2015-2016学年青海省西宁市第十四中学高二上学期期中考试数学试题

2015-2016学年青海省西宁市第十四中学高二上学期期中考试数学试题一、选择题（每题4分,共40分）1．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交2．设正方体的棱长为3，则它的外接球的表面积为 （ ）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π343．过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）．A ．210x y --=B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y +-=4．已知,m n 为直线，α为平面，下列结论正确的是（ ） A ．m n n m αα⊥⊂⊥若,，则 B ．//m m n n αα⊥⊥若,，则C ．//////m n m n αα若,,则D ．//m n m n αα⊥⊥若,,则5．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为（ ）A．15 C．126．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为（ ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π487．已知直线3430x y +-=6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ ）A.1B.2C.12D.4 8．已知直线1l经过)4,3(-A ，)1,8(--B 两点，直线2l倾斜角为︒135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直9．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是（ ） （A （B ） （C ）（D ）10．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ） A B ． D 二、填空题（每题4分,共16分）11．直线l 的斜率)(12R x x k ∈+=，则直线l 的倾斜角α的范围为 ． 12．已知直线m ，l 和平面αβ，，且,l m αβ⊥⊂，给出下列四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于________.14．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线DD 1异面；ABCD1A 1B 1C 1D MN③直线AM 与直线BN 平行； ④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．三、解答题15(10分)．求经过点(2,2)A -并且和x 轴的正半轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积 是1的直线方程.16(10分)．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y 2=0,且与它的距离是1的直线方程； （2）求垂直于直线x+3y 5=0且与点P( 1,0)的直线方程.17(12分)．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦值．18(12分)．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF=1，（1）求证：BD ⊥平面AED ；PBECDFA（2）求B到平面FDC的距离．参考答案1．D【解析】试题分析：因为a，b是异面直线，直线c∥a，可知c与b的位置关系是异面或相交，故选择D考点：异面直线2．C【解析】23=，故可得外接球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯⨯=，故选择C考点：正方体的外接球以及球的表面积公式3．A【解析】试题分析：因为所求直线与直线220x y--=平行，所以设所求直线为20x y m-+=，又过点()1,0，代入求出1m=-，所以所求直线为210x y--=，故选A。

考点：两直线的平行4．D【解析】试题分析：若α⊂⊥nnm,，那么α⊂m或m与α相交，A错；若α//,mnm⊥，那么α⊂n或α//n或m与α相交，B错；若αα//,//nm，那么m与n可以是共面，也可能是异面，C错；．考点：空间中直线、平面的位置关系．5．B【解析】试题分析：连接1AD，易证得1AD∥1BC，所以1D AC∠或其补角即为异面直线1BC与AC所成角．由题意可得在1D AC∆中11AC DC AD===所以22211111cos25AC AD D CD ACAC AD+-∠===⋅．故B正确．考点：异面直线所成的角． 6．B【解析】试题分析：由三视图可得该几何体为一个圆锥，底面半径为3，母线长为5，所以侧面展开图面积为165152ππ⨯⨯=，底面积为239ππ=，所以其表面积为15924πππ+=，故选择B考点：1．三视图；2．几何体表面积公式 7．B【解析】试题分析：将直线方程3430x y +-=化为：6860x y +-=与6140x my ++=平行，所以8m =，所以所求两条平行直线间的距离为：2==，故答案为B. 考点：1.两条直线平行；2.两条平行直线间的距离. 8．A【解析】试题分析：因为直线1l 经过)4,3(-A ，)1,8(--B 两点，所以直线1l 的斜率()()141138k --==---；因为直线2l 倾斜角为︒135，所以直线2l 的斜率为2tan1351k =︒=-，所以121k k ⋅=-所以12l l ⊥，故选A． 考点：两直线垂直的证明 9．C【解析】试题分析：由点到直线的距离公式求得，点()2,1A 及直线30x y ++=的距离是d ==AP考点：点到直线的距离 10．D 【解析】试题分析：如图所示，取BD 中点O ，连接CO,MO ，由已知条件BC=CD=1，所以BD ⊥CO ，由平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD=BD ，所以CO ⊥平面ABD ，则∠CMO 即为直线CM 与平面ABD 所成的角，由AB ⊥AD ，所以BC ⊥CD ，所以CO=12BD=2，MO=12AD=12，所以在Rt ∆COM 中，tanCOCMOMO∠==所以sin3CMO∠=．考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．11．)2,4[ππ【解析】试题分析：因为)(12Rxxk∈+=，所以1k≥，即tan1α≥，又[)0,απ∈，所以直线l的倾斜角α的范围为)2,4[ππ．考点：1．直线的倾斜角与斜率关系；2．正切函数；12．①③【解析】试题分析：在①中由,lα⊥//αβ得lβ⊥,又mβ⊂,故l m⊥;在②中m可在平面β内任意转动,故l与m关系不确定;在③中,由//l m,lα⊥得mα⊥,又因为mβ⊂,故αβ⊥;在④中,平面β可绕m转动,故α与β关系不确定.考点：空间直线与平面的位置关系.13．-1【解析】因为两条直线垂直,所以a(a+2)=-1,即a2+2a+1=0,所以a=-1.14．②④【解析】试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM与直线C1C异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行,（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面．考点：异面直线判定定理15．直线方程为:220l x y+-=【解析】试题分析：先根据已知设直线方程为:2(2)l y k x-=+，又因为OMDBA122)1,(22)(12k S k k ∆+=+-=所以，解得：2k =-（舍去），12k =-，所以直线方程为:220l x y +-=.试题解析：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为:2(2)l y k x -=+， 即22y kx k =++ 2分 令220,22,0,k x y k y x k+==+==-得令得 6分 由22220,010k k k k++>->-<<，得： 8分 因为122)1,(22)(12k S k k ∆+=+-=所以，解得：12,2k k =-=- 10分 因为110,2k -<<所以，k=- 11分所以直线方程为:220l x y +-= 12分考点：直线方程、三角形面积公式. 16．（1）3x+4y+3=0或3x+4y 7=0 (2) 3x y+9=0或3x y 3=0 【解析】 试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解. 试题解析：解：（1）设所求直线上任意一点P （x ，y ），由题意可得点P 到直线的距离等于1，即|342|15x y d +-==，∴3x+4y 2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y 7=0．（2）所求直线方程为30x y c -+=，由题意可得点P ，即d ==，∴9c =或3c =-，即3x y+9=0或3x y 3=0． 考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系 17．（1）证明：见解析；（2 【解析】 试题分析：（1）首先可得ABC △为正三角形．根据E 为BC 的中点，得到AE BC ⊥．进一步有AE AD ⊥．由PA ⊥平面ABCD ，证得PA AE ⊥．AE ⊥平面PAD ．即得AE PD ⊥．（2）思路一：利用几何方法.遵循“一作，二证，三计算”，过E 作EO AC ⊥于O，有EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，即得ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===思路二：利用“向量法”：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面AEF 的一法向量及BD为平面AFC 的一法向量．计算cos 5BD BD BD <>===，m m m ． 试题解析：（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC △为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ， 所以AE⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． （7分）（2）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==3cos302AO AE == ，又F是PC的中点，在Rt ASO△中，sin454SO AO==，又SE===，在Rt ESO△中，cosSOESOSE∠===，．（14分）解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)12AE AF⎫==⎪⎪⎝⎭，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PA AC A=，所以BD⊥平面AFC，B第21页 共16页 ◎ 第22页 共16页故BD 为平面AFC 的一法向量． 又(0)BD = ，， 所以cos BD BD BD ⋅<>===⋅ ，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角， ． 考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法. 18．（1）证明详见解析；（2）23=h . 【解析】 试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰梯形中，通过角的转化，得到090ADB ∠=，即AD DB ⊥，再利用线面垂直的判定证明BD ⊥平面AED ；第二问，设出点B 到平面FDC 的距离，利用等体积转化法将F CDB V -转化为B FDC V -，利用锥体的体积公式计算，解方程求出h. 试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，060=∠DAB ,0120=∠∴DCB 0090301=∠∴=∠∴==ADB CDB CD CB ,即AD BD ⊥ AED BD A AE AD AE BD 平面⊥∴=⊥ , （2）令点B 到平面FDC 的距离为h 则h S FC S V V FDC CDB FDC B CDB F ⋅⋅=⋅⋅∴=∆∆--3131, 21,43==∆∆FDC CDB S S ，解得23=h 考点：线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式.。