甘肃省学业水平测试题

永昌县第一高级中学数学学业水平测试卷一、选择题（每小题4分，共40分） 1.已知集合{}1,2A =,{}1,0,1B =-,则A B 等于（） A.{}1 B.{}1,0,2- C.{}1,0,1,2- D.∅2.cos120︒的值是（）A.2-B.12-C.12D.2 3.不等式2230x x --<的解集是（） A.()3,1- B.()1,3- C.()(),13,-∞-+∞ D.()(),31,-∞-+∞4.已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=,若12//l l ,则a 的值为（）A.8B.2C.12- D.2-5.函数sin 2y x =是（）A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数 6.在等比数列{}n a 中,若362459,27a a a a a ==,则2a 的值为（）A.2B.3C.4D.97.如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（）A.1B.53 C.2D.38.已知某几何体的三视图如图1所示,其中俯视图 是腰长为2的等腰梯形,则该几何体的体积为（）A.C.9.已知向量=a ()1,n ,=b (),1n ,其中1n ≠±,则下列结论中正确的是（）A.()()//-+a b a b B.()//+a b bC.D.()+⊥a b b 10.已知函数()1f x =,则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<,都有（）A.B. C.D.二、填空题（每小题4分，共20分） 11.函数()ln21y x =-的定义域是.12.在空间直角坐标系Oxyz 中,点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为.13.某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n =. 14.已知函数1(0xy a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A .若点A 在直线上,则12m n+的最小值为. 15．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，12,A 的12名篮()()1221x f x x f x <()112x f x x >()()-⊥+a b a b ()122x f x x >正视图侧视图 俯视图()()1122x f x x f x <球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表: （2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和大于25的概率. 17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.18．（8分）如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E ,使得//DE 平面PAC ？若存在,指出点E 的位置,并加以证明；若不存在,请说明理由; （2）求证：PA BC ⊥. 19.（8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=,424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12111n nT S S S =+++，求证：34nT <. 20.（10分）已知113a ≤≤,若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解,求实数t 的取值范围.附加题（10分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2,直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠,过点(),0A t 作圆C 的切线,切点为B ，记1d AB =,点三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1)解:频率分布表: ………4分 (2)解:得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A ,{}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种.………7分121d d -“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种.………10分所以()80.810P B ==. 答:从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于25的概率为0.8.………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==．………2分由正弦定理得：sin sin a bA B=，………4分∴2sin 3sin 39b A B a===.………6分（2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，∴222123b c a bc +-=.………8分∴222231223c c +-=⨯， 解得3c =.………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分． （1）解：在线段AB 上存在点E ,使得//DE 平面PAC ,点E 是线段AB 的中点.…2分下面证明//DE 平面PAC :取线段AB 的中点E ,连接DE ，………3分 ∵点D 是线段PB 的中点，∴DE 是△PAB 的中位线.………4分 ∴//DE PA .………6分 ∵PA ⊂平面PAC ，DE⊄平面PAC ，∴//DE 平面PAC .………8分 （2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===, ∴222AB BC AC =+. ∴AC BC ⊥.………10分∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABCAC =，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面PAC .………12分 ∵PA ⊂平面PAC ， ∴PA BC ⊥.………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． （1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,∵1310a a +=,424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩………2分 解得13a =,2d =.………4分∴()32121n a n n =+⨯-=+.………6分（2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+，………8分 ∴12111n nT S S S =+++………10分=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭………12分34<.………14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解:设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l的距离d ==………2分 ∵MN =2,∴2=.………3分 ∴2= (4)分解得r =………5分∴所求的圆C的方程为()()22123x y -+-=.………6分(2)解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====.………8分 又点(),0A t到直线l的距离2d ==.………9分∴121d d -()2121t t -+==-.………10分 令m=，则1t -=11分∵1t ≠，∴1m >.∴121d d -2121m m -=-121m m -=+2211m =-+.………12分 ∵1m >,∴12m+>.∴2011m <<+. ∴20111m <-<+.………13分∴0<211m -+<∴121d d -的取值范围是(.………14分 20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1)解:()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.………1分∵113a ≤≤, ∴113a≤≤.① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时,则3x =时,函数()f x 取得最大值;1x a=时,函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=196a a+-.………3分② 当123a <≤,即1132a ≤<时,则1x =时,函数()f x 取得最大值;1x a=时,函数()f x 取得最小值. ∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=12a a+-.………5分 综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分 （2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ()()1212121a a a a a a --=.………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12ga g a >.∴函数()ga 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减.………8分任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()34343491a a a a a a --=.………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->.∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34ga g a <.∴函数()ga 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.………10分 当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12,………11分 又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43,()1g =4. ∴函数()ga 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域．………13分∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………14分。