静电场2—电荷的分布形式

工程电磁场基础
第 3 章 静电场（2） —电荷的分布形式
主讲人：陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2010年3月
2. 电荷的分布形式
• 电荷密度 • 静电场中的导体 • 静电场中的电介质——极化电荷 • 包含材料特性的基本方程 • 媒质交界面条件
• 由于E 是矢量，一般来说，直接求解基本方程通常是 非常困难的。为方便求解，引进位函数，求解位函数 满足的边值问题。下一节专门讨论静电场问题的解。
作业：
（1）习题3.5，并计算导体表面的电荷分布。 它是自由电荷还是极化电荷？ （2）习题3.8，并计算介质内部和表面的极化 电荷分布。 （3）上述二题中的两种电荷在包含材料特性的 基本方程中各是如何体现的？
∇×E = 0
上式是最本质的描述。但不幸的是，极化的机理很复 杂，极化电荷的分布很难确定。
已知的关系：
σ p = Pn
ρp
=
−∆q ∆V
=
−∇ ⋅
P
P = χε0 E
代入散度方程：
∇ ⋅ E = (ρfree + ρp ) / ε0
得：∇ ⋅ E = (ρfree − ∇ ⋅ P) / ε0
整理得：
∇ ⋅ (ε0 E + P) = ρfree
如果重新定义电位移矢量：
D = ε0E + P = ε0 (1+ χ )E = ε E
则散度方程可写为：
∇ ⋅ D = ρfree
ε = (1+ χ )ε0 = εrε0 称为
介电常数，可以通过实验 测定。
过程虽然复杂，但结局看 起来还是不错的。
包含材料特性的基本方程
（1）电介质的极化现象
电介质的分子分为无极 分子和有极分子。在电场 作用下，介质中无极分子 的束缚电荷发生位移，有 极分子的固有电偶极矩的 取向趋于电场方向，这种 现象称为电介质的极化。 每个分子都可以看作是一 个电偶极子 p = qel。
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无极分子
∇⋅D = ρ ∇×E = 0
媒质交界面条件
微分方程只在场量连续的情况下才成立。在不同媒质 分解面上，场量发生突变，微分方程不在成立，需补 充场量的连续性方程（衔接条件）。
媒质交界面条件
∇⋅D = ρ ∇×E = 0
在分界面上应用 ∫S D ⋅ dS = q
− D1n∆S + D2n∆S = σ∆S
∂n
=σ
ÍÎ
D2n − D1n = σ
在介质分界面上，电位通常是连续的，而电位的导数 一般是不连续的。
在导体表面上， Dn = σ ÍÎ −ε ∂ϕ = σ
∂n
电位的衔接条件
n为外法线方向。
• 此前直接求解的例子中，通过选择合适的坐标系， 电场只有某个方向的分量，电场的变化只与某个坐 标有关，这样的问题属于本质上的一维问题。其解 通常也可由高斯定理来获得，而且往往更简便。但 是基于微分方程的方法具有更强大的适用能力，宜 作为重点要求，并有意识地训练。
D2n − D1n = σ n ⋅ (D2 − D1) = σ
在分界面上应用 v∫l E ⋅ dl = 0
− E1t ∆ l1 + E 2 t ∆ l1 = 0
E2t = E1t n × (E2 − E1) = 0
看看微分方程：散度与纵向变化率 ∇ ⋅ D = ρ ∇ × E = 0
设空间电荷密度ρ ，不失一般性，设 D 只有 x 分量，D = Dex 。
dq R
教材式 (3.8)多余
∇×E =0 ∇⋅D = ρ
基本方程
∇2ϕ = −ρ / ε0
泊松方程
电荷的实际存在形式
• 迄今为止讨论的都是真空中位置固定的电荷所产 生的场，这些讨论当然是有理论意义的。但在实 际工程中，我们几乎不会遇到像泊松方程所暗示 的那样已知电荷分布求电场的例子。电荷在哪 里？Where is it ?
电荷密度
体电荷 ρ(r) = lim ∆q
∆V →0 ∆V
面电荷
σ (r) = lim ∆q
∆S →0 ∆S
r = (x, y, z)
线电荷 τ (r) = lim ∆q
∆l→0 ∆l
总电荷 q = ∫V ρdV = ∫S σ dS = ∫lτ dl
电荷元 dq ↔ ρdV ↔ σ dS ↔ τ dl
∫ ∫ ∫ 体积的电荷量为 ∆q =
S P ⋅ endS =
P ⋅dS = ∇ ⋅ PdV
S
∆V
∫ 体积元内部剩余电荷量为 −∆q = − ∇ ⋅ PdV = −∇ ⋅ P∆V 。 ∆V
由此可得极化电荷的体密度：
ρp
= −∆q ∆V
= −∇ ⋅ P
结论：介质中由于分子极化产生的内部极化电荷 ρp 和
结论：引入参数 ε 后，静电场基本方程中的电荷就
只保留了自由电荷，而极化电荷的效应被 ε 和重新
定义的电位移矢量 D 所包含。这样，通过引入参数
ε，回避了对复杂的极化过程微观机理的建模与处
理，成功绕过了极化电荷的计算困难，大大简化了 电磁场的分析。
应该指出，ε 可能不是常数，它甚至可能不是一个
数。例如对于各向异性材料，它是一个张量。
=
E2
=
σ1 ε1
ex
=
ε1S1
q0
+ ε2S2
ex
电位函数的媒质交界面条件
∫ ϕ2
− ϕ1
=
lim
1→2
1
E ⋅ dl = 0
2
ϕ1 = ϕ2 ÍÎ E2t = E1t
电位的衔接条件
∵
D1n
=
ε 1E1n
=
−ε 1
∂ϕ 1
∂n
,
D2n
=
ε 2 E2n
=
−ε 2
∂ϕ 2
∂n
ε1
∂ϕ1
∂n
−ε2
∂ϕ2
散度方程成为
dD dx
=
ρ
，或 ∆D
=
D2
− D1
=
ρ∆ x
。
结论：散度是纵向求导，表征了矢量的纵向变化率。
D
=
⎧⎨⎩eexx
ρ ρ
x a
/
(0 2
≤x≤a (x > a/
/ 2) 2)
散度与纵向变化率
∆D = D2 − D1 = ρ∆x
当1、2两点无限靠近，∆x → 0 。此时，如果ρ为有限值，则 D2 - D1 = 0；如果 ρ → ∞ ，出现面电荷σ ，则有D2 - D1 = σ 。 结论：无论是否跨过媒质分界面，衔接条件总是成立。它
静电场中的导体
以下事实是我们熟知的：
• 静电场中的导体处于电平衡状态；
∫ Econd
=
1
4πε 0
σ dS′eR
S′ R2
• 导体内部电场 E ＝0，导体是等位体，
表面为等位面；
• 导体外部，电力线垂直于导体表面； • 导体内部净电荷密度处处为0；
• 导体表面具有面电荷密度σ。
这个σ 就是要找的电场的源，它对任意一点 (无论导体内外)
• 电荷总是要占据一定的体积，因此体电荷密度可认为是 一般的情形，而面电荷、线电荷与点电荷都是体电荷在 特定条件下的近似模型。三种电荷密度通常不会共存。
dq ↔ ρdV ↔ σ dS ↔ τ dl
• 库仑定律中的电荷元dq可以具有不同的形式：
∫ E = 1 eRdq
4πε0 R2
ϕ
=
1
4πε 0
∫
E2t = E1t
n × (E2 − E1) = 0
D = ε E ，ρ 和σ 都是自由电荷。
交界面条件： D2n − D1n = σ E2t = E1t
• n的方向：由1指向2 • σ为自由面电荷（宏观净电荷）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 静电场中，导体内部电场为0
• 导体表面的电荷分布
导体与电介质分界面
Dn = σ , Et = 0
电场的贡献可用库仑定律进行计算。导体内部场强为0，它 是这些表面电荷以及导体外的所有电荷共同作用的结果。
结论：电荷是产生电场的源；导体对电场的贡
献在于它提供了可以自由移动的电荷（同时通过 其表面形状约束了电荷可能的分布）。
σ 的计算放在后文讨论。
由于导体表面是一个等位面，导体常用来给电场 造型。
静电场中的电介质
写成更一般的形式：σ p = Pn = P ⋅ en (en 指向表面外法向)
（4）非均匀极化下的极化电荷
非均匀极化时，表面和内部都会出现净的极化电荷。
在介质表面，取一块小的面积，局部可认为均匀极化，从
而上述分析仍然有效，表面极化电荷面密度为 σ p = Pn 。
在介质内部，任取一小的体积元 ∆V，通过其表面移出该
实质上是差分形式的基本方程。
D
=
⎧⎨⎩eexx
ρ ρ
x a
/
(0 2
≤x≤a (x > a/
/ 2) 2)
基本方程的三种形式
• 积分形式 • 微分形式
∫S D ⋅ dS = q
∇⋅D = ρ
v∫l E ⋅ dl = 0
∇×E = 0
• 差分形式 D2n − D1n = σ n ⋅ (D2 − D1) = σ
取厚度为 l 的表面薄层，设面积 为A，其体积为 V = A⋅l 。所含有 的分子数 N = n ⋅V = n ⋅ A⋅l。这些 分子都有电荷移出，故电荷总量 为 q = qe N = nqe Al 。因此极化电荷面密度为