高等数学(上册)第四章

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第四章《高等数学(上册)》课件

性质4 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx ．
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
四、基本积分公式
（1） kdx kx C
（3）

1 x
高等数学
第四章
不定积分
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
第四章
不定积分
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
一、原函数和不定积分的概念
定义1 设f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，使得在(a,b)上的任意一点x有
02 换元积分法 03 分部积分法
三、不定积分的性质
性质1

f
( x)dx

f
(x)
或
d
f (x)dx

f (x)dx ．
性质2 F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C ．
性质3 af (x)dx a f (x)dx (a 0) ．
积分常数．
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
例1 求 3x2dx ．
解由于 (x3) 3x2 ，所以，x3是3x2的一个原函数，因此

2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .

高等数学(上册)第4章习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类

x2 ★★(6) 1 x2 dx
思路:注意到
x2 x2 1 1 1 1 2 2 1 x 1 x 1 x2
，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
2
解：
x2 1 1 x2 dx dx 1 x2 dx x arctan x C.
课后习题全解
习题 4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
1
★(1)
x
dx
2
x
1 x2 x
5 2
思路: 被积函数
x

5 2
，由积分表中的公式（2）可解。
解：
x
(
dx
2
2 x dx x 2 C 3 x
cos 2 x
1
1
2
x
dx
1 1 sec2 xdx tan x C. 2 2
★ (17)
思路:不难，关键知道“ cos 2 x cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) ” 。
2 2
解：
cos x sin xdx (cos x sin x)dx sin x cos x C. cos
第4章
名称不定积分的概念设
不定积分
主要内容
内容概要
f ( x) ， x I ，若存在函数 F ( x) ，使得对任意 x I 均有 F ( x) f ( x) f ( x)dx ，则称 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数。

高等数学第四章课件-矩阵的逆

( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证：（反证法）假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้

《高等数学(上)》不定积分(全)

23
第二讲第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;

《高等数学》课件高等数学第四章

例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0，) 求该曲线的方程．
解由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
y 2xd x x2 C，
又知曲线通过坐标原点(0，0，) 将条件y x0 0代入上式，得C 0．于是所求曲
这种方法称为直接积分法．
例7 求不定积分 x (x2 5)d． x
5
1
5
1
解 x (x2 5)d x (x2 5x2 )d x x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
7
3
7
x 10 x x C.
1 3 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第 17 页
例4
求
1
2
x x
2
d ． x
解 2x d x 1 d(x2 ) 1 d(1 x2 ) ln |1 x2 | C ln(1 x2 ) C.
1 x2
1 x2
1 x2
2 换元积分法
高等数学第四章. 第二节
第 26 页
常用凑微分公式：
（1）d x 1 d (a x) 1 d(ax b)
3
3
x2 d x 1 x3 C．
3
例2 求不定积分 sin xd． x
解因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．

同济高等数学第六版上册第四章ppt

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5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质
第四章
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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dx 例2. 求 3 . x x

高等数学第4章

第四章微分方程
y
3
2 (1,2)
1
O
x 一阶微分方程的概念
图4-1
x 1时, y 2 , 简记为 y |x1 2 (称为初始条件) (2)
5
第四章微分方程
例 1 一曲线通过点 (1, 2) (见图 4-1), 且在该曲线上任一点 M (x, y) 处的切线的斜率为 2x , 求该曲线的方程
F ma , 若取物体降落的铅垂线为 x 轴, 其正向朝下, 物
体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是 t 0 , 物体
下落的距离 x 与时间 t 的函数关系为 x x(t) (见图 4-2), 则
可建立起函数 x(t) 满足的微分方程
d2x dt 2
g
其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
17
第四章微分方程
4､微分方程的初值问题: 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
18
第四章微分方程
Advanced mathematics
高等数学
第四章微分方程
第四章
微分方程
人民邮电出版社
1
第三章
第四章微分方程
内容导航
第一节微分方程的概念第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例
2
课前导读
微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究
F (x,(x),(x),(x), (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.

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1). 将有 a2 x2 , x2 a2 三角代换 : x a sin t, a tan t, a sec t 2). 分母中有x的幂, 令x 1
t
3). 有根式设根式 u,有ex设ex u
第二节换元积分法
例
求
sin 2
dx x cos2
. x
解
原式
sin2 sin
F (x)称为 f (x)的原函数.
原函数的性质:1) F (x)是偶函数 f (x) 是奇函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
2) F (x) 是奇函数 f (x) 是偶函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
第二节换元积分法
求不定积分的方法 1.观察法（即凑微分法）：
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)
2.换元法
例求
例求
解

1 a2
dx 解
1

(
x a
)
2
令u x ,则du 1 d x
a
a

1 a
1 duu
2
1 arctan u C a
dx
a
1

(
x a
)
2

d
(
x a
)
1

(
x a
)
2
第二节换元积分法
例求
解

1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
sec2xdx tan x C
cos xdx sin x C
csc2xdx cot x C
sec x tan xdx sec x C
xdx 1 x1 C
1
csc x cot xdx csc x C
1
axdx ax C ln a
第二节换元积分法
例求解

sin xdx cos x

dcos x cos x
类似

cos x dx sin x
•不定积分: 设F(x) f (x) 则称F(x) C 为 f (x) 的不定积分:
记为 f (x)dx F(x) C
"" 是积分号 " x" 是积分变量
" f (x)dx" 是被积表达式
第一节不定积分的概念及性质
•常பைடு நூலகம்基本积分公式:
sin xdx cos x C

dx arcsin x C arccos x C 1 x2
exdx ex C
1

dx arctan x C arc cot x C 1 x2
第一节不定积分的概念及性质
例
1 dx
1
1
x 2dx 2x2 C 2
x C

1dx x

ln
x
C
x
x
第一节不定积分的概念及性质
•不定积分的性质
1) f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
2) kf (x)dx k f (x)dx
例求
解原式 = [(2e)x 5 2x )dx (2e)x dx 5 2x dx
x
7 x 3dx

3
4
x3
C
4
1 x2
dx

1 x

C
adx ax C
0dx C
x 0时，（ln x)

1
注:
f x dx f x C

f
(x)dx

F(x) C

f
(x)
x
x 0时，ln（ x) 1 1 1
3) F (x)是周期函数 f (x)是周期函数 F(x T ) F(x) f (x T) f (x)
第一节不定积分的概念及性质
4) 设 F(x) f (x) , (x) f (x) 则 [F (x) (x)] f (x) f (x) 0 故 F (x) (x) C 即 F (x) (x) C
1
(
1

1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a

dx xa

dx xa

1 2a

d(x a) xa
d(xxaa)
1
2a
ln
xa
ln
xa
C
1 ln x a C 2a xa
(2e)x 5 2x ln(2e) ln 2
C

2x

ln
ex 2 1

5 ln 2

C
第二节换元积分法
求不定积分
凑微分恒等变形
dsin x cos xdx d cos x sin xdx d ln x 1 dx dx2 2xdx
x
sec2 x 1 tan 2 x
第四章不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f (x)
互逆运算
第四章不定积分
第一节不定积分的概念及性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分积分表的使用
第一节不定积分的概念及性质
•不定积分的概念
原函数： F'(x) f (x) x I
1 sin 2 x cos2 x
1 cos 2x 2 cos2 x
csc2 x 1 cot 2 x
sin 2x 2sin x cos x
1 cos 2x 2sin 2 x
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2sin cos
x cos2 x 2 x cos2 x dx

1 cos2
dx x

dx sin2 x
tan x cot x C
例
求
x4 1 x2 dx.
解原式 x4 11dx 1 x2

(x2 1)dx
1 1 x2dx

1 3
x3

x

arctan
x

C
第二节换元积分法