高数习题第五章习题黄立宏第4版

3.半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？
解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为
(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为
（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；
解：见图16，
．
（2）星形线 绕x轴旋转；(16)
解：见图17，该曲线的参数方程是：
，
由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为
(17)
4.求下列立体的体积：
(1)曲线 与它在 处的切线及直线 所围成的图形，绕 轴旋转而成的旋转体；
(2)圆片 ，绕 轴旋转而成的旋转体.
试求最大利润．
解：设利润函数L(x)．
则L(x)=R(x)－C(x)－50
由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11
令L′(x)=0得x=1，x=11．
又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为
L(11)=
2.设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′(x)（万元/百台），边际收入为R′(x)=7－2x（万元/百台）．
(1)求生产量为多少时总利润最大？
(2)在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？
解：(1)当C′(x)=R′(x)时总利润最大．
即2=7－2x，x=5/2(百台)
9题图
10.设星形线 ， 上每一点处的线密度打打小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星形线在第一象限弧段对这质点的引力.
5.证明：由平面图形 ， ，绕 轴旋转而成的旋转体的体积为
.
习题
1.求下列曲线段的弧长：
(1) ，0≤x≤2；(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)曲线 上自 至 的一段弧；
(5)曲线 ， 上自 至 的一段弧；
(6)求抛物线 被圆 所截下的有限部分的弧长.
解：(1)见图18，2yy′=2．
∴ ．从而
(18)
解：
．
(10)
2．2.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;
解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．
(11)
（2） 及 ．
解：如图12，解方程组
得cosθ=0或 ,
即 或 ．
(12)
．
3．3.已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于 ，求常数a．
（1）求函数 ；
（2）计算不定积分 .
解：由题设 ，两边关于 求导数，有 ，由此得
6.已知某容器内表面形状是由曲线段 ，（单位：m）绕 轴旋转一周所成.
（1）求该容器的容积；
（2）如果容器装满水，问将水全部提升到高出容器顶面1m处时，需做功多少？
解：（1）容器的容积
（2）利用微元法可得将水全部提升到高出容器顶面1m处所做的功为
(14)
对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： ，同理可得该椭圆的另一半轴为： ．
故该椭圆面积为
从而立体的体积为
.
2.计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图15.
(15)
解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．
A. B. C. D.
（2）由曲线及三条曲线围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积等于（）.
A. B. C. D.
（3）设无穷长直线 的线密度为1，引力常数为 ，则 对距直线为 的单位质点 的引力为（）.
A. B. C. D.
（4）峰值为 ，周期为 的三角形波的电压平均值为（）.
A. B. C. D.
设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为
dw=x·60gdx=60gxdx．
于是将水全部抽出所作功为
（19）
．
2.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
≈0.385386万元=3853.86元．
5.设某商品从时刻 到时刻 的销售量为 欲在 时在将数量为 的该商品销售完，试求
(1) 时的商品剩余量，并确定 的值；
(2)在时间段 上的平均剩余量.
6.设某酒厂有一批新酿好的酒，如果现在（假定 =0）就售出，总收入为 （元）.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售， 年末总收入为
3.(1)求曲线 与坐标轴所围成图形的面积；
(2)曲线 与坐标轴围成的图形是否存在有限面积？请说明理由.
4.记 为介于曲线 与 轴之间的无界图形，求 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解： 的面积为 .
绕 轴的旋转体体积为 .
5.设 为 上的非负连续函数，且对于任何 ，其曲线 于 轴、 轴及 所围成的曲边梯形 绕 轴旋转所得旋转体的体积为 .
解：如图13，解方程组 得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a))
∴
依题意得
得a=2．
(13)
习题
1.设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。
解：如图14建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：
（3）曲线 的弧长 .
（4）设有曲线 ，过原点作其切线，则以曲线、切线、及 轴所围成平面图形，绕 轴旋转一周所得立体表面积为_____.
（5）已知曲线 过点 ，且其上任一点 处的切线斜率为 ，则函
数 在 上的平均值为_____.（国防科大10-11年秋季第一大题第5小题）
2.选择题：
（1）曲线 与坐标轴所围成图形的面积为（）.
(2)L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．
在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为
ΔL(x)= ．
即此时Biblioteka Baidu利润减少1万元.
3.某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．
解：投资20年中总收入的现值为
（2
．
（3）
=4.
(4)
(5)
(6)
2.设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求
（3）星形线所围面积；
（4）绕x轴旋转所得旋转体的体积；
（5）星形线的全长．
解：(1)
．
(2)
(3)xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，
习题
1.求下列各曲线所围图形的面积：
（1） 与x2+y2=8(两部分都要计算)；
解：如图D1=D2
解方程组 得交点A(2，2)
(1)
∴ ,
．
（2） 与直线y=x及x=2；
解： .
(2)
（3）y=ex，y=ex与直线x=1；
解： ．
(3)
（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；
假定银行的年利率为 ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 时的 值.
习题五
1.填空题
（1）在曲线 （ ）上取（ ）（ ）.设 是曲线 （ ），直线 和 围成的面积； 是由曲线 （ ），直线 和 围成的面积，则 取_____时， 取最小值.
（2）由曲线 与两条射线 及 所围成图形的面积为_____.
所求的功为
4.设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。
解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素
（图22）
则
则
故所求引力的大小为 ，方向自N点指向圆弧的中点。
5.求下列函数在[－a，a]上的平均值：
过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于
从而该立体的体积为
．
4．3.求下列旋转体的体积：
（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；
解：求两曲线交点 得(0，0)，(1，1)
．
．
3.求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．
解：
．
4.求半径为R，高为h的球冠的表面积．
解：
=2Rh．
5.求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
解：
．
习题
1.把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？
解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx
纯收入现值为
R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)
收回投资，即为总收入的现值等于投资,故有
4.某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？
解：设每年以均匀流方式存入x万元，则
5=
即5=20x(e0.51)
在(3，0)处的切线是y=2x+6
两切线交点是( ，3)．故所求面积为
(7)
（8）摆线x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱(0t2)与x轴，这里a为正常数；
解：当t=0时，x=0,当t=2时，x=2a．
所以
(8)
（9）极坐标曲线ρ=asin3φ，这里a为正常数；
解：
．
(9)
（10）极坐标曲线ρ=2acosφ，这里a为正常数；
（焦耳）
7.半径为5m，深为2m的圆锥形水池（锥顶朝下）贮满水，要将水全部抽至池面上方5m高处，问至少要做多少功？
8.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，端面椭圆的长轴长为2m，与水平面平行，短轴长为1.5m，水箱长4m.当水箱里注有一半水时，水箱的一个端面所受的水压力是多少？
9.求铅直放在水中的平面薄板一侧所受的水压力.薄板如图所示.上半部是三角形，下半部是半径为3m的半圆，三角形顶部恰好在水面上.
;
解：
(2)
解：
6.求正弦交流电i=I0sinωt经过半波整流后得到电流
的平均值和有效值。
解：
有效值
故有效值为 .
7.已知电压u(t)=3sin2t，求
(1)u(t)在 上的平均值；
解：
(2)电压的均方根值.
解：均方根公式为
故
习题
1.设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．
解： ．
(4)
（5）抛物线y=x2和y=x22；
解：解方程组 得交点(1，1)，(1，1)
．
(5)
（6）y=sinx，y=cosx及直线 ；
解： ．
(6)
（7）抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；
解：y′=2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=2．
∵抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3