广东历年高考数学真题
2024年广东省高考数学真题及参考答案
2024年广东省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
广东高考数学试题及答案2024
广东高考数学试题及答案2024一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的最小值是\( m \)，则\( m \)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知直线\( l_1 \)的方程为\( y = 2x + 1 \)，直线\( l_2 \)的方程为\( y = -x + 3 \)，则这两条直线的交点坐标为：A. (1, 3)B. (2, 3)C. (1, 2)D. (2, 1)答案：A3. 若复数\( z = 1 + i \)，求\( z^2 \)的实部与虚部的和：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 3 \)，求第10项\( a_{10} \)的值：A. 29B. 30C. 31D. 32答案：B5. 若三角形\( ABC \)的内角\( A \)，\( B \)，\( C \)满足\( A +B = 2C \)，且\( \cos C = \frac{1}{2} \)，则\( \sin A \)的值为：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)D. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)答案：D6. 已知函数\( y = \ln(x+1) \)在点\( (0,0) \)处的切线斜率为：A. 1B. 0C. \( \frac{1}{e} \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：A7. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，\( \theta \)为锐角，则\( \cos 2\theta \)的值为：A. \( \frac{7}{25} \)B. \( \frac{24}{25} \)C. \( \frac{16}{25} \)D. \( \frac{9}{25} \)答案：B8. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的离心率为\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)，且\( a = 4 \)，则\( b \)的值为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东数学高考试题及答案
广东数学高考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标。
A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A3. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B4. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求第四项。
A. 11B. 10C. 9D. 8答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的前两项分别为3和9，求第三项。
答案：276. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求g(2)的值。
答案：17. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
答案：148. 已知三角形ABC，其中角A = 60°，角B = 45°，求角C的度数。
答案：75°三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求h(x)的导数h'(x)。
答案：h'(x) = 3x^2 - 6x10. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。
答案：x = 1/2 或 x = 211. 已知平面直角坐标系中点P(1, 2)，点Q(-3, -4)，求线段PQ的中点坐标。
答案：(-1, -1)12. 已知一个正方形的对角线长度为10，求正方形的边长。
答案：5√213. 已知一个等腰三角形的底边长为6，两腰长均为8，求三角形的高。
答案：4√314. 已知一个圆的面积为9π，求圆的半径。
答案：3。
广东省历年高考理科数学试卷及答案（07年—12年）
2007年（广东卷）数学（理科B ）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．是锥体的高．如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式，1221ˆni i i n ii x y nx ybxnx==-×=-åå，ˆay bx =-. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数1()1f x x=--的定义域M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．Æ2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-ÎR ，则()f x 是（是（） A ．最小正周期为π2的奇函数的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数1 2 3 60 80 100 120 140 160 t (h) s (km)1 2 3 60 80 100 120 140 160 t (h) s (km) 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t (h) s (km) 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t (h)s (km) A ． B ． C ． D ． 0 0 0 0 依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，但调整只能在相邻维修点之间进行，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，那么要完成上述调整，那么要完成上述调整，最少最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（）为（ ） Ａ．15 Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S Î，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S Î，，有()**a b a b =，则对任意的a b S Î，，下列等式中不恒成立的是（，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a =B ．[()]()****a b a a b a =C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出A DCB图3 图1 图2 开始开始输入1210A A A ，，， 04s i == i s s A =+s 输出结束结束 1i i =+否是50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 人数/人身高/cm 一个球，则取出的两球是红球的概率为一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示）（答案用分数表示）10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +ab = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）的解析式表示）13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+ìí=-î（参数t ÎR ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y qq =ìí=+î（参数[)02q Îp ，），则圆C 的圆心坐标为标为 ，圆心到直线l 的距离为的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是的取值范围是． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点DE ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值；的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（吨标准煤）的几组对照数据．x3 4 5 6 y2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx a=+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5´+´+´+´=）图5 ABCDE Ol图4 18．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x=相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰ABC △的底边66AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．的体积． （1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．取值范围．21．（14分）分）已知函数2()1f x x x =+-，a b ，是方程()0f x =的两个根（a b >），()f x ¢是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()nn nn f a a a n f a +=-=¢ ，，． （1）求a b ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a a >； （3）记ln(12)n nn a b n a b a-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6FPACBED2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案一．选择题一．选择题 CDDC BBCA 1．101110x x x ->ìÞ-<<í+>î 故选（C ） 2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b Þ=，故选（D ） 3．22111()sin (12sin )cos 2222f x x x x =-=--=- 故选（D ）4．60(01)60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ££ìï=<£íï-+<£î，故选（C ） 5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-Þ=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D ®11件，B C ®4件，B A ®1件，共16件，故选（C ）8．()a b a b **= \当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=； ()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ） 二．填空题二．填空题9．411()()()669P AB P A P B ==×= 10．2cos12012×+×+=a ab a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为152(1)(,0)24y x F -=--ÞÞ准线方程54x =-12．21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---×=13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为22(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)，圆心到直线的距离为26222d -==14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -£Þ£-Þ-££三．解答题三．解答题16．（1）当5c =时，5255,5,25cos sin 55AB BC AC A A ===ÞÐ=ÞÐ=（2）2(3)16,AC c BC c =-+=,A 为钝角222AB AC AB +<Þ2225(3)16c c +-+<253c \>17．（1）（略）（略）（2）97,22x y == ，4166.5i i i x y ==å，42186i i x ==å，414221466.5630.786814i i i i i x y x y b x x==--===--åå0.35a y bx=-= ，故现线性回归方程为0.70.35y x =+ （3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。
近十年 广东高考文科数学试卷以及答案分析
近十年广东高考文科数学试卷以及答案分析2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a=（3，1），b=（x，–3），且，则x=A．－3 B．－1 C．1 D．（）2．已知则（）A．C．．．．设函数在x=2处连续,则a=A．4．（）1 2B．．11 D．43（）的值为C．A．－1 B．0 1 2D．1（）5．函数f(x)f（x）是（（A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．.周期为的奇函数6．一台X型号自动机床在一小时（）A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）A．2 322B．74 C．65D．5 6（）（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= 8．若双曲线A．6 B．8 C．1 D．4cos2x9．当时,函数的最小值是（）A．4B．1 C．2 2D．1 4110．变量x、y满足下列条件：则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是A．( 4.5 ,3 ) B．( 3,6 ) C．( 9, 2 )11．若f（x）则（（）D．( 6, 4 ) （）4A．f（）>f(0)>f(1)C．f（1）>f(0)>f(-1) B．f（0）>f(1)>f(-1) D．f（0）>f(-1)>f(1)12．如右下图,定圆半径为( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线x–y+1=0的交点在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是(用分数作答)214．已知复数z与(z +2)-8i 均是纯虚数,则z = .15．由图(1)有面积关系，则由(2) 有体积关系图(1)图(2)16．函数f（x））（的反函数f三、解答题(共6小题,74分17．(12分)已知，，成公比为2的等比数列，），且，，也成等比数列. 求，，的值.2D18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.A19．(12分)设函数f（x）且EB= C1，(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;(2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).20．(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)321．(12分)设函数f（x）（），(1) 当m为何值时,f（x）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 其中常数m为整数. 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.222．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，D三等分线段AB．求直线的方程.4 、C2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案二、填空题：（13）（14）－三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列即解得或12当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，当时或所以或33333318．解：（I）以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有其中222取则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量与平面CDE垂直,与AA1所成的角为二面角的平面角0122563（II）设EC1与FD1所成角为β，则．证明：（I）故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和即故即（II）0<x<1时，曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：即∴切线与x轴、y轴正向的交点为x0和故所求三角形面积听表达式为：20．解：如图，yPACoBx以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340³4=1360 22x由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，上，6故双曲线方程为x2用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,即故答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心680m处. 021．（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且令f’得’当x∈(-m,1-m)时,f （x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)’当x∈(1-m, +∞)时,f （x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数.当整数时与异号,由所给定理知，存在唯一的使而当整数m>1时，上述不等式也可用数学归纳法证明类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的使故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。
广东历年高考文科数学试题及答案汇编十数列
广东历年高考文科数学试题及答案汇编十数列试题1、4．（5分）（2008广东）记等差数列的前n项和为S n，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．72、5．（5分）（2009广东）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．23、4．（5分）（2010广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．294、1．（5分）（2011广东）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= ．5、12．（5分）（2012广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5= ．6、11．（5分）（2013广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= ．7、13．（5分）（2014广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= ．8、13．（5分）（2015广东）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则 b= ．解答题1、21．（14分）（2008广东）设数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n=（a n﹣1+2a n﹣2）（n=3，4，…）．数列{b n}满足b1=1，b n（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有﹣1≤b m+b m+1+…+b m+k≤1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=na n b n（n=1，2，…），求数列{c n}的前n项和S n．2、20．（14分）（2009广东）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=（n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}前n项和为T n，问满足T n＞的最小正整数n是多少？3、21．（14分）（2010广东）已知曲线C n：y=nx2，点P n（x n，y n）（x n＞0，y n＞0）是曲线C n上的点（n=1，2，…），（1）试写出曲线C n在P n点处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；（2）若原点O（0，0）到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点的坐标P n（x n，y n）4、20．（14分）（2011广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．5、19．（14分）（2012广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．6、19．（14分）（2013广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．7、19．（14分）（2014广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n ﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．8、19．（14分）（2015广东）设数列 {a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．答案1、解：由2a1+d=4且4a1+6d=20；解得d=3故选B2、解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．3、解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．4、解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：25、解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．6、解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．7、解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．8、解：∵三个正数 a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．解答题1、解：（1）由得（n≥3）又a2﹣a1=1≠0，∴数列{a n+1﹣a n}是首项为1公比为的等比数列，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（a n﹣a n﹣1）==，当n为奇数时当n为偶数时由得b2=﹣1，由得b3=1，同理可得当n为偶数时，b n=﹣1；当n为奇数时，b n=1；因此．（2）S n=c1+c2+c3+c4+…+c n当n为奇数时，=当n为偶数时=令①①×得：②①﹣②得：=∴当n为奇数时当n为偶数时因此2、解：（Ⅰ）∵f（1）=a=∴f（x）=（）x，∴a1=f（1）﹣c=﹣c，∴a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=又数列{a n}成等比数列，=﹣，∵a1=﹣c∴﹣=﹣c，∴c=1又公比q==所以a n=（）n﹣1=﹣（）n，n∈N；∵S n﹣S n﹣1=（+）（﹣）=（n≥2）又b n＞0，＞0，∴=1；∴数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，S n=n2当n≥2，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1；又b1=c=1适合上式，∴b n=2n﹣1（n∈N）；（Ⅱ）T n=++…+==（1﹣）+（﹣）+（）+…+=（1﹣）=由＞，得n＞满足的最小正整数为84．3、解：（1）∵y′=2nx，∴k=2nx n，切线l m的方程：y﹣y n=2nx n（x﹣x n），令x=0得y=﹣2nx n2+y n=﹣nx n2，即Q n（0，﹣nx n2）．（2）切线方程可写成：2nx n x﹣y﹣2nx n2+y n=0．，=．当且仅当，即时，取等号，此时y n=nx n2，点P的坐标为．4、解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，5、解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得 a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2（a n+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．6、解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴7、解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．（2）由得：．∵a n＞0（n∈N*），∴S n＞0．∴．∴当n≥2时，，又∵a1=2=2×1，∴．（3）由（2）可知=，∀n∈N*，=＜=（），当n=1时，显然有=＜；当n≥2时，＜+=﹣•＜所以，对一切正整数n，有．8、（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．。
广东高考理科数学近近7年(2007-2013)试题分类汇编——立体几何
10.立体几何(2007年高考广东卷第12小题)如果一个凸多面体是n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有()f n 对异面直线,则(4)f =()f n = (答案用数字或n 的解析式表示)【解释】21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---⋅= (2007年高考广东卷第19小题)如图6所示,等腰ABC ∆的底边AB =高3CD =,点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点.点F 在边BC 上,且EF AB ⊥.现沿EF 将BEF ∆ 折起到PEF ∆的位置，使PE AE ⊥。
记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积(1)求()V x 的表达式；(2)当x 为何值时，()V x 取得最大值？(3) 当()V x取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值.解：（1）,,EF AB PE EF ⊥∴⊥又,PE AE AEEF E ⊥=， PE ∴⊥平面ACFE 且PE x =，ACDBEF EF x x ∆∆∴==，四棱锥P ACFE -的底面积为22)s x x ==-，1()3V x s PE ∴=⋅231))3xx x x =-=-(0x <<（2）'2())V x x =-，(0,6)x ∈时'()0V x >，x ∈时'()0V x <，()V x 在(0,6)上增，在上减，故()V x 在6x =时，取最大值为（3）过F 作FG AC 交AB 于G ，则PFG ∠是直线AC 与PF 所成角且FGB∆图6AB是等腰三角形，由（2）知6,EF FG FB EG EB PG PF =∴======在2224242721cos 2847PF FG PG PFG PFG PF FG ∆+-+-∠===⋅，所以异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17(2008年高考广东卷第5小题)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. (2008年高考广东卷第20小题)如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面A B C D，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．【解析】（1）在Rt BAD ∆中，60ABD ∠=，,AB R AD ∴== 而PD 垂直底面ABCD ，PA ===PB ===,在PAB ∆中，222PA AB PB +=,即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。
广东历年高考数学真题
10． x x
7
2
4
的展开式中， x 的系数是 ____________________________ ( 用数字作答 )。
x
11．等差数列 an 前 9 项的和等于前 4 项和。若 a1 1 ， ak a 4 0 ，则 k =________ 。
4q
0 ，x 1, x2
是方程 x 2 px q 0 的两根，记 ( p,q)= max x1 , x2 。
(1) 过点
1 A( p0 , 4
p02 )( p0
有 ( p, q) | p0 | ； 2
0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B 。证明：对线段
AB 上的任一点 Q ( p, q) ，
(2) 设 M (a,b) 是 定点 ，其 中 a, b 满 足 a2 4b 0, a 0。 过 M (a,b) 作 L 的 两条 切线 l1, l 2 ， 切 点 分 别为
编号
1
2 345
x
169 178 166 175 180
y
75 80 77 70 81
(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；
(2) 当产品中微量元素 x, y 满足 x 175 且 y 75 时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品
的数量；
(3) 从乙厂抽取的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列及其均值 (即数学期
半径为 2。设圆 C 的半径为 r ，若圆 C 与圆 F1 内切，与圆 F 2 外切，则有 CF1 r 2 ， CF2 r 2，
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i +1 B ．1i - C ．i 22+ D ．i 22-2．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B I 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．若向量a r ，b r ，c r ，满足//a b r r 且a b ⊥r r ，则(2)c a b +r r rg=( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ．04．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()12，，则OA OM z •=的最大值为( )A ．24B ．23C ．4D ．36．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．21 B ．53 C ．32 D ．43 7．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A ．36 B ．39 C ．312 D ．318 8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,，有S ab ∈， 则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的 非空子集，T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是( )A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法是封闭的(特例法：例1：若T =自然数集，V =负整数集，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T 封闭，V 不封闭，排除D ；例2：若{}1,0,1T =-，{},3,2,2,3,V =--L L ，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T ，V 都封闭，排除,B C 。
故选A ) 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一)必做题(9～13题)9．不等式031≥--+x x 的解集是_______________________。
10．72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 的展开式中，4x 的系数是____________________________ (用数字作答)。
11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项和。
若11=a ，04=+a a k ，则k =________。
12．函数13)(23+-=x x x f 在x = 处取得极小值。
13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm 。
因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 。
(二)选做题(14-15小题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245(t R ∈)， 它们的交点坐标为 。
15．(几何证明选讲选做题)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B 且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB = 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(12分) 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=631sin 2)(πx x f ，R x ∈。
(1)求⎪⎭⎫⎝⎛45πf 的值；(2)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，131023=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf ，()5623=+πβf ，求()βα+cos 的值。
17．(13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量(单位：毫克)。
下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中微量元素,x y 满足175≥x 且75≥y 时，该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)。
18．(13分)如下图，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=o，2==PD PA ，2PB =，,E F 分别是,BC PC 的中点。
(1)证明：AD ⊥平面DEF ；(2)求二面角P AD B --的余弦值。
19．(14分)设圆C 与两圆()4522=++y x ，()4522=+-y x 中的一个内切，另一个外切。
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点354555M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，()0,5F，且P 为L 上动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标。
20．(本小题满分14分)设0b >，数列{}n a 满足1a b =，2211-+=--n a nba a n n n (2≥n )。
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，12211+≤++n n n b a 。
21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =。
实数p q 、满足042≥-q p ，21,x x 是方程02=+-q px x 的两根，记{}12(,)=max ,p q x x ϕ。
(1)过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B 。
证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ， 有0||(,)2p p q ϕ=；(2)设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠。
过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '。
线段EF 上异于两端点的点集记为X ， 证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；(3)设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值(记为min ϕ)和最大值(记为max ϕ)。
2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：9．[1,)+∞；10．三、解答题：16．解：(1)51522sin 2sin 2243464f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
(2)11032sin 32sin 232613f πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴5sin 13α=，()()1632=2sin 32=2sin +2cos 3625f ππβπβπββ⎡⎤⎛⎫++-== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，3cos 5β=，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，∴22512cos 1sin 11313αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2234sin 1cos 155ββ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴()1235416cos =cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+-=⨯-⨯=。
17．解：(1)乙厂生产的产品数量5=98=3514⨯(件)。
(2)由上表知在抽取的5件乙厂的产品中，编号为2和5是优等品，所以优等品所占的比例为25，所以可估计乙厂生产的优等品的数量2=35=145⨯(件)。
(3)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ===，22251(2)10C P C ξ===∴ξ的分布列为 ξ的均值为3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=。
18．(1)证明：如下图，设M 为AD 的中点，连结,,PM BM BD ，∵PA PD =，∴AD PM ⊥，∵60DAB ∠=o ，AB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴AD BM ⊥，∵PM BM ⊂、平面PBM ，=PM BM M I ，∴AD ⊥平面PBM 。
∵E 分别是BC 的中点，∴//MD BE ，且=MD BE ，∴BEDM 是平行四边形，∴//BM DE ，∵BM ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴//BM 平面DEF 。
∵E,F 分别是,BC PC 的中点，∴EF 是的PBC ∆中位线，//EF PB ，∵PB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴//PB 平面DEF ，∵BM PB ⊂、平面PBM ，BM PB B =I ，∴平面//PBM 平面DEF ，∴AD ⊥平面DEF(2)由(1)知AD PM ⊥，AD BM ⊥，∴PMB ∠是二面角P AD B --的平面角。
在PMB ∆中，()222217=22PM PA AM ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，222213=12BM AB AM ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∴2227342144cos 2732PM BM PB PMB PM BM +-+-∠===-⋅⨯⨯。
19．解：(1)圆()4522=++y x 的圆心为1(5,0)F -，半径为2，圆()4522=+-y x 的圆心为2(5,0)F ，半径为2。
设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1F 内切，与圆2F 外切，则有12CF r =-，22CF r =+，∴214CF CF -=；若圆C 与圆1F 外切，与圆2F 内切，则有1+2CF r =，22CF r =-，∴124CF CF -=；综上可得214CF CF -=，∵12425F F <=，∴圆C 的圆心轨迹L 是以1F 、2F 为焦点，4为实轴长的双曲线，设其方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则=2a ，c=5，∴2221bc a =-=，∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为22=14x y -。