比例
2：两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
用数学语言表述如下：
__________________________________________________________
3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
__________________________________________________________.
4：三边对应成比例的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
_______________________________________________________________._
5：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 用数学语言表述如下：
______________________________________________________
6：直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
（即：射影定理）.
2、相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型。

Ⅰ.相交线型
下图1：若△ABC ∽△DCB, 则2AB ＝AD.AC (此类型比例式最常用)
（三）:相似三角形的性质
1: 相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2: 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3: 相似三角形周长的比等于相似比
4: 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
C E D
B A
C A
D B.
C
B
D
E A
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方
例. （）如图，在中，，，，求。

1348∆∆∆ABC DE BC AD BD S S ABC ADE //==
（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2∆ABC EFGH E F BC G 、H
分别在AC 、AB 上，BC=15cm ，BC 边上的高AD=10cm ，求正方形的面积。

A
H M G
B E D F C
1
S cm 正方形（）==63622
四、位似图形
1：定义1：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那
么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

定义2：由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利用位似变换可以把一个
图形放大或缩小
2：性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，到位似中心的距离之比都等于位似比。