高等数学_第四章习题课

真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
1. x A adx Aln xaC;2. (x A a)d nx (1n)A x (a)n1C ;
3. x2M pxN xqdxM 2lnx2pxq
NM2parctx anp2 C;
qp24
qp24
4 .( x 2 M p N q x ) x n d M x 2( x ( 2 2 x p p ) d q x ) n x ( x 2 N p M 2 q x ) n p d
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间 I内， 函数f(x)的带 有任意 常数项 的 原函 数称 为f(x)在区间 I 内的 不定积 分， 记
为f(x)dx．
f(x)d xF (x)C
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 .
(1)3axdx lan
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
ln C.
2(l3 nln2) 3x2x
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
ex(12sinxcosx)
解 原式
2 2 dx 2co2sx
2
(ex 1 extanx)dx
高等数学_第四章习题课
1、原函数
定义 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为 f(x) ，即xI ，都有F(x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)dx在区间I内原函数. 原函数存在定理 如 果 函 数 f(x)在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x)， 使 x I， 都 有 F (x)f(x).
dx
x
x
x.
1e2 e3 e6
x
解 令e6 t,
x6ln t, dx 6 dt,
t
原 式 1t3 1t2t6 tdt
6 dt
t(1t)(1t2)
设 t(1t)6 1 (t2)A ttB 1C 1 tD t2
6 A ( 1 t ) 1 t ( 2 ) B ( 1 t 2 ) t ( C D ) t ( t t 1 )
lna( sinxbco sx)C2
1
I
[xlna(sinxbcoxs)]C
a2 b2
Ja2
1 b2
[xlna(sinxbcoxs)]C
例11 求[f(x)f2(x)f(x)]d.x
f(x) f3(x)
解 原式 f(x)f2(x f) 3(x f)2(x)f(x)dx
ff((x x))f2(x) f2 f((x x))f(x)dx
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
ln C.
2(l3 nln2) 3x2x
二、典型例题
练习 ：计算下列不定积分
(1 ) coscs x2x sindx x
( 2 ) x 2 ( 2 x 3 1 ) 10 dx
2[lx n(1x2)5]2 3C . 3
例4 求 x1 dx.
x2 x2 1
解 令x 1,
t
(倒代换)
1
原式
1
1 t
( 1)dt
(1)2 1 t2
1t dt
1t2
t2 t
1 d t d(1t2) art c1 s ti2 n C 1t2 21t2
x21
1
arcsiC n.
x
x
例5 求
x
a
C
(14) shxdxchxC
(15) chxdxshxC
(1)6 ta xn d lx c nx o C s
(2)0 a2 1x2d xa 1arca x tC an (2)1 x 21 a 2 d x 2 1 a ln x x a a C (2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
x
2. f ( x)dx; x
f (1)
4.
x x2
dx ;
5.f(sx i)n co xsd ; x6.f(ax)axdx;
7.f(tax)nse2cxd;x8. f(arctxa)dnx; 1x2
6、第二类换元法
定理 设x(t)是单调的、可导的函数，并 且(t)0，又设f[(t)] (t)具有原函数，
x
h 0 f(x)
解y ： (f(x 设 h))x h 1,则 ln y1ln f(x h)x
f(x )
h f(x )
lilm y n li1 m ln f(x h ) x lix ( m l f(x n h ) x ln f(x )
h 0 h 0 h f(x ) h 0
hx
x[ln f(x)]
lim (f(xhx ))h 1 ex[lnf(x)]
h 0 f(x)
1
由已知条ex件 [lnf(得 x)] ex
[lnf(x)] 1 ,
1
x2
1
f (x) Ce x
f (x) e x
lim f(x)1 C1,
x
例 1(2 40 ,6 ) 设 0 f(2 s 2x i) n sx ix ,n 求 1 x x f(x )d x
此两积分都可积,后者有递推公式
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sx i,n cox)s
令u tan x 2
2u sinx1u2
x2arcutan
cosx11uu22 dx12u2 du
R (sx i,cno x)d s x R1 2uu2,1 1 u u2 212u2du
练习计算下列积分
(1 )
1 x ln
dx x
;
dt
( 2 )
;
e t e t
( 3 ) x x 1 dx ;
( 4 ) x e x dx ;
( 5 ) x arctan xdx ;
( 6 ) ln xdx ;
.
例6 求 x arx c ln t 1 a x (2 )n d.x
解 xln1 ( x2)dx1ln1 (x2)d(1x2) 2
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
5、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1.f(xn1)xnd;x 3. f(lnx)dx;
(1)7 cx o d tls n xix n C
(2)3
1 d xarcx sC in
a2x2
a
( 1 )8 sx e c d ln x x (ts a x )e C n c
1
(24)
dx
( 1 )9 cx s c d ln x x (cc x o ) s C tc
x2 a2 ln(x x2 a2)C
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
解决方法：作代换去掉根号．
令 tna xb;
令t n axb; cxe
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解 原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1
1 3
ln
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
则有换元公式
f ( x ) d x f [( t ) ( ] t ) d t ( x ) t
第二类换元公式
其 中 (x ) 是 x ( t) 的 反 函 数 .
常用代换:
1 .x (a tb ), R .
2.三角函数代换 如 f(x) a2x2,令 xasitn.
3.双曲函数代换 如f(x) a2x2,令xash. t 4.倒置代 令 x 换 1.
1(1x2)ln 1(x2)1x2C .
2
2
原 a 式 r x [ c 1 ( d 1 t `x 2 a ) l1 n n x 2 ) ( 1 x 2 ]
2
2
1[1 ( `x2)ln 1 (x2)x2]arcxtan 2
1
2
[ln 1(x2)1 x2 x2]dx
1arctxa[(n1`x2)ln1(x2)x23] 2
xtanxC. 2
例 1计 0 算 asix sn ix b ncoxd s x
解
：I设 asinxsinxbco
dx,J sx
asinxcosbxco sxdx,
则aIbJdx xC1
aJbI aascionxsxbbcsoinsxxdx d(aassiinnxxbbccoosxsx)
解得 A 6 ,B 3 ,C 3 ,D 3 .
原式 (6 t1 3t3 1t t3 2)dt
6 ln t 3 ln 1 t( ) 3 ln 1 t( 2 ) 3 artc C tan 2
x 3 ln 1 e (6 x) 3 ln 1 e (3 x) 3 are c 6 x C t.an 2
可C 2 得 1 2＋ C , C 31C .
12x2 C, x1
故
max1{,
x}dx
x1C, 2